1、巧用“两线合一”构建且证明等腰三角形问题 学习了等腰三角形的三线合一后，笔者认为，可以根据学生的实际情况，补充“三线 合一”的逆命题的教学，因为这种逆命题虽然不能作为定理用，但它在解题中非常常见的。 掌握了它，可以为我们解题增加一种重要思路。它有以下几种形式： 一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形（线段垂直平分线的性质） 一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形 一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形. 因此，三角形“一边上的高、这边上的中线及这边所对角的平分线”三线中“两线合 一”就能证明它是等腰三角形 为了便于记忆，笔者简言之：两线合一，必等腰。
2、 本文重点利用该逆命题作为一种思路正确地添加辅助线，构建等腰三角形且证明之来 解决问题。 一、我们先来证明“三线合一”性质的逆命题三种情形的正确性： 证明：已知:如图 1，ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，又是 BC 边上的高。 求证：ABC 是等腰三角形。 分析：AD 就是 BC 边上的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，可以推出 AB=AC， 所以ABC 是等腰三角形。具体证明过程略。 证明：已知:如图 1，ABC 中，AD 是BAC 的角平分线，AD 是 BC 边上的高。 求证：ABC 是等腰三角形。 分析：利用 ASA 的方法来证明ABDACD，由此推出 AB=AC 得出ABC
3、 是等腰三角 形。具体证明过程略。 证明：已知:如图 2， ABC 中，AD 是BAC 的角平分线， AD 是 BC 边上的中线。 求证：ABC 是等腰三角形。 方法一： 分析：要证ABC 是等腰三角形就是要证 AB=AC，直接通过证明这两条线段所在的三角 形全等不行，那就换种思路，经验告诉我们，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的 方法是“倍长中线法”（即通过延长三角形的中线使之加倍，以便构造出全等三角形来解 决问题的方法），即延长 AD 到 E 点，使 DE=AD，由此问题就解决了。 证明：如图 2，延长 AD 到 E 点，使 DE=AD，连接 BE 在ADC 和EDB 中 AD = D
4、E ADC=EDB CD=BD ADCEDB AC=BE, CAD=BED AD 是BAC 的角平分线 BAD=CAD BED=BAD AB=BE 又AC=BE AB=AC ABC 是等腰三角形。 方法二： 分析：上面的“倍长中线法”稍微有点麻烦，经验告诉我们，遇到角的平分线，我们 可以利用角的平分线的性质：过角的平分线上一点向角的两边作垂线，从而构造出了高， 再利用面积公式开辟出新思维。具体做法是：如图 2， 过点 D 作 DFAB， DEAC 垂足分别为 F、E。又因 AD 是BAC 的角平分线，所以 DF= DE。 因为 BD=DC，利用“等底同高的三角形面积相等”的原理，所以 = ，再
5、根据 “等积三角形高相等则底也相等”，因为 = = = ，又因 DF= DE，所以 AB=AC，可见“面积法”给解题带来了简便，这种方法也正是被人们易忽视 的。 当然，学生在作出角的平分线上一点到角的两边的距离时，很容易形成思维定势，证 明两组直角三角形分别全等，从而证明B=C，所以 AB=AC，此法明显较麻烦些，但是思 路要给予肯定。 需要提醒读者的是：以上我们证明了“三线合一”的逆定理的正确性，但是这种逆命 题不能作为定理来用，掌握了它和它的证明过程，其目的是为我们解题增加一种重要思路 和方法。 二、 利用“三线合一”性质的逆命题添加辅助线，构建且证明等腰三角形来解决问题 1、逆命题的应用
6、（即线段垂直平分线的性质的应用） 例 1 人教版八（上）第十二章章节复习题中的第 5 题：如图 4，D、E 分别是 AB、AC 的中点，CDAB 于 D，BEAC 于 E，求证：AC=AB。 经笔者验证，学生一拿到题目就找全等三角形或构建全等三角形，所以连接 AO（图略） ，证明AOCAOB 或者三组直角三角形分别全等，其中还要用到线段的垂直平分线的性 质，证明 OA=OB=OC，方法相当地麻烦。 分析：题目没有直接给出“CD、BE 分别是 AB、AC 的垂直平分线”这样的语句，所以 学生最初拿到这个题目，很难把分立的垂直和平分两个条件联系在一起。如果学生有“两 线合一，必等腰”的思维，很容易
7、想到 CD、BE 分别可以是以 AB、AC 为底边的等腰三角形 底边上的高和中线，即“两线合一”，因此添加辅助线，构造等腰三角形。 简单证明：连结 BC， CDAB，AD=BD AC=BC （注：利用线段垂直平分线的性质） 同理可得：AB=BC AC=AB 由于逆命题的应用与线段垂直平分线的性质相一致，所以笔者在此就不过多的举例。 2、逆命题的应用 例 2 已知：如图 5，在ABC 中，AD 平分BAC，CDAD,D 为垂足，ABAC。 求证：2=1+B 分析：由“AD 平分BAC，CDAD”可以想到 AD 可以是同一个等腰三角形底边上的高 和底边所对角的平分线，即“两线合一”，因此添加辅助线
8、，构造等腰三角形。 简单证明：延长 CD 交 AB 于点 E，由题目提供的条件，可证AED ACD，2=AEC，又AEC=1+B，所以结论得证。 例 3 在学习等腰三角形知识时，会遇到这个典型题目：如图 6，在ABC 中， BAC=900，AB=AC，BE 平分ABC，且 CDBE 交 BE 的延长线于点 D， 求证：CD= BE 分析：由已知条件可知：BD 满足了逆命题的“两线合一”，所以延长 CD 和 BA，交 于点 F，补全等腰三角形。 简单证明：由所添辅助线可证BFDBCD，可知BCF 是等腰三角形 CD=DF= CF 再证ABEACF BE=CF CD= BE 可见，学会“两线合一，
9、必等腰”的思维，对满足“三线合一”性质的逆命题的条件， 添加适当的辅助线来构造等腰三角形，为我们解决相关问题开辟了新思维。 笔者认为，三个逆命题中以逆命题在几何证明的应用中尤为突出。 例 4 逆命题还可以与中位线综合应用： 已知： 如图 7，在ABC 中，AD 平分BAC，交 BC 于点 D，过点 C 作 AD 的垂线，交 AD 的延长线于点 E，F 为 BC 的中点，连结 EF。 求证： EFAB，EF= (AC-AB) 分析： 由已知可知，线段 AE 既是BAC 的角平分线，又是 EC 边上的高，即“两线合 一”，就想到把 AE 所在的等腰三角形构造出来，因而就可添辅助线：分别延长 CE、
10、AB 交 于点 G。 简单证明：由所添辅助线可证AGEACE，得出AGC 是等腰三角形，AG=AC EG=CE 又点 F 是 BC 的中点 EF 是BGC 的中位线 EFAB，EF= BG= (AG-AB)= (AC-AB) 3、逆命题应用： 例 5 已知：如图 8，ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD=CD，DEAC 、DFAB 分 别与 AB、AC 相交于点 E，F。求证：DE=DF 分析：根据已知条件，利用相似性知识，可证：点 E，F 分别是 AB、AC 的中点（初中 阶段不能用三角形的中位线的逆定理），又因点 D 是 BC 的中点，再利用三角形中位线的性 质可知，DE= AC，D
11、F= AB，可见只要证明 AC=AB，题目所求证的结论就可得证。因为 AD 既是BAC 的角平分线，又是 BC 边上的中线，即“两线合一”， 所以ABC 是等腰三角形 可证，方法见逆命题的证明。 证明：过程略。 还有的题目没有直接给出“两线合一”的条件，而是需要证明其中一个条件或者通过 作辅助线构建另一个条件，使题目符合“两线合一”思路。 例 6 如图 9，梯形 ABCD 中，ABCD，E 是 BC 的中点，DE 平分ADC，求证： AD=CD+AB 例 7 分析：拿到这个题目，学生的思维很活跃，有的用“截长补短法”；有的用“角的平 分线性质”；有的用“梯形问题转化为三角形问题” 的方法；笔者
12、发现有几个学生延长 DC、AE 相交于点 F，易证ABEFCE，所以 AB=CF，AE=EF，可见只要证明 AD=FD，题目 所求证的结论就可得证。可是学生想到这一步，思维受阻：DE 此时既是ADC 的角平分线， 又是 AF 边上的中线，DAF 肯定是等腰三角形，就是不知道怎么证明。可见，学生如果有 “两线合一，必等腰”的思维和掌握了它的证明方法，那么此法是可行。只是此法用于这 个题目较为麻烦、不可取，但是对于学生的思维火花还是要给予肯定的。 由于笔者在研究过程中，发现逆命题的应用不是很多，所以在此就不过多的举例。 三、请读者小试牛刀 学习了以上“两线合一，必等腰”的新思路，笔者最后再一次警告
13、读者：由于“三线 合一”性质的逆命题与线段垂直平分线的性质相吻合，所以可直接应用；但是运用逆命 题或添加辅助线构造的等腰三角形必须先要证明，不能作为定理用，切记切记！谨防 与“三线合一”性质搞混淆。 请读者试解下面问题（前 2 题提示，后 3 题不予提示） 1、已知，如图 10，ABC 中，BAC 90， ADBC 于 D，ABC 的平分线交 AD 于 E，交 AC 于 P，CAD 的平分线交 BP 于 Q。求证：QAD 是等腰三角形。（提示：可证 AQB=90，延长 AQ。此题把逆命题与直角三角形的性质综合应用） 解法：ADBC 于 D,ADF= ADB=90, ABC+BAD=90, CA
14、D+BAD=90, ABC=BAD ABC/2=BAD/2, DBE=QAE, BED=AEQ,对顶角， 故BDE=AQE=90, ABQ=FBQ, BQ=BQ, BQA=BQF=90, RTBQARTBQF,ASA AQ=FQ, Q 为 RTADF 斜边 AF 的中点，A Q=DQ, QAD 是等腰三角形 . 2、如图（图略，读者自己画），在ABC 中（ABAC），M 为 BC 的中点，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，BEAD 于 E，CFAD 于 F求证：ME=MF（提示：延长 BE、CF） 3、如图（图略），BE、CF 是ABC 的角平分线，AMCF 于 M，ANBE 于 N 求证
15、： MNBC（画图时，注意 ABAC）解法 BE 为 ABC 的 角 平 分 线 ， BE AG， BAM= BGM， ABG 为 等 腰 三 角 形 ， BM 也 为 等 腰 三 角 形 的 中 线 ， 即 AM=GM 同 理 AN=DN， MN 为 ADG 的 中 位 线 ， MN BC 4、如图（图略），已知梯形 ABCD 中，ABCD，C 的平分线 CEAD 于 E，且 DE=2AE，CE 把梯形 ABCD 分成两部分，求这两部分面积之比（画图时，注意 AB 为上底， CD 为下底，E 点在线段 AD 上） 5、BD、CE 是ABC 的两个外角的平分线，ADBD 于 D，AECE 于 E求证：(1) DEBC(2)DE 等于ABC 的周长的一半（画图时，注意 BD，CE 在直线 BC 的同侧） 等腰三角形“三线合一”性质的逆命题的应用不断为学生开辟了新思维，强化了学生 通过添加辅助线解题的能力，而且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想。
