1、理科数学 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第卷 1至 2页。第卷 3至 4页。全卷满 分 150分，考试时间 120分钟。 考生注意事项： 1答第卷时，每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 2答第卷时，必须答题卡上作答在试题卷上作答无效 参考公式： 如果事件 A、 B互斥，那么 ()()PABP 如果事件 、 相互独立，那么 棱柱的体积公式 VSh，其中 、 分别表示棱柱的底面积、高 第卷（选择题 共 40分） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符
2、合题目要求 1 2i A B i2 C i D i2 2集合 |x， |,1yx，则 AB A R B |0 C D 3若抛物线 2ypx的焦点与双曲线 21xy 的右焦点重合，则 p的值为 A B C 4 D 4不等式 10x成立的一个充分不必要条件是 A 或 B 1x或 0x C 1 D x 5对于平面 和共面的两直线 m、 n，下列命题中是真命题的为 A若 m， n，则 / B若 /， /，则 /mn C若 ， /，则 D若 、 与 所成的角相等，则 / 6平面四边形 C中 0A， ()0A，则四边形 ABC是 A矩形 B菱形 C正方形 D梯形 7等比数列 na中 512，公比 21q，
3、记 12nna （即 n表示 数列 的前 项之积） ， 8 ， 9， 10， 中值为正数的个数是 A 1 B C 3 D 4 8定义域 R的奇函数 ()fx，当 (,)时 ()0fxf恒成立，若 3()af， (log3)(l)bf， ()cf ，则 A c B ca C ab D abc 第卷（非选择题，共 110分） 二 填空题：本题共 6小题，共 30分，把答案填在答题卷相应的位置上 9某校有 40名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手， 抽到高一男生的概率是 .2，现用分层抽样的方法在全校抽取 10名奥运志愿者，则在高二抽取的学 生人数为_ 高一 高二
4、高三 女生 60y65 男生 xz7 10如果实数 、 y满足条件 10xy ，那么 2xy的最大值为_ 11在 ABC中角 、 、 的对边分别是 a、 b、 c，若 ()cosAaC， 则 cos_ 12右图给出的是计算 2016421的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条 件是 i_？ 13由数字 0、 、 、 3、 组成无重复数字的 五位数，其中奇数有 个 14若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这 个正三棱柱的体积为_ 三解答题（本大题共 6小题，共 80分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15 （本小题共 12 分）已知函数 ()sincofxx， ()f是 fx的导
5、函数 （1）求函数 ()gxf的最小值及相应的 值的集合； （2）若 2f，求 ta()4x的值 16 （本题满分 12 分） 开始0,21SniSn21i 否 输出 S 结束 是 题 12 图主视图 俯视图 23 左视图 近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否 符合低碳观念若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” ，否则称为“非低碳族” 数据如下表 （计算过程把频率当成概率） （1）如果甲、乙来自 A小区，丙、丁来自 B小区，求这 4人中恰有 2人是低碳族的概率； （2） 小区经过大力宣传，每周非低碳族中有 20%的人加入到低碳族的行列如 果 周后随机地
6、从 小区中任选 25个人，记 X表示 5个人中低碳族人数，求 ()EX 17 （本小题满分 14 分） 已知点 (4,0)M、 (1,)N，若动点 P满足 6|MNP （1）求动点 P的轨迹 C； （2）在曲线 上求一点 Q，使点 到直线 l： 210xy的距离最小 18(本小题满分 14分)已知梯形 ABD中， BC， 2BAD，4ADB ， E、 F分别是 、 上的点， EF ， x 沿 EF将梯形 C翻折，使平面 平面 (如图) G是 C的 中点，以 、 、 、 为顶点的三棱锥的体积记为 fx （1）当 2x时，求证： B G ； （2）求 ()f的最大值； （3）当 x取得最大值时，求
7、异面直线 AE与 BD所成的角的余弦值 19 （本题满分 14 分） 数列 na中 12，前 n项和 2(1)nSa， n， 2， （1）证明数列 是等差数列；（2）求 S关于 的表达式； 小区 低碳族 非低碳族 频率 p0.5. 小区 低碳族 非低碳族频率 p0.8. （3）设 3nbS ，求数列 nb的前 项和 nT 20 （本题满分 14 分）二次函数 ()fx满足 (0)1ff，且最小值是 14 （1）求 ()fx的解析式； （2）设常数 10,)2t，求直线 l： 2yt与 ()fx的图象以及 y轴所围成封闭 图形的面积是 (S； （3）已知 0m， n，求证： 21()()4mnm
8、n 答案及评分标准： 81 ：CCDD；CBBA；9 30；10 1；11 2；12 10；13 36；14 8 以下是各题的提示： 1 2ii 2 0,4， ,0B，所以 0AB 3双曲线 21xy 的右焦点为 (2,)，所以抛物线 2ypx的焦点为 (2,0)，则 4p 4画出直线 与双曲线 yx，两图象的交点为 (1,)、 ,1)，依图知10x0x 或 (*)，显然 (*)；但 (*) x 5考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断 由 ABCD，得 ABCD，故平面四边形 ABCD是平行四边形， 又 ()0，故 0，所以 ，即对角线互相垂直 等比数列 na中 1，公比 q，故奇数项
9、为正数，偶数项为负数， 1， 0， 9， 8，选 B 8设 ()gxf，依题意得 ()gx是偶函数，当 (,0)x时 ()0fxf，即 恒成立，故 ()在 ,0单调递减，则 g在 ,上 递增， 3af， lo3)(l)(lo3)bf ，2()(2)(cg 又 log312，故 acb 9依表知 4020xyz， 0.24x，于是 80x，yz ，高二抽取学生人数为 13 10作出可行域及直线 l： xy，平移直线 l至可行域的点 (,1)时2xy 取得最大值 11由 ()cosbAaC，得 2coscosbAaC，siniinB ，故 ini()BA， 又在 C中 s()s0B，故 1cs2，
10、 12考查循环结构终止执行循环体的条件 13 1326A 14由左视图知正三棱柱的高 2h，设正三棱柱的底面边长 a，则 32，故 4a，底面 积 1423S，故 438VS 15解：（1） ()sincofxx，故 ()cosinfx， 2 分 ()gx i22cosincsx ， 4 分 当 ()xkZ，即 ()2kZ时， ()gx取得最小值 1， 相应的 值的集合为 |,x 6 分 评分说明：学生没有写成集合的形式的扣 1分 （2）由 ()2()ff，得 sinco2sinxx， cos3inx，故 ta3x， 10 分 1tan34tan() 241txx 12 分 16解：（1）设事
11、件 C表示“这 人中恰有 人是低碳族” 1 分22112222()0.5.0.50.80.5.8PCCC 63 4 分 答：甲、乙、丙、丁这 4人中恰有 人是低碳族的概率为 .3； 5 分 （2）设 A小区有 a人，两周后非低碳族的概率 2(1%)0.3aP 故低碳族的概率 10.32.68P 9 分 随机地从 小区中任选 5个人，这 个人是否为低碳族相互独立，且每个 人是低碳族的概率都是 ，故这 个人中低碳族人数服从二项分布，即7(25,)XB ，故 17()EX 12 分 17解：（1）设动点 ,Pxy，又点 (4,0)M、 (1,)N， (4,)MPx， (3,)N， ,Pxy 3 分
12、由 6|N，得 226()(x， 4 分 222(81)4(1)4xy，故 2341xy，即 213xy ， 轨迹 C是焦点为 ,0、长轴长 a的椭圆； 7 分 评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣 分 （2）椭圆 上的点 Q到直线 l的距离的最值等于平行于直线 l： 210xy 且与椭圆 相切的直线 1与直线 的距离 设直线 1l的方程为 20(12)xym 8 分 由 2340xy ，消去 得 2240x （*） 依题意得 ，即 )1(622m，故 216，解得 4m 当 4m时，直线 1l： 240xy，直线 l与 1的距离 |412|65d 当 时，直线 1l：
13、，直线 l与 1的距离 |814 由于 856，故曲线 C上的点 Q到直线 l的距离的最小值为 512 分 当 4m时，方程（*）化为 2480x，即 2(1)0x，解得 1x 由 120y，得 3y，故 (1,) 13 分 曲线 C上的点 (1,)2Q到直线 l的距离最小 14 分 18 （法一） （1）证明：作 EFDH，垂足 ，连结 BH， G， 平面 AEF平面 B，交线 ， 平面 ECF， DH平面 ，又 G平面 ，故 D， 12C， /C， 90A 四边形 为正方形，故 HE 又 B、 平面 B，且 ，故 EG平面 BH 又 D平面 H，故 DG （2）解： AF，平面 A平面 B
14、CF，交线 ， A平面 EFD E面 C又由（1） 平面 ，故 /D， 四边形 是矩形， E，故以 、 、 、 为顶点的三棱 锥 B 的高 x， 又 4()822CFS x 三棱锥 D的体积()fx13BFH13BFCSAE 218()33x28 当 x时， ()fx有最大值为 8 （3）解：由（2）知当 取得最大值时 2AE，故 B， 由（2）知 /DHAE，故 B是异面直线 与 D所成的角 在 RtBEH中 224EHAD， 由 D平面 CF， B平面 CF，故 BH 在 t中2283 ， cosHB 异面直线 AE与 D所成的角的余弦值为 3 法二：（1）证明：平面 F平面 EBC，交线
15、 F， AE平面 FD， EA，故 平面 BC，又 、 平面 ， AE F， E，又 ，取 、 、 分别为 x轴、 y 轴、 z轴，建立空间坐标系 xyz，如图所示 当 2x时， ， 2B，又 AD， 12BGC (0,)E， (0,)A， (,0)， (,0)， (,)D ,BD， ,EG， 40 ，即 ； （2）解：同法一； （3）解：异面直线 AE与 BD所成的角 等于 ,AEBD或其补角 又 (0,2)AE， 故 43cos,|2 3cos，故异面直线 AE与 B所成的角的余弦值为 3 19 （1）证明：由 2(1)nSa，得 21()()2nnSn 221()n，故 分 数列由 1n
16、S是首项 12a，公差 1d的等差数列； 4 分 （2）解：由（1）得 ()nSn 6 分 2n ； 分 （3）由（） ，得 3nbS 3 21nA 1()n 10 分 数列 n的前 项和 12 1123nTbbnn 分 1 14 分 20解：（1）由二次函数 ()fx满足 (0)1ff设 ()1)(0fxa， 则 221()4afxa 分 又 的最小值是 ，故 解得 1 2()fx； 分 （2）依题意，由 2xt，得 xt，或 t （ t ）分 由定积分的几何意义知 323222 00()()()()|t ttStdtx 分 （3） ()fx的最小值为 14，故 14m， 14n 分 ()2mn，故 2n 12分 1)02， 10， 13 分 ()2n()mnnm， 21)(4m 14 分
