1、1 解析几何专题 05 直线与椭圆综合问题 学习目标 （1）能够根据直线与椭圆的方程准确判断它们之间的位置关系； （2）能够利用弦长公式准确求解直线被椭圆截得的弦长，并在此基础上解决相关 三角形的面积问题； （3）能够利用“点差法”以及“韦达定理”正确求解椭圆的弦中点问题； （4）初步熟悉直线与椭圆综合问题的解题程序。 知识回顾及应用 1椭圆中的定值或定点问题 此类问题的一般解题思路 2椭圆中的最值或范围问题 此类问题的一般解题思路 3椭圆中的其它综合问题 4应用所学知识解决问题： 【题目】已知椭圆 E 的中心在原点 O，焦点在 轴上，离心率 ，过点x63e 的直线 交椭圆于 两点，且满足 .
2、试用直线 的斜率 表示(1,0)Cl,AB2CABlk 的面积。OAB 【变式 1】已知椭圆 E 的中心在原点 O，焦点在 轴上，离心率 ，过点x63e 的直线 交椭圆于 两点，且满足 .当 的面积最大时，(,0)Cl,AB2CABOA 求椭圆 E 的方程。 【变式 2】*已知椭圆 E 的中心在原点 O，焦点在 轴上，离心率 ，过点x63e 斜率为 的直线 交椭圆于 两点。若 ，且 。(1,0)Ckl,AB(2)CAB21k 试问：实数 分别为何值时，椭圆 E 的短轴长最大？求此时椭圆 E 的方程。 , 2 问题探究（请先阅读课本，再完成下面例题） 【类型一】椭圆中的定值或定点问题 例 1已知
3、定点 C(1,0)及椭圆 x23y 25，过点 C 的动直线与椭圆相交于 A，B 两 点，在 x 轴上是否存在点 M，使 为常数？若存在，求出点 M 的坐标； MA MB 若不存在，请说明理由 练习：椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，该椭圆经过点 P 且离心率( 1，32) 为 (1)求椭圆 C 的标准方程； 12 (2)若直线 l： ykxm 与椭圆 C 相交于 A，B 两点(A，B 不是左右顶点)，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标 此类问题常常可以先由特殊情况得到定值或定点 ，再从一般情况加以证明；也可以 分别从条件和结论两
4、个方向探索，最后在中间某处实现统一；有时还可能会用到“ 多项式 恒等定理”。 3 【类型二】2椭圆中的最值或范围问题 例 2 已知椭圆 y 21 的左焦点为 F，O 为坐标原点 x22 (1)求过点 O、 F，并且与直线 l：x 2 相切的圆的方程； (2)设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A， B 两点，线段 AB 的垂直平分线 与 x 轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围 练习：已知椭圆 C： 1 (ab0) 与直线 xy10 相交于 A，B 两点 x2a2 y2b2 (1)当椭圆的半焦距 c1，且 a2，b 2，c 2 成等差数列时，求椭圆的方程； (2)在(1)的条件下，
5、求弦 AB 的长度； (3)当椭圆的离心率 e 满足 e ，且以 AB 为直径的圆经过坐标原点 O，求椭圆 33 22 长轴长的取值范围 此类问题往往与函数、不等式有关系：有时可以通过建立函数关系求函数的最值；有 时可以通过判别式定理得到一个不等式再求解；有时还可以通过三角代换转化为三角问 题借助三角函数的有界性求解其解题关键是对题目信息的有效整合。 4 【类型三】 椭圆中的其它综合问题 例 3已知曲线 C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(mR) （1）若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆，求 m 的取值范围； （2）设 m=4，曲线 c 与 y 轴的交点为 A，B（点 A 位于点 B
6、的上方） ，直线 y=kx+4 与曲线 c 交于不同的两点 M、N,直线 y=1 与直线 BM 交于点 G.求证：A，G，N 三点共 线。 . 练习： 如图，椭圆 的离心率为 ，直线 和 所围 2:1(0)xyMab32xayb 成的矩形 ABCD 的面积为 8. ()求椭圆 M 的标准方程； () 设直线 与椭圆 M 有两个不同的交点 与矩形 ABCD 有两个:lyxmR,PQl 不同的交点 .求 的最大值及取得最大值时 m 的值.,ST|PQ 弦长公式常常配合韦达定理一起使用： 222111()4ABkxkxx 其中 是直线的斜率， 分别是 A,B 两点的横坐标。1, 5 检测 1如图，
7、分别是椭圆 ： + =1（ ）的21,FC2axby0ba 左、右焦点， 是椭圆 的顶点， 是直线 与椭圆 的AB2AFC 另一个交点， =60.（）求椭圆 的离心率；12 （）已知 的面积为 40 ，求 a, b 的值 . BF3 2已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ，且椭圆的左顶点12 到右焦点的距离为 3.（I）求椭圆 C 的标准方程； （II）若过 点 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，且 ，求(0,)Pml的 直 线 3PB 实数 m 的取值范围. 6 3 （2013 西城一模）如图，椭圆 的左焦点为 ，过点 的直 21(0)xyabF 线交椭圆于 ， 两点当直线 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为 ABAB60 （）求该椭圆的离心率；（）设线段 的中点为 ， 的中垂线与 轴和GABx 轴分别交于 两点记 的面积为 ， （ 为原点）的面积为 ，y,DEGFD1SOED2S 求 的取值范围12S 4.已知点 是椭圆 的左顶点，直线 与椭圆A2:109xyCt:1()lxmyR 相交于 两点，与 轴相交于点 .且当 时， 的面积为 . C,EFB0AEF63 （）求椭圆 的方程； （）设直线 ， 与直线 分别交于 ， 两点，试判断以 为直径的3xMNMN 圆是否经过点 ？并请说明理由.B 7 纠错矫正 总结反思
