1、- 1 - 三角形专题训练 【知识精读】 1. 三角形的内角和定理与外角和定理； 2. 三角形中三边之间的关系定理及其推论； 3. 全等三角形的性质与判定； 4. 特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）； 5. 直角三角形的性质与判定。 【分类解析】 1. 三角形内角和定理的应用 例 1. 如图 1，已知 中， 于 D，E 是 AD 上一点。ABCABC90， 求证： EDBC图 1 2. 三角形三边关系的应用 例 2. 已知：如图 2，在 中， ，AM 是 BC 边的中线。ABC 求证： M1 - 2 - CAMBD图 2 3. 角平分线定理的应用 例 3. 如图 3， BC 90，M 是
2、BC 的中点，DM 平分ADC 。 求证：AM 平分 DAB。 DABMGC图 3 4. 全等三角形的应用 （1）构造全等三角形解决问题 例 4. 已知如图 4，ABC 是边长为 1 的等边三角形，BDC 是顶角（BDC）为 120的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60的角，它的两边分别交 AB 于 M，交 AC 于 - 3 - N，连结 MN。求证： 的周长等于 2。AMNDMCNAB图 4 （2）“ 全等三角形”在综合题中的应用 例 5. 如图 5，已知：点 C 是FAE 的平分线 AC 上一点，CEAE，CFAF，E 、F 为垂 足。点 B 在 AE 的延长线上，点 D 在 AF 上。
3、若 AB21，AD 9 ，BCDC10。求 AC 的长。 - 4 - CFDAEB图 5 5、中考点拨 例 6. 如图，在 中，已知 B 和C 的平分线相交于点 F，过点 F 作 DEBC，交ABC AB 于点 D，交 AC 于点 E，若 BDCE 9，则线段 DE 的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 ABCEDF 6、题型展示 例 7. 已知：如图 6， 中，ABAC，ACB90，D 是 AC 上一点，AE 垂直 BDABC - 5 - 的延长线于 E， 。ABD12 求证：BD 平分ABC ABFCED图 6 例 8. 某小区结合实际情况建了一个平面图形为正三角形的花坛。
4、如图 7，在正三角形 ABC 花坛外有满足条件 PBAB 的一棵树 P，现要在花坛内装一喷水管 D，点 D 的位置必 须满足条件 ADBD，DBPDBC，才能使花坛内全部位置及树 P 均能得到水管 D 的喷 水，问BPD 为多少度时，才能达到上述要求？ - 6 - CBPAD图 7 【实战模拟】 1. 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 12cm 和 21cm，则这个等腰三角 形底边的长为_。 2. 在锐角 中，高 AD 和 BE 交于 H 点，且 BHAC ，则ABC_。ABC 3. 如图所示，D 是 的ACB 的外角平分线与 BA 的延长线的交点。试比较BAC 与B 的大小关系。
5、 DACE12 4. 如图所示，AB AC ，BAC90 ，M 是 AC 中点，AEBM。 求证：AMBCMD - 7 - BDCAEM 5. 设三个正数 a、b、c 满足 ，求证：a 、b、c 一定abcabc2244 是某个三角形三边的长。 - 8 - 【试题答案】 1. 5cm 2. 45 3. 分析： 如图所示，BAC 是 的外角，所以ACDBAC1 因为12，所以BAC2 又因为2 是 的外角，所以2B，问题得证。B 答：BACB CD 平分ACE，1 2 BAC 1，BAC 2 2B，BAC B 4. 证明一：过点 C 作 CFAC 交 AD 的延长线于 FAMECBDF4312
6、1290BAEBAE 又BACACF90 - 9 - ACAB ABMCFAB， 又 AMMC，MCCF 又3445，CD CD CDMF AB 证明二：过点 A 作 AN 平分BAC 交 BM 于 NMCBD1EN23 2390BAE 又 AN 平分 BAC 145C 又 ABAC - 10 - ABNCDMCBD1EN23 又 NAMC45 AMCM DAB 说明：若图中所证的两个角或两条线段没有在全等三角形中，可以把求证的角或线段 用和它相等的量代换。若没有相等的量代换，可设法作辅助线构造全等三角形。 5. 证明： 由已知得： abcabcabc44222442 即 0 abcabcab
7、4222422 4 - 11 - abcabcababcabc2222220000 是某一三角形三边的长。ab、 、 - 12 - 1.证明：由 ADBC 于 D，可得CADABC 又 ABEB 则 可证 CD 即 BE 说明：在角度不定的情况下比较两角大小，如果能运用三角形内角和都等于 180间接 求得。 2.证明：延长 AM 到 D，使 MDAM ，连接 BD 在 和 中，CMABAMCDBM， ， 在 中， ，而DDA2 ABCM21 说明：在分析此问题时，首先将求证式变形，得 ，然后通过倍长中2AMBC 线的方法，相当于将 绕点旋转 180构成旋转型的全等三角形，把 AC、AB 、2A
8、MAC 转化到同一三角形中，利用三角形三边不等关系，达到解决问题的目的。很自然有 。请同学们自己试着证明。1212ABMB 3.证明：过 M 作 MGAD 于 G，DM 平分ADC，MCDC，MGAD MCMG（在角的平分线上的点到角的两边距离相等） MCMB，MGMB 而 MGAD，MBAB M 在ADC 的平分线上（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上） - 13 - DM 平分 ADC 说明：本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件 MGMB。同时要注意不必证明三角形全等，否则就是重复判定定理的证明过程。 4. 分析： 欲证 的周长等于 2，需证明它等于
9、等边 的两边的长，只需证AMNABC 。采用旋转构造全等的方法来解决。NBC 证明：以点 D 为旋转中心，将 顺时针旋转 120，点 B 落在点 C 的位置，点DB M 落在 M点的位置。 得：MBDNCD90 RtBtMCD 90 NCD 与DCM构成平角，且 BMCM，DM DM，NDMNDCCDMNDC BDM 1206060 在 和 中，MDN MDNDN ， ，60 SANCBM() 的周长AANMANBCA2 说明：通过旋转，使已知图形中的角、线段充分得到利用，促进了问题的解决。 5.分析：要求 AC 的长，需在直角三角形 ACE 中知 AE、CE 的长，而 AE、CE 均不是已知
10、 长度的线段，这时需要通过证全等三角形，利用其性质，创设条件证出线段相等，进而求 出 AE、CE 的长，使问题得以解决。 解：AC 平分FAE ，CFAF，CEAE - 14 - CFCE CFEAHLCFEDBL 9090()() BEDF 设 ，则BEDFxAEBxAFDx219， A， ，2196 在 中，RtCC22108 在 中，EAE217 答：AC 的长为 17。 6.分析：初看此题，看到 DEDFFE 后，就想把 DF 和 FE 的长逐个求出后再相加得 DE，但由于 DF 与 FE 的长都无法求出，于是就不知怎么办了？其实，若能注意到已知条 件中的“BDCE 9”，就应想一想，
11、 DFFE 是否与 BDCE 相关？是否可以整体求出？ 若能想到这一点，就不难整体求出 DFFE 也就是 DE 的长了。 解：BF 是B 的平分线 DBFCBF 又 DEBC DFBCBF BDFDFB DFBD - 15 - 同理，FE CE DFFE BDCE9 即 DE9 故选 A 7.分析：要证ABDCBD，可通过三角形全等来证明，但图中不存在可证全等的三角形， 需设法进行构造。注意到已知条件的特点，采用补形构造全等的方法来解决。 简证：延长 AE 交 BC 的延长线于 F 易证 （ASA 或 AAS）ACFBD EAF12 于是又不难证得 BESA() DC BD 平分BAC 说明：通过补形构造全等，沟通了已知和未知，打开了解决问题的通道。 8.分析：此题是一个实际问题，应先将实际问题转化成数学问题，转化后的数学问题是： 如图 7， D 为正 内一点， P 为正 外一点，ABCABC PB AB，ADBD，DBPDBC，求BPD？在解此数学问题时，要用到全等三角 形的知识。 解：连 CD - 16 - BPACDS () 又 ACBD SAB() 30 ，即 时，才能达到要求。 PD P
