1、3.4 模型为 AR(1)-GARCH(1,1)，假定 t 服从自由度为 v 的标准化的 t 分布，导出数据的条件对 数似然函数。 数据为 r=r1, r2, rn 模型为 rt=u+ 1rt-1+at at= t t t2= 0+ 1at-12+ 1 t-12 由于 t 服从自由度为 v 的标准化的 t 分布，所以有 t 的概率密度函数为 f( t)= -(v+1)/2 (+12) (2)(2)(1+ t22) 其中 (x)为 Gamma 函数（ ） ()= 0(1) 由于 at= t t，a t 的条件似然函数为 f(am+1,at)= -(v+1)/2 =+1 (+12) (2)(2)1
2、 t(1+ t2(2) t2) 所以对数条件似然函数为 L=Tln( )-ln( )- ln(v-2)n- ln( t2)+(1+v)ln(1+ ) ( +12) (2) 12 12=1 at2(2) t2 带入实际的数据 T=t， at=rt-u- 1rt-1，同时又有 t2= 0+ 1at-12+ 1 t-12，所以有了第一个 1 后就可以递推 出其余的 t。 3.5 对 Intel 股票的对数收益率建立 GARCH 模型，并进行向前 1 到 5 步的波动率预测。 数据的图形如下： 同时 ACF 和 PACF 如下： 可知模型的基本形式应该为 MA(1)。 尝试对残差建立 ARMA(0,1
3、)Garch(1,1)模型，结果为 *-* * GARCH Model Fit * *-* Conditional Variance Dynamics - GARCH Model : sGARCH(1,1) Mean Model : ARFIMA(1,0,0) Distribution : norm Optimal Parameters - Estimate Std. Error t value Pr(|t|) mu 0.025807 0.006441 4.00645 0.000062 ar1 0.027009 0.054726 0.49353 0.621640 omega 0.001235
4、0.000615 2.00819 0.044624 alpha1 0.089186 0.033309 2.67753 0.007417 beta1 0.836646 0.055546 15.06232 0.000000 LogLikelihood : 238.1461 检验残差的 ACF 发现模型可以满足要求。 所以最终拟合的 Garch 模型为 (1-0.027009*B)yt=0.025807+ t t =ut*ht htN(0, n2) ut2=0.001235+0.089186*at-12+0.836646* t-12 下面是向前 1 到 5 步的预测结果 *-* * GARCH Mo
5、del Forecast * *-* Model: sGARCH Horizon: 10 Roll Steps: 0 Out of Sample: 0 0-roll forecast: sigma series 373 0.1233 0.02426 374 0.1236 0.02603 375 0.1240 0.02607 376 0.1243 0.02608 377 0.1246 0.02608 其中 372 就是 03 年 12 月的数据 下图是预测结果趋势图 3.6 (a)利用对数收益率和 5%的显著性水平检验对数收益率中的相关性。 观察对数收益率的 ACF 图形 可以发现明显的一阶相关
6、性。 取 12 阶滞后的 Ljung&Box 检验的结果如下 Box-Ljung test data: mrk X-squared = 24.3218, df = 12, p-value = 0.01838 发现有显著的自相关性。 尝试对序列建立 ARMA(1,0)模型 arima(x = mrk, order = c(1, 0, 0) Coefficients: ar1 intercept -0.0911 0.0121 s.e. 0.0380 0.0024 sigma2 estimated as 0.004746: log likelihood = 868.06, aic = -1730.1
7、3 残差 mrk$residuals=(1+0.0911*B)mrkt 没有序列相关。 (b)利用 Ljung&Box 统计量，在 6 以及 12 个间隔下验证序列的 ARCH 效应。 令 arch=mrk$residuals2，进行 Ljung&Box 检验 间隔为 6： Box-Ljung test data: arch X-squared = 25.0263, df = 6, p-value = 0.0003376 间隔为 12： Box-Ljung test data: arch X-squared = 35.2562, df = 12, p-value = 0.0004263 在 5
8、%的显著性水平下无论是 6 还是 12 的间隔都是有显著的 ARCH 效应。 (c)对数据识别一个 ARCH 模型，然后拟合 *-* * GARCH Model Fit * *-* Conditional Variance Dynamics - GARCH Model : sGARCH(1,0) Mean Model : ARFIMA(1,0,0) Distribution : norm Optimal Parameters - Estimate Std. Error t value Pr(|t|) mu 0.012269 0.002411 5.0894 0.000000 ar1 -0.080
9、221 0.040635 -1.9742 0.048358 omega 0.004433 0.000298 14.8977 0.000000 alpha1 0.066349 0.043029 1.5420 0.123084 模型形式为： (1+0.080221*B)mrkt=0.012269+ t t =ut*ht htN(0, n2) ut2=0.004433+0.066349*at-12 下面是拟合的残差图以及置信区间，发现拟合是有效的。 3.7 (a)利用 Ljung&Box 统计量，在 6 以及 12 个间隔下验证对数收益率的 ARCH 效应。 为了检验 3m 数据的 ARCH 效应，
10、将 Ljung&Box 应用于 mmm2 序列 6 个间隔： Box-Ljung test data: mmm2 X-squared = 22.5644, df = 6, p-value = 0.0009563 12 个间隔 Box-Ljung test data: mmm2 X-squared = 29.9574, df = 12, p-value = 0.002834 无论是 6 或者 12 个间隔，都是在 5%的水平下有显著的 ARCH 效应的。 (b)用收益率平方的 PACF 识别一个 ARCH 模型并拟合。 PACF 图形为 序列平方项有 2 阶的偏自相关，所拟合的应该是一个 ARC
11、H(2)模型。 *-* * GARCH Model Fit * *-* Conditional Variance Dynamics - GARCH Model : sGARCH(2,0) Mean Model : ARFIMA(0,0,0) Distribution : norm Optimal Parameters - Estimate Std. Error t value Pr(|t|) mu 0.012084 0.002294 5.2671 0.000000 omega 0.003195 0.000273 11.6992 0.000000 alpha1 0.094952 0.048639
12、 1.9522 0.050916 alpha2 0.134261 0.056703 2.3678 0.017894 模型为： yt=0.012084+ t t =ut*ht htN(0, n2) ut2=0.003195+0.094952*at-12+0.134261* at-22 (c)利用前 690 个数据重新拟合，并对 691 到 695 的数据进行预测 *-* * GARCH Model Fit * *-* Conditional Variance Dynamics - GARCH Model : sGARCH(2,0) Mean Model : ARFIMA(0,0,0) Distr
13、ibution : norm Optimal Parameters - Estimate Std. Error t value Pr(|t|) mu 0.011836 0.002297 5.1527 0.000000 omega 0.003169 0.000274 11.5532 0.000000 alpha1 0.098426 0.049248 1.9986 0.045653 alpha2 0.137802 0.057628 2.3912 0.016792 yt=0.011836+ t t =ut*ht htN(0, n2) ut2=0.003169+0.098426*at-12+0.137
14、802* at-22 预测结果为 *-* * GARCH Model Forecast * *-* Model: sGARCH Horizon: 10 Roll Steps: 0 Out of Sample: 0 0-roll forecast: sigma series 691 0.06068 0.01184 692 0.06510 0.01184 693 0.06398 0.01184 694 0.06447 0.01184 695 0.06436 0.01184 下面是预测图： (d)对 3M 股票的对数收益率建立 ARCH-M 模型，并在 5%的水平下检验风险溢价为 0 的假设。 考虑
15、到数据的 PACF 图形中有 2 阶的回归，建立 ARCH(2)-M 的模型： rt=u+c* t2+at at= t t t2= 0+ 1at-12+ 1 t-12 拟合结果为： *-* * GARCH Model Fit * *-* Conditional Variance Dynamics - GARCH Model : sGARCH(2,0) Mean Model : ARFIMA(0,0,0) Distribution : norm Optimal Parameters - Estimate Std. Error t value Pr(|t|) mu 0.030460 0.02188
16、8 1.39164 0.164033 archm -0.297533 0.352062 -0.84511 0.398046 omega 0.003172 0.000273 11.60546 0.000000 alpha1 0.093721 0.047570 1.97017 0.048819 alpha2 0.141510 0.056890 2.48744 0.012867 rt=0.030460-0.297533 t2+at at= t t t2=0.003172+0.093721at-12+0.141510 at-22 下面是拟合结果的检验图： 可知拟合是有效的。 同时关注系数 archm
17、的 t 值，可以发现对应的 P 值大于 5%，所以系数是显著的，也就是说 风险溢价为 0 的假设不成立。 (e)利用前 690 个数据建立一个 EGARCH 模型，并进行向前 1 到 5 步的预测。 由于数据的一阶自相关性，对数据建立 AR(1)EGARCH(1,1)的模型。 *-* * GARCH Model Fit * *-* Conditional Variance Dynamics - GARCH Model : eGARCH(1,1) Mean Model : ARFIMA(1,0,0) Distribution : norm Optimal Parameters - Estimat
18、e Std. Error t value Pr(|t|) mu 0.010652 0.002204 4.83244 0.000001 ar1 -0.064397 0.040323 -1.59705 0.110254 omega -0.929434 0.454867 -2.04331 0.041022 alpha1 -0.018260 0.031722 -0.57563 0.564866 beta1 0.831434 0.082353 10.09601 0.000000 gamma1 0.198772 0.062164 3.19754 0.001386 所以模型为： rt=0.010652-0.
19、064397*rt-1+at at= t t ln( t2)= 0+ *g( t-1) 11+0.018260*B g( t)= 0.831434* t +0.198772*| t |-E(| t |) 预测结果为： *-* * GARCH Model Forecast * *-* Model: eGARCH Horizon: 10 Roll Steps: 0 Out of Sample: 0 0-roll forecast: sigma series 691 0.05690 0.005967 692 0.05796 0.010954 693 0.05886 0.010633 694 0.05
20、961 0.010653 695 0.06025 0.010652 走势图为： 3.8 (a)建立一个带高斯新息的 GARCH 模型并检验 首先检查数据 GM 的 ACF 和 PACF 图形 GM 数据的均值模型为 MA(1)。 对建立的 MA(1)模型的残差平方再次检验其 ACF 和 PACF 发现合适的模型为 ARMA(0,1)GARCH(3,1)，对此进行拟合： *-* * GARCH Model Fit * *-* Conditional Variance Dynamics - GARCH Model : sGARCH(3,1) Mean Model : ARFIMA(0,0,1) D
21、istribution : norm Optimal Parameters - Estimate Std. Error t value Pr(|t|) mu 0.011782 0.002862 4.117242 0.000038 ma1 0.063162 0.043295 1.458858 0.144604 omega 0.000157 0.000078 2.018931 0.043494 alpha1 0.084301 0.061810 1.363884 0.172604 alpha2 0.002563 0.062282 0.041150 0.967176 alpha3 0.000000 0
22、.001070 0.000205 0.999837 beta1 0.884549 0.033406 26.478370 0.000000 rt=0.011782+ at+0.063162* at-1 at= t t t2=0.000157+0.084301*at-12 +0.884549 t-12 （其中 alpha2 和 alpha3 的系数为不显著的） 拟合结果的图形为： 拟合为有效的。 (b)建立一个带高斯新息的 GARCH-M 模型并检验 根据上面检测的结论，所建立的 GARCH-M 模型形式为 ARMA(0,1)GARCH(1,1)-M *-* * GARCH Model Fit *
23、 *-* Conditional Variance Dynamics - GARCH Model : sGARCH(1,1) Mean Model : ARFIMA(0,0,1) Distribution : norm Optimal Parameters - Estimate Std. Error t value Pr(|t|) mu 0.006953 0.013328 0.52168 0.601892 ma1 0.061927 0.043448 1.42532 0.154063 archm 0.079453 0.208605 0.38088 0.703292 omega 0.000151
24、0.000073 2.05206 0.040164 alpha1 0.085087 0.024677 3.44795 0.000565 beta1 0.887439 0.031145 28.49382 0.000000 所以拟合的模型为： rt=0.006953+0.079453* t2+at +0.061927*at-1 at= t t t2=0.000151+0.085087at-12+0.887439 t-12 (c)建立一个带学生 t 新息的 GARCH 模型，估计自由度 v 并写出拟合的模型。在 5%的水平 下检验假设 H0：v=6。 对 GM 数据建立 MA(1)GARCH(1,1
25、)模型，同时将残差序列设为 student 分布。 *-* * GARCH Model Fit * *-* Conditional Variance Dynamics - GARCH Model : sGARCH(1,1) Mean Model : ARFIMA(0,0,1) Distribution : std Optimal Parameters - Estimate Std. Error t value Pr(|t|) mu 0.010291 0.002590 3.9734 0.000071 ma1 0.052045 0.042122 1.2356 0.216615 omega 0.00
26、0141 0.000093 1.5105 0.130914 alpha1 0.066805 0.025940 2.5754 0.010012 beta1 0.906084 0.039036 23.2117 0.000000 shape 9.100371 2.988367 3.0453 0.002325 模型形式为 rt=0.010291+ at+0.052045* at-1 at= t t t2=0.000141+0.066805*at-12 +0.906084 t-12 同时可以看到，自由度的预估值为 9.1，均方误差为 2.988367，显著不为 6。 (d)对 GM 数据建立 EGARC
27、H 模型。 对 GM 数据建立 ARMA(0,1)EGARCH(1,1)模型。 *-* * GARCH Model Fit * *-* Conditional Variance Dynamics - GARCH Model : eGARCH(1,1) Mean Model : ARFIMA(0,0,1) Distribution : norm Optimal Parameters - Estimate Std. Error t value Pr(|t|) mu 0.009111 0.002624 3.4726 0.000515 ma1 0.081075 0.042053 1.9279 0.05
28、3866 omega -0.158949 0.088744 -1.7911 0.073278 alpha1 -0.031275 0.025569 -1.2232 0.221263 beta1 0.969952 0.016282 59.5731 0.000000 gamma1 0.181106 0.045228 4.0043 0.000062 rt=0.009111+at-0.081075* at -1 at= t t ln( t2)= -0.158949+ *g( t-1) 11+0.031275*B g( t)= 0.969952* t +0.181106*| t |-E(| t |) (e
29、)对所有的模型进行向前 1 到 6 步的预测，并进行比较。 这是 EGARCH 的预测结果： *-* * GARCH Model Forecast * *-* Model: eGARCH Horizon: 6 Roll Steps: 0 Out of Sample: 0 0-roll forecast: sigma series 649 0.08271 0.026335 650 0.08234 0.009111 651 0.08197 0.009111 652 0.08162 0.009111 653 0.08128 0.009111 654 0.08095 0.009111 这是 GARCH
30、 的预测结果： *-* * GARCH Model Forecast * *-* Model: sGARCH Horizon: 6 Roll Steps: 0 Out of Sample: 0 0-roll forecast: sigma series 649 0.09606 0.026985 650 0.09551 0.009676 651 0.09498 0.009676 652 0.09445 0.009676 653 0.09394 0.009676 654 0.09344 0.009676 这是残差服从 t 分布的 GARCH 的预测结果： *-* * GARCH Model For
31、ecast * *-* Model: sGARCH Horizon: 5 Roll Steps: 0 Out of Sample: 0 0-roll forecast: sigma series 649 0.09430 0.022158 650 0.09371 0.009051 651 0.09314 0.009051 652 0.09258 0.009051 653 0.09204 0.009051 654 0.09150 0.009051 对比如下： sigma series GARCH GARCHt EGARCH GARCH GARCHt EGARCH 649 0.09606 0.094
32、30 0.08271 0.022158 0.026985 0.026335 650 0.09551 0.09371 0.08234 0.009051 0.009676 0.009111 651 0.09498 0.09314 0.08197 0.009051 0.009676 0.009111 652 0.09445 0.09258 0.08162 0.009051 0.009676 0.009111 653 0.09394 0.09204 0.08128 0.009051 0.009676 0.009111 654 0.09344 0.09150 0.08095 0.009051 0.009
33、676 0.009111 GARCH 和 GARCHt 在方差上的预测相近，但是均值预测不同，反而是 EGARCH 在均值预测 上与 GARCH 更加接近。由于采用的是 MA 模型，均值预测在第二步就相同了。 3.9 为 GM 数据建立 TGARCH 模型，并就杠杆效应进行显著性检验。给出向前 1 到 6 步的预 测。 拟合的模型为 ARMA(0,1)TGARCH(1,1) *-* * GARCH Model Fit * *-* Conditional Variance Dynamics - GARCH Model : gjrGARCH(1,1) Mean Model : ARFIMA(0,0
34、,1) Distribution : norm Optimal Parameters - Estimate Std. Error t value Pr(|t|) mu 0.009052 0.002658 3.4055 0.000660 ma1 0.079690 0.043049 1.8511 0.064149 omega 0.000164 0.000079 2.0718 0.038284 alpha1 0.066596 0.029035 2.2937 0.021810 beta1 0.881315 0.034262 25.7232 0.000000 gamma1 0.043701 0.0397
35、85 1.0984 0.272017 rt=0.009052+ at+0.079690* at-1 at= t t t2=0.000164+(0.066596+0.043701*Nt-1)at-12 +0.881315 t-12 Nt-1= 1,100,10 假定 t=2 或者-2，则其中杠杆效应为 =1.15 （ 0.066596+0.043701） 4+0.881315（ 0.066596） 4+0.881315 由于 alpha1，beta1，gamma1 的系数为显著的，所以杠杆效应在 5%的水平下也是显著的。 预测结果为 *-* * GARCH Model Forecast * *-* Model: gjrGARCH Horizon: 6 Roll Steps: 0 Out of Sample: 0 0-roll forecast: sigma series 649 0.09097 0.025986 650 0.09049 0.009052 651 0.09003 0.009052 652 0.08958 0.009052 653 0.08913 0.009052 654 0.08870 0.009052
