1、 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 1 黄冈立传教育导学案 高二数学 导学案 学生： 课题 名称 圆锥曲线复习 时间 2012 年 11 月 日 第 课时 课型 复习课 课时 6 主备人 张思藤 审核人 教学目标：掌握圆锥曲线和其它知识点交汇综合性问题的解题技巧。将圆锥曲线知 识系统化，形成问题规律化。 教学重点：椭圆的定义、标准方程、椭圆的简单几何性质及应用等知识，主要考查 概念、基本量求解、求曲线方程、求参数范围问题等几类高考中常出现的问题 主要解题策略：运用第一定义，第二定义进行突破；构造含参数的不等式，通 过解不等式求参数范围；与直线有关的问题经常通过消元，得到一个一元二
2、次方程， 再利用韦达定理进行变形求解；充分运用曲线的性质及图形的特征，使得解法更简 捷，因此在解题时要提高运用曲线的定义及图形的几何特征的意识体现主要数学 思想有：化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想 等应注意的问题是对直线斜率是否存在的讨论，应用定义时是否符合要求等 （一）考查概念 例 1（2009，全国）已知椭圆 2:1xCy 的右焦点为 F，右准线为 l，点 Al，线段AF 交 C于点 B，若 3FA，则 |F=( ) A. 2 B. 2 C. D. 3w 解析：过点 B 作 Ml于 M，并设右准线 l与 x轴的交点为 N，易知 FN =1 由题意 3，故 2|
3、又由椭圆的第二定义，得 |3F 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 2 |2AF故选 A. 归纳小结：本题充分挖掘图形的几何性质，应用椭圆的第二定义解决问题 例 2 椭圆 1492yx的焦点为 1F， 2，点 P为其上的动点，当 21PF为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 分析：欲求点 P横坐标 0x的取值范围，需要建立关于 0x的不等式，从不同的知识点切入就 得到不同的解法 解法 1：（两个定义相结合）由条件可知， 3a， 2b，所以 5c， 35ace 根据椭圆的定义， 12|6PF，于是两边平方得3221 PF ， 又在 21中，由余弦定理得， 22211cos0PF ， 所
4、以 2120F， 将代入上式得， 128P，设 的横坐标为 0x，由焦半径公式得00()()aex ，所以 2059x，故 035 解法 2：（与向量知识结合）因为 21PF为钝角，所以 12PF 设 0(,)Pxy，由分析 1 可知， 0(5,)xy， 0(5,)xy， 所以 005,).(5,)xy2， 又 0(,)xy在椭圆上，所以 2194 ， 、两式联立，消去 0y，即得 035x 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 3 归纳小结：本题考查椭圆的定义及余弦定理、向量、不等式等知识综合，因此应注意提高综 合解决问题的能力 例 3（2009 全国卷理）已知直线 20ykx与抛
5、物线 2:8Cyx相交于AB、 两点， F为 C的焦点，若 |FAB，则 k（ ） A 13 B 2 C 3 D 2 解析：分析图形，利用三角形相似，再利用抛物线的定义将问题转化，求出直线上一点的坐 标，求得 k的值 设抛物线 2:8yx的准线为 :2lx.直线 20ykx恒过定点 P2,0如 图过 AB、 分别作 Ml于 ， BN于 . 由 |2|FAB，则 |2|AMBN，点 B 为 AP 的中点连结 OB，则 1|2AF， |O.点 的横坐标为 1， 故点 的坐标为 20(1,)1()3k，故选 D 归纳小结：充分研究图形，结合抛物线的定义解决问题是解析几何重要方法 （二）基本量求解 例
6、 4（2009，上海）已知 1F、 2是椭圆 1:2byaxC（ a b0）的两个焦点， P为 椭圆 C上一点，且 21P若 21的面积为 9，则 =_ 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 4 解析：依题意，有 122184PFac ， 可得 4c2364 a2，即 a2 c29，故有 b3 归纳小结：本题主要考查椭圆的定义、长轴、短轴、焦距之间的关系 属于基础知识、基 本运算的考查 例 5 椭圆 21(0)xyab 的半焦距为 c，若直线 2yx与椭圆一个交点 P的横坐 标恰好为 c，则椭圆的离心率为（ ） A 2. B. 2 C. D. 31 分析：求离心率关键是根据已知条件得
7、到 a、 b、 c的等量关系若能充分利用图形的几何 特征及曲线的定义，可简化运算过程达到求解的目的 解法 1：由题知点 (,2)Pc，因为点 P在椭圆 21xy 上， 所以 24cab ， 化简得 222cab，又因为 22ac， 所以 ()4()， 化简得 4260c，同除以 4得 2610e， 解得 223(1)e， 因为 01，所以 e，故选 C 解法 2：由题知点 P在椭圆上且横坐标为 c，纵坐标为正数，所以点 P的坐标为 2(,)bca ， 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 5 又因为点 P在直线 2yx上，所以 2bca ， 即 2bac，又因为 2， 所以 20，
8、同除以 2得 1e， 解得 ， 因为 0， 所以 21e，故选 C 解法 3：由题意可知点 P坐标为 (,2)c，即 2|PFc 所以 12F为等腰直角三角形， 所以 |c 由椭圆定义 12|Pa， 即 2c， 所以 21ea，故选 C 归纳小结：本题三种解法各有特点，解法 2、解法 3 充分运用曲线的性质及图形的特征，使 得解法更简捷，因此在解题时要提高运用曲线的定义及图形的几何特征的意识 例 2(2009 山东理)设双曲线 12byax的一条渐近线与抛物线 21yx只有一个公共点， 则双曲线的离心率为（ ） A 45 B5 C 25 D 5 解析：双曲线 12byax的一条渐近线为 xab
9、y，由方程组 21 byxa ，消去 y，得210bx 有唯一解，所以= 2()40a， 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 6 所以 2ba， 221()5cabea ，故选 D （三）最值问题 例 6 已知抛物线 24yx，过点 (,0)P的直线与抛物线相交于 12(,)(,)AxyB两点， 则 21y的最小值是 解析：由于过点 (,0)P且与抛物线 24yx相交的直线不能是 x轴，故可设这条直线为4(xmyR ，与抛物线方程联立，消去 ，得 2160ym， 所以， 126， 进而 212121)(yyy 3262，当且仅当 0，即直线与 x轴 垂直时， 23 归纳小结：本题并
10、没有落入“设直线的斜率为 k、将 21y转化为 k的函数，这个函数的 最小值”的俗套而是类比直线方程的斜截式，将这条直线设为 4()xmyR，如此处理， 既不丢解又简捷明快 例 8（2006 江西） P是双曲线 2196xy 的右支上一点， M， N分别是圆2(5)4xy 和 2(5)x上的点，则 |P的最大值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 解析：双曲线的两个焦点 1(,0)F与 2(5,)恰好是两圆的圆心，欲使 |P的值 最大，当且仅当 |PM最大且 |N最小，由平面几何性质知，点 M在线段 1F的延长线上， 点 N是线段 2与圆的交点时所求的值最大. 黄冈立传智能教育中小学各科功
11、课快速提分辅导方案 7 此时 12|()(1)PMNFP9321PF因此选 D （四）突出几何性质的考查 例 6 如图，已知圆 O方程为 102yx，点 A的坐标为 ），（ 06， M为圆 O上任意一 点，线段 A的垂直平分线交 于点 P，则点 的轨迹方程为（ ） A 2156xy B 2(3)156xy C 2 D 2() 解析：由于 POAM106，所以，点 P的轨迹是以 OA、 为焦点、以 10 为长轴长的椭圆因此选 B 归纳总结：应用定义求动点轨迹或其方程，其优势在于避免列式、化简等烦琐的代数处理过 程，给人以简捷、明快之感定义法是解析几何中求动点轨迹及其方程的重要方法之一 例 7 已
12、知椭圆 213xy 的左右焦点分别为 1F、 2，过 1的直线交椭圆于 B、 D 两点， 过 2F的直线交椭圆于 A、 C 两点，且 BD，垂足为 P. （1）设 P 点的坐标为 0(,)xy，证明： 2013xy ； 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 8 （2）求四边形 ABCD 的面积的最小值 分析:因为 ACBD于点 P，又 1F、 2是两个定点，所以，点 P在以线段 12F为直径的 圆上，即 P 点的坐标为 0(,)xy满足 0y，这样问题就转化为在此代数条件下求代数式203xy 的取值范围的问题了方法显然不唯一 由条件知 ABCD是对角线互相垂直的四边形，那么，这样的四
13、边形的面积怎样计算呢？由 平面几何易知， 1|2SB这就将问题转化为求椭圆的弦长问题了，显然 |AC，| 的长由它们的斜率决定，这已是常规的解析几何问题了 解：（1）方法 1：椭圆的半焦距 321c，由 ACBD 知点 P在以线段 12F为直 径的圆上，故 20xy， 所以， 2013 方法 2：由方法 1 知， 20xy，即 2200x， 所以 0136xy （2） （）当 BD的斜率 k存在且 0时， BD的方程为 (1)ykx， 代入椭圆方程 213xy ，并化简得 22(3)630kx 显然 0设 1()B， ， 2()xy， ，则 212k ， 2136kx .2222211 14(
14、)()()()()3Dxykxk ； 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 9 又由于直线 AC与 BD过同一点 P，且相互垂直，同理可得，2214343(1)kk 四边形 ABCD的面积为 111|222SBPACDBAC24()33k2()9653k 当 21k时，上式取等号 （）当 BD的斜率 0k或斜率不存在时，四边形 ABCD的面积 4S 综上，四边形 AC的面积的最小值为 9625 归纳小结：第一问实际上是证明点 P 在椭圆的内部，这只需利用不等式进行放缩即得到结论， 或者，由点 P满足的关系，消去变量 0y，得到关于 0x的函数，求其取值范围即可；第二问把要 解决的解析
15、几何问题转化为代数中的方程、不等式或函数问题，这是在转化与化归思想指导下 “几何问题代数化”的具体体现 （5）轨迹问题 直接法：直接利用条件建立 之间的关系 ；,xy(,)0Fxy 如已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 的距离之和等于 4，求 P 的轨迹方程（答：3 或 ）；21(4)3)yx24(0) 待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程， 再由条件确定其待定系数。 如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M（m ，0） ，端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m，)( 以 x 轴为对称轴，过 A、O、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为 （答： ） ；
16、2y 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨 迹方程； 如(1)由动点 P 向圆 作两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，APB=60 0，则动点21xy P 的轨迹方程为 （答： ）；24xy （2）点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 的距离小于 1，则点 M 的轨迹方程是05l： _ （答： ）；26y (3) 一动圆与两圆M： 和N： 都外切，则动圆圆心的12yx 0282x 轨迹为 （答：双曲线的一支）； 代入转移法：动点 依赖于另一动点 的变化而变化，并且 又在(,)P0(,)Qy0(,)Qxy 某已知曲线上，则可先用 的代数式表示
17、 ，再将 代入已知曲线得要求的轨迹方程；0,x 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 10 如动点 P 是抛物线 上任一点，定点为 ,点 M 分 所成的比为 2，则 M12xy)10(A PA 的轨迹方程为_（答： ）；362 参数法：当动点 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑(,) 将 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。,xy 如（1）AB 是圆 O 的直径，且|AB|=2 a，M 为圆上一动点，作 MNAB，垂足为 N，在 OM 上取 点 ，使 ，求点 的轨迹。（答： ）；P|MNP2|xya （2）若点 在圆 上运动，则点 的
18、轨迹方程是_（答：),(1yx12y),(11yxQ ）；|y 例 7 已知点 10(,)Pxy为双曲线 218xyb （ b为正常数）上任一点， 2F为双曲线的右 焦点，过 1作右准线的垂线，垂足为 A，连接 2F并延长交 y轴于 2P求线段 12的中点P 的轨迹 E的方程 分析：求轨迹问题有多种方法，如相关点法等，本题注意到点 是线段 12的中点，可利 用相关点法 解：由已知得 208(3,),)FbAy，则直线 2FA的方程为： 03()yxb 令 0x得 09y，即 2(9P 设 P（ ， ） ，则 00 52xyy ， 即 025xy 代入 0218xb得： 2418xb ， 即 P
19、的轨迹 E的方程为 225y ()xR 归纳小结：将几何特征转化为代数关系是解析几何常用方法 （六）求参数范围问题 例 8（2008，福建）椭圆 21xyab(0) 的一个焦点是 (1,0)F， O为坐标 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 11 原点 （1）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； （2）设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、 B 两点若直线 l 绕点 F 任意转动，恒有2OAB ，求 a的取值范围 分析：将几何条件“椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形”转化 为代数等式，解之即得 3b ，继而由椭圆参数之间的关系便可求出 a； 对
20、于第（2）问，容易知道，当三点 ,AOB不共线时，2OABcos00120xy （设 12(,)(,)xy）由此可得关于 ,ab的不等式，再由 21ba消去 b， 就得到关于 a的不等式，解之即可 解：(1)设 ,MN为短轴的两个三等分点， 因为 F为正三角形，所以 32OFMN， 321b，解得 3 214,ab 因此，椭圆方程为 4xy (2) 设 12(,)(,)AxyB ()当直线 与 重合时，222,4(1)Oaa ，因此，恒有 22OAB ()当直线 不与 x轴重合时， 设直线 AB 的方程为 ()myR，代入 21xyab ， 整理得 222()0abb， 所以 122y， 21
21、2ya 因为恒有 OAB，所以 AOB恒为钝角 即 1212(,),0xyxy 恒成立12 1212()()xmmy 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 12 222(1)1mbabm2220abam 又 20，所以 2220a对 R恒成立， 即 2abb对 R恒成立，当 时， 2ab最小值为 0， 所以 2， 224(1)b， 因为 0, ， a ，即 20a， 解得 152a或 152(舍去)，即 5， 综合（i）(ii)， a 的取值范围为 1(,)2 归纳小结：主要考查直线、椭圆和不等式等基本知识，侧重考查椭圆与不等式 交汇问题，是对多个知识点的综合考查 本题的亮点在第 2
22、 问，实质是探究“椭圆中心恒在以焦点弦为直径的圆内”的 充分必要条件当三点 ,AOB不共线时， 22AOBcos0AOB120xy 为了得到 12xy，需要将过点 F 的直线 l 与椭圆的方程联立，通过消元，得 到一个一元二次方程，再利用韦达定理整体变形，得到 12xy用 m表示解析式， 应用不等式性质使问题获得解决如果选择“点斜式”的方法给出直线 l 的方程， 则需要按直线 l 与 x轴是否垂直分类讨论 例 7 过抛物线 2:yC上两点 M， N的直线 l交 y轴于点 0,Pb （1）若 0ON（O 为坐标原点） ，求实数 b的取值范围； （2）若 b，曲线 在点 ， 处的切线的交点为 Q证
23、明：点 必在一条定直线上 运动 分析：结合向量知识及抛物线的知识建立关于 b的关系式求 的取值范围；（2）问结合导 数的知识求切线的方程，求交点 Q满足的关系 解：（1）设点 M， N坐标分别为 21(,)x， 212(,)x，则 21(,)OMx， 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 13 2(,)ONx由题意可设直线 l方程为 bkxy. 由 2yxkb ，消去 y得， 20xkb，则 21240kbx 因为 0OMN，所以 12ON 0b，解得 1b所以 实数 b的取值范围为 1, （2）当 时，由（1）知 ,221bxk 因为函数 2xy的导数为 y，抛物线在 21()Mx
24、， 2(,)Nx两点处切线的斜率分 别为 1Mk， 2N，所以抛物线在点 ， 处的切线方程分别为2()yxx 和 2()yx， 由 21122,()yxx ，解得交点 Q的坐标 (,)xy满足 12,x 即 ,2 ky 所以点 Q在定直线 y上运动 归纳小结：（2）中结论的一般化是：过点 (0,)b的直线与抛物线 2xpy相交于 A， B两 点，抛物线在 A， B两点处的切线的交点为 ，则点 Q的轨迹是 b（去掉在抛物线内部的 部分） 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 14 例 8 给定抛物线 2:4Cyx， F是 C的焦点，过 F的直线 l与 C交于 A、 B两点，记O 为坐标
25、原点 （）求 AB的值； （）设 F，当三角形 OAB的面积 2,5S时，求 的取值范围 分析：结合向量知识和解析几何知识，设坐标，列出关系式求 的取值范围 （1）解：设 1(,)Axy， 2(,)B 则 12OABxy 当 B斜率不存在时， ， 1， 所以 12Oxy43； 当 A斜率存在时，设 AB所在直线方程为 (1)ykx0， 由 2(),4ykx消去 得 240yk，则12 ，yk 因为 214x， 2y， 所以 2126， 所以 1x， 因此 12OABxy43， 综上 3 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 15 （2）解法：由（1）知 12|SOFyy122112(
26、|)|()4yyy 2216kk ， 因为 AFB， 所以 12(,)(1,)xyxy， 所以 ， 2，代入得 24y，24(1)yk ，消去 2y得 2(1)k ， 所以 2()4S ， 由 125得 152 解法 2：因为 AFB及点 、 在抛物线 C上， 所以 12()x，y ，214x ，2y 由得 21y， 代入得 214x，解得 21x， 21,2y， 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 16 所以 12|2SOFyy12(|)y1以下同解法 1 解法 3：由题可知 AB， |F，再根据抛物线定义可得12()x ， ， 由得 2x， 1，代入抛物线 C的方程得 21,2y，以下同解法 2 归纳小结：本题是利用方程的思想、函数思想方法求参数 的范围恰当运用图形的几何 特征及抛物线的定义可简化运算量 信息反馈： 学生今日表现： 老师寄语： 家长意见： 家长签字： 学管师签字： 本周最有意义的事： 学生在学校考试成绩记录： 月份考试 月份考试 月份考试 月份考试 期中考试 期末考试 分 分 分 分 分 分 年 月 日 年 月 日 年 月 日 年 月 日 年 月 日 年 月 日
