1、 2014 届高三文科数学一轮复习之 2013 届名校解析试题精选分类汇编 10：概率 一、选择题 1. （【解析】山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学文（a）已知集合31|,032| xgyBxA ,在区间 3,上任取一实数 x,则“ BA”的概率 为 (A) 41(B) 81(C) (D)12 【答案】C【解析】 2 3|30Axx, 1|(1)013Bxyg x ,所以A ,因为 BAx,所以 x.根据几何概型可知 BA的概率为1()21363 ,选 C. 2. （【解析】山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学（文）试题）从 1,2345中随机选取一个数 为 a
2、 从 2,4中随机选取一个数 b,则 ba的概率是 A. 5B. 3C. 25D. 1 【答案】C 从两个集合中各选 1 个数有 15 种,满足 ba的数有, (1,2)3,()1,4(2),3共 有 6 个,所以 ba的概率是 6,选 C. 3. （山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测（二模）数学（文）试题）设 0,5p在 上随机地取值,则关于 x 的方程 210xp有 实数根的概率为 A. 15B. C. 35D. 45 【答案】C 方程有实根 ,则 20p,解得 2p或 (舍去).所以由几何概型可知所求的概率 为 230,选 C. 二、填空题 4. （【解析】山东省青岛一中 20
3、13 届高三 1 月调研考试文科数学）在如图的表格中,每格填上一个数字后,使 得每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,则 abc的值为_. 【答案】1【解析】由题意知 21a,所以 2.第三列和第五列的公比都为 12 ,所以 31()28m ,所 以 135248b ,即 6 b . 43()6c ,所以 153126abc . 5. （【解析】山东省临沂市 2013 届高三 3 月教学质量检测考试（一模）数学（文）试题）已知向量 a=(1,-2), b=(x,y),若 x,y1,4,则满足 0ab 的概率为_. 【答案】 19 因为 0ab ,所以 20xy,又 14xy.做出可行域如图
4、,当 1y时, 2,xy,即 (2,0)B.当 4x时, 42xy,即(4,2)D ,所以 2,1BCD,即三角形 BCD 的面积为 1.所以由几何概型可知满足 0ab 的 概率为 139. 三、解答题 6. （山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测（二模）数学（文）试题）某校从高一年级学生中随机抽取 50 名学生,将他们的期中考试数学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段: 40,5,6,901,得到如图所示的频率分布直方图. (I)若该校高一年级共有学生 1000 人,试估计成绩不低于 60 分的人数; (II)为了帮助学生提高数学成绩,学校决定在随机抽取的
5、 50 名学生中成立“二帮一”小组,即从成绩901 中选两位同学,共同帮助 40,5中的某一位同学.已知甲同学的成绩为 42 分,乙同学的成绩为 95 分,求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率. 【答案】解:()根据频率分布直方图, 成绩不低于 60 分的频率为 1(1)0.86 由于该校高一年级共有学生 1000 人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于 60 分的人数为 10.860 人 ()成绩在 4,5分数段内的人数为 50.42人 成绩在 9分数段内的人数为 1人, 40,50)内有 2 人,记为甲、 A.90,100)内有 5 人,记为乙、 B、 C、 D、 E.
6、 则“二帮一”小组有以下 20 种分组办法:甲乙 B,甲乙 C,甲乙 D,甲乙 , 甲 BC, 甲 BD,甲 BE ,甲 CD, 甲 C , 甲 DE, A 乙 B,A 乙 C,A 乙 D,A 乙 E,ABC,ABD,ABE , ACD, ACE, ADE 其中甲、乙两同学被分在同一小组有 4 种办法:甲乙 B,甲乙 C,甲乙 D,甲乙 所以甲乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为 41205P 7. （【解析】山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学 ）某校从参加高三年级期中考试的学生中 随机统计了 40 名学生的政治成绩,这 40 名学生的成绩全部在 40 分至 l00 分之间,
7、据此绘制了如图所示的 样本频率分布直方图. (I)求成绩在80,90)的学生人数; ()从成绩大于等于 80 分的学生中随机选 2 名学生,求至少有 l 名学生成绩在 90,100的概率. S B CD A M N 【答案】解:()因为各组的频率之和为 1,所以成绩在区间 80,9)的频率为 1(0.52.10.2.45)10. , 所以,40 名学生中成绩在区间 8,9的学生人数为 4.1(人) ()设 A表示事件“在成绩大于等于 80 分的学生中随机选两名学生,至少有一 名学生成绩在区间 90,1内 ”, 由已知和()的结果可知成绩在区间 80,9)内的学生有 4 人, 记这四个人分别为
8、,abcd, 成绩在区间 901内的学生有 2 人,记这两个人分别为 ,ef 则选取学生的所有可能结果为: (,),(),(),(,),()abcdaefbcdbf,(),cdcf , def 基本事件数为 15, 事件“至少一人成绩在区间 90,1之间”的可能结果为: (,),(),aefbef(),(),()cefdef , 基本事件数为 9, 所以 93()15PA 8. （【解析】山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟文科数学）以下茎叶图记录了甲组 3 名同学寒假假期中 去图书馆 学习的次数和乙组 4 名同学寒假假期中去图书馆 B学习的次数. 乙组记录中有一个数据模糊, 无法确
9、认,在图中以 x 表示. 甲组 0 1 x 8 2 9 21 9 乙组 第 18 题图 (1)如果 x =7,求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差; (2)如果 x =9,从学习次数大于 8 的学生中选两名同学,求选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学 习的次数和大于 20 的概率. 【答案】解(1)当 x=7 时,由茎叶图可知,乙组同学去图书馆学习次数是:7,8,9,12,所以平均数为;941287x 方差为 .27)91()9()8()(22s (2)记甲组 3 名同学为 A1,A2,A3,他们去图书馆学习次数依次为 9,12,11;乙组 4 名同学为 B1,B2,B3,B4,他们
10、 去图书馆学习次数依次为 9,8,9,12;从学习次数大于 8 的学生中人选两名学生,所有可能的结果有 15 个, 它们是: A1A2,A1A3,A1B1,A1B3,A1B4,A2A3,A2B1,A2B3,A2B4,A3B1,A3B3,A3B4, B1 B3,B1B4,B3B4 用 C 表示:“选出的两名同学恰好在两个图书馆学习且学习的次数和大于 20”这一事件,则 C 中的结果有 5 个,它们是:A 1B4,A2B4,A2B3,A2B1,A3B4, 故选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于 20 概率为 .315)(P 9. （山东省威海市 2013 届高三上学期期末考 试
11、文科数学） 某普通高中共有教师 人,分为三个批次参加60 研修培训,在三个批次中男、女教师人数如下表所示: 已 知 在 全 体 教 师 中 随 机 抽 取 1 名 ,抽 到 第 二 、 三 批 次 中 女 教 师 的 概 率 分 别 是 、 .0.5 ()求 的值;,xyz ()为了调查研修效果,现从三个批次中按 的比例抽取教师进行问卷调查,三个批次被选取的人数分1:60 别是多少? ()若从()中选取的教师中随机选出两名教师进行访谈,求参加访谈的两名教师“分别来自两个批次” 的概率. 【答案】解:() 360.154,360.1xy 36085492z ()由题意知,三个批次的人数分别是 ,
12、所以被选取的人数分别为 8, 3,21 ()第一批次选取的三个教师设为 ,第二批次的教师为 ,第三批次的教师设为 ,则从这123A12BC第一批次 第二批次 第三批次女教师 86x男教师 94z 名教师中随机选出两名教师的所有可能组成的基本事件空间为6 共 15 个 12312123123123122,ABACBACBBC “来自两个批次”的事件包括 共 11 个, 112122312312, 所以“来自两个批次”的概率 5p 10.（【解析】山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学）从某学校的 80名男生中随机抽取 50名 测量身高,被测学生身高全部介于 1cm 和 9cm 之间
13、,将测量结果按如下方式分成八组 :第一组 1,160 ),第二组 160, ),第八组 0, ,右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分, 已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为 4人. ()求第七组的频率; ()估计该校的 8名男生的身高的中位数以及身高在 180cm 以上(含 180cm)的人数; ()若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为 ,xy,事件 E5xy ,事件 F 15xy,求 ()PEF. 率率 (cm) 率率/率率 195190185180175170165160 0.06 0.04 0.016 0.008 O 155 身高(
14、cm) 频率/组距 【答案】()第六组的频率为 4.,所以第七组的频率为 10.85(.02.1602.6)0. ; ()身高在第一组155,160)的频率为 854, 身高在第二组160,165)的频率为 , 身高在第三组165,170)的频率为 4, 身高在第四组170,175)的频率为 02, 由于 0.48.23., .0.520. 估计这所学校的 800 名男生的身高的中位数为 m,则 17 由 (17).4.5m得 4. 所以可估计这所学校的 800 名男生的身高的中位数为 由直方图得后三组频率为 0.68.0.8, 所以身高在 180cm 以上(含 180cm)的人数为 0.18
15、4人 ()第六组 180,5)的人数为 4 人,设为 ,abcd,第八组190,195的人数为 2 人, 设为 ,AB,则有,abcdc,aAbdBA 共 15 种情况, 因事件 E xy发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组,所以事件 E包含的基本事件为,cc 共 7 种情况,故 7()15PE 由于 max19580y,所以事件 F xy是不可能事件, ()0PF 由于事件 E和事件 F是互斥事件 ,所以 7()()15 11.（【解析】山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学（文）(本小题满分 l2 分) 为了增强学生的环保意识,某中学随机抽取了 50 名学生举行了一次环保知
16、识竞赛,本次竞赛的成绩(得分 均为整数,满分 100 分)整理得到的频率分布直方图如下图.若图中第一组(成绩为40,50)对应矩形高是 第六组(成绩为90,100)对应矩形高的一半. (1)试求第一组、第六组分别有学生多少人? (2)若从第一组中选出一名学生,从第六组中选出 2 名学生,共 3 名学生召开座谈会,求第一组中学生 A1和 第六组中学生 B1同时被选中的概率. 【答案】 12.（【解析】山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试 数学（文）试题）有编号为 A1,A2,A3,A6的 6 位同学,进 行 100 米赛跑,得到下面的成绩: 其中成绩在 13 秒内的同学记 为优秀. (
17、l)从上述 6 名同学中,随机抽取一名,求这名同学成绩优秀的概率; (2)从成绩优秀的同学中,随机抽取 2 名,用同学的编号列出所有可能的抽取结果,并求这 2 名同学的成绩 都在 12.3 秒内的概率. 【答案】 13.（【解析】山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试文科数学）某班 50名学生在一次百米测试中,成绩全 部介于 13秒与 8秒之间,将测试结果按如下方式分成五组:第一组 134),第二组 1,5),第五组7, ,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (1)若成绩大于或等于 14秒且小于 6秒认为良好,求该班在这次百米测试中成绩良好的人数; (2)若从第一、五组中随机取出
18、两个成绩,求这两个成绩的差的绝对值大于 的概率. 频率/组距 0.08 0.24 0.28 0.36 0.04 秒13 14 15 16 17 18 （第 20 题） 【答案】解:(1)由频率分布直方图知,成绩在 14,6)内的人数为: 50.280.362(人) 所以该班成绩良好的人数为 32人 (2)由频率分布直方图知,成绩在 ,)的人数为 50.人,设为 x、 y; 成绩在 178) 的人数为 50.84人,设为 A、 B、 C、 D 若 ,3,4mn时,有 xy1种情况 ; 若 )时,有 ,ABCD6种情况; 若 ,分别在 和 78)内时, 12 A B C D x xA xB xC
19、xD y yA yB yC yD 共有 8种情况 所以基本事件总数为 15种,事件“ |1mn”所包含的基本事件个数有 8种. P(|mn) 8 14.（【解析】山东省烟台市 2013 届高三 5 月适应性练习（一）文科数学）有一个不透明的袋子,装有 3 个完全 相同的小球,球上分别编有数字 l,2,3. (1)若逐个不放回取球两次,求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被 3 整除的概率; (2)若先从袋中随机取一个球,该球的编号为 a,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为 b,求直线 ax+by+1=0 与圆 x2+ y2= 19有公共点的概率. 【答案】 15.（
20、【解析】山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟文科数学）某高校组织的自主招生考试,共有 1000 名同 学参加笔试,成绩均介于 60 分到 100 分之间,从中随机抽取 50 名同学的成绩进行统计,将统计结果按如下 方式分为 4 组:第 1 组60,70),第 2 组70,80),第 3 组80,90),第 4 组90,100.如图是按上述分组方法 得到的频率分布直方图,且笔试成绩在 85 分(含 85 分)以上的同学有面试资格. ()估计所有参加笔试的 1000 名同学中,有面试资格的人数; ()已 知 某 中 学 有 甲 、 乙 两 位 同 学 取 得 面 试 资 格 ,且 甲 的
21、 笔 试 比 乙 的 高 ;面 试 时 ,要 求 每 人 回 答 两 个 问 题 ,假 设 甲 、 乙 两 人 对 每 一 个 问 题 答 对 的 概 率 均 为 ; 若 甲 答 对 题 的 个 数 不 少 于 乙 ,则 甲 比 乙 优 先 获 得 高 考 加 分 资 格 .求 甲 比 乙 优 先 获 得 高 考 加 分 资 格 的 概 率 . 第 20 题 图 得分 10090807060o 0.036 0.03 0.014 频率/组距 【答案】解:()设第 (1,234)i组的频率为 if,则由频率分布直方图知 41(006.f 所以成绩在 85 分以上的同学的概率 P 340.61+.2
22、038,2f 故这 1000 名同学中,取得面试资格的约有 10000.38=380 人. ()设答对记为 1,打错记为 0,则所有可能的情况有: 甲 00乙 00,甲 00乙 10,甲 00乙 01,甲 00乙 11,甲 10乙 00,甲 10乙 10,甲 10乙 01, 甲 10乙 11,甲 01乙 00,甲 01乙 10,甲 01乙 01,甲 01乙 11,甲 11乙 00,甲 11乙 10, 甲 11乙 01,甲 11乙 11,共 16 个 甲答对题的个数不少于乙的情况有: 甲 00乙 00,甲 10乙 00,甲 10乙 10,甲 10乙 01,甲 01乙 00,甲 01乙 10,甲
23、01乙 01, 甲 11乙 00,甲 11乙 01,甲 11乙 10,甲 11乙 11,共 11 个 故甲比乙优先获得高考加分资格的概率为 16. 16.（【解析】山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试文科数学）若人们具有较强的节约意识,到饭店就餐 时吃光盘子里的东西或打包带走,称为“光盘族”,否则称为“非光盘族”某班几位同学组成研究性学习 小组,从某社区25,55岁的人群中随机抽取 n 人进行了一次调查得到如下统计表: (I)求 a、b 的值并估计本社区 25,55岁的人群中“光盘族”人数所占的比例; ()从年龄段在35,45)的“光盘族”中采用分层抽样法抽取 8 人参加节约粮食宣传活
24、动,并从这 8 人中 选取 2 人作为领队,求选取的 2 名领队分别来自35,40)与 40,45)两个年龄段的概率. 【答案】解:(1)第一组的人数为 50,第一组的频率为 ,所以 人 0501.5n 所以光盘族占比为 520%1 17.（【解析】山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测文科数学）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行 统计,随机抽取 M 名学生作样本,得到这 M 名学生参加社区服务的次数,根据此数据作出了频数与频率的统 计表和频率颁直方图如下: (1 求出表中 M,p 及图中 a 的值; (2)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人,求
25、至多一人参加社区服务次数 在区间25,30内的概率. 【答案】 18. （【解析】山东省青岛一中 2013 届高三 1 月调研考试文科数学）某日用品按行业质量标准分成五个等级,等 级系数 X 依次为 1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取 20 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分 布表如下: (1)若所抽 取的 20 件 日用品中, 等级系数为 4 的恰有 3 件,等级系数为 5 的恰有 2 件,求 a,b,c 的值; (2)在(1)的条件下,将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1,x2,x3,等级系数为 5 的 2 件日用品记为 y1,y2,现 从 x1,x2,x3,y1
26、,y2这 5 件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果, 并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率. 【答案】解答:(1)由频率分布表得 a+0.2+0.45+b+c=1, a+b+c=0.35 因为抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,所以 b= 20=0.15 等级系数为 5 的恰有 2 件,所以 c= 0=0.1 从而 a=0.35-b-c=0.1 所以 a=0.1 b=0.15 c=0.1 (2)从日用品 1X, 2, 3, 1Y, 2中任取两件,所有可能结果( 1X, 2),( 1, 3),( 1X,Y),( 1, 2), ( 2
27、, 3),( , ),( , ),( 3X, 1),( 3, 2Y),( , )共 10 种, 设事件 A 表示“从日用品 1, 2, , , 2中任取两件,其等级系数相等”,则 A 包含的基本事件为(1X , 2),( 1, 3),( , ),( 1Y, )共 4 个, 故所求的概率 P(A)= 40=0.4 19.（山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学文）某学校组织 500 名学生体检,按身高(单位:cm)分组:第 X 1 2 3 4 5 频率 a 0.2 0.45 b c 1 组155,160),第 2 组160,165),第 3 组165,170),第 4 组170,1
28、75),第 5 组175,180,得到的频率分布 直方图如图所示. (1)下表是身高的频数分布表,求正整数 m,n 的值; (2)现在要从第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人,第 1,2,3 组应抽取的人数分别是多少? (3)在(2)的前提下,从这 6 人中随机抽取 2 人,求至少有 1 人在第 3 组的概率. 【答案】 20.（山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试 数学（文）试题）有六张纸牌,上面分别写有 1,2,3,4,5,6 六个数字,甲、乙两人玩一种游戏:甲先取一张牌,记下点数,放回后乙再取一张牌,记下点数. 如果两个点数的和为偶数就算甲胜,否则算乙胜. (1)
29、求甲胜且点数的和为 6 的事件发生的概率; (2)这种游戏规则公平吗?说明理由. 【答案】解:(1)设“甲胜且点数的和为 6”为事件 A,甲的点数为 x,乙的点数为 y,则(x,y)表示一个基本事 件 两人取牌结果包括(1,1),(1,2),(1,5),(1,6),(2,1),(6,1),(6,6)共 36 个基本事件; A 包含的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3)(4,2),(5,1)共 5 个, 所以 365）（P 所以,编号之和为 6 且甲胜的概率为 365 (2)这种游戏公平.设“甲胜”为事件 B,“乙胜”为事件 C.甲胜即两个点数的和为偶数 所包含基本事件为以下 18 个:
30、(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4), (4,6),(5,1),(5,3)(5,5),(6,2),(6,4),(6,6) 所以甲胜的概率为 21368;21368)( ）（乙 胜 的 概 率 为 CPBP )(C .这 种 游 戏 规 则 是 公 平 的 21. （【解析】山东省滨州市 2013 届高三第一次（3 月）模拟考试数学（文）试题）甲、乙两名考生在填报志愿时都 选中了 A、 B、 、 D四所需要面试的院校 ,这四所院 校的面试安排在同一时间.因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所做志愿,假设
31、每位 同学选择各个院校是等可能的,试求: ()甲、乙选择同一所院校的概率; ()院校 、 至少有一所被选择的概率. 【答案】 22.（【解析】山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学文（a）M 公司从某大学招收毕业生,经过综合测 试,录用了 14 名男生和 6 名女生,这 20 名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位:分),公司规定:成绩在 180 分以上者到“甲部门”工作;180 分以下者到“乙部门”工作. (I)求男生成绩的中位数及女生成绩的平均值; (II)如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中共选取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那 么至少有一人是“甲部门”
32、人选的概率是多少? 【答案】 23.（【解析】山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学）为了解社会对学校办学质量的满意程度, 某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级的家长委员会中共抽取 6 人进行问卷调查,已知高一、高二、 高三的家长委员会分别有 54 人、1 8 人、36 人. (I)求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数; ()若从抽得的 6 人中随机抽取 2 人进行训查结果的对比,求这 2 人中至少有一人是高三学生家长的慨率. 【答案】解:()家长委员会人员总数为 54+18+36=108,样本容量与总体中的个体数的比为 ,故从6108 三个年级的家长委员会中分别抽取
33、的人数为 3,1,2 人 ()设 为从高一抽得的 3 个家长, 为从高二抽得的 1 个家长, 为从高三抽得的 2 个家长. 123,A1B12,C 则抽取的全部结果有:( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),12,A13,A1,C12,A3,1,AB21,C2,A ( ),( ),( ),( ),( ),( )共 15 种, 31,B31,C3,C2,2, 令 “至少有一人是高三学生家长”,结果有( ),( ),( ),( ),( ),( ),(X 1,AC12,1,AC2,31,AC32, ),( ),( )共 9 种 1,BC12,12,C 所以这 2 人中至少有 1 人是高三学生家长的概率是 93().15PX
