1、圆中常见辅助线的做法 一遇到弦时（解决有关弦的问题时） 1.常常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半 径。作用：利用垂径定理； 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关 量。 例：如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C、D 二点.求证：AC = BD 证明:过 O 作 OEAB 于 E O 为圆心，OEAB AE = BE CE = DE AC = BD 练习：如图，AB 为O 的弦，P 是 AB 上的一点，AB = 10cm，PA = 4cm.求O 的半径. P O B
2、A 2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角. 例：如图，已知 AB 是O 的直径，M、N 分别是 AO、BO 的中点，CMAB,DNAB,求证： ACD 证明：（一）连结 OC、OD M、N 分别是 AO、BO 的中点 OM = AO、ON = BO12 OA = OB OM = ON CMOA、DNOB、OC = OD RtCOMRtDON COA = DOB ACBD （二）连结 AC、OC、OD、BD M、N 分别是 AO、BO 的中点 AC = OC BD = OD OC = OD AC = BD ACBD 3.有弦中点时常连弦心距 O E DC BA O NM DC
3、 BA 例：如图，已知 M、N 分别是O 的弦 AB、CD 的中点,AB = CD，求证：AMN = CNM 证明：连结 OM、ON O 为圆心，M、N 分别是弦 AB、CD 的中点 OMAB ONCD AB = CD OM = ON OMN = ONM AMN = 90 oOMN CNM = 90 oONM AMN =CNM 4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距. 例：如图，已知O 1与O 2为等圆，P 为 O1、O 2的中点，过 P 的直线分别交O 1、O 2于 A、C、D、B.求证：AC = BD 证明：过 O1作 O1MAB 于 M,过 O2作 O2NAB 于 N，则 O1MO 2N
4、 22MN O 1P = O2P O 1M = O2N AC = BD 二.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅 助线的方法： 连结过弧中点的半径 连结等弧所对的弦 连结等弧所对的圆心角 例：如图，已知 D、E 分别为半径 OA、OB 的中点，C 为弧 AB 的中点，求证：CD = CE 证明：连结 OC C 为弧 AB 的中点 AB AOC =BOC D、E 分别为 OA、OB 的中点，且 AO = BO OD = OE = AO = BO12 又OC = OC ODCOEC CD = CE 3.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题. 例：如图，AB 为O
5、 的直径，AC 为弦，P 为 AC 延长线上一点，且 AC = PC,PB 的延长线交 O 于 D，求证：AC = DC 证明：连结 AD AB 为O 的直径 ADP = 90 o AC = PC O NM D C B A P O 2O 1 N M D C B A O ED C BA PO D C B A AC = CD = AP12 例（2005 年自贡市）如图 2，P 是O 的弦 CB 延长线上一点，点 A 在O 上，且 。求证：PA 是O 的切线。BAPC 证明：作O 的直径 AD，连 BD，则 即DB,90DBA90 CPA 即90P PA 为O 的切线。 四遇到 90 度的圆周角时
6、常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。 练习：如图，在 RtABC 中，BCA = 90o ,以 BC 为直径的O 交 AB 于 E，D 为 AC 中点， 连结 BD 交O 于 F.求证： BCFE 五.有等弧时常作辅助线有以下几种： 作等弧所对的弦 作等弧所对的圆心角 作等弧所对的圆周角 练习：1.如图，O 的直径 AB 垂直于弦 CD，交点为 E，F 为 DC 延长线上一点，连结 AF 交 O 于 M.求证：AMD =FMC(提示：连结 BM) 2.如图，ABC 内接于O，D、E 在 BC 边上，且 BD = CE，1 =2，求证：AB = AC （提示
7、如图） 2题 图 G O F ED CB A 21 1题 图 F M O E D C BA 六.有弦中点时，常构造三角形中位线. 例：已知，如图，在O 中，ABCD，OEBC 于 E，求证：OE = AD12 证明：作直径 CF，连结 DF、BF CF 为O 的直径 CDFD 又CDAB ABDF ADBF AD = BF OEBC O 为圆心 CO = FO CE = BE OE = BF12 OE = AD 七.圆上有四点时，常构造圆内接四边形. 例：如图，ABC 内接于O，直线 AD 平分FAC，交O 于 E，交 BC 的延长线于 D，求证： ABAC = ADAE 证明：连结 BE 1
8、 =3 2 =1 3 =2 四边形 ACBE 为圆内接四边形 ACD =E ABEADC AEBCD ABAC = ADAE 八.两圆相交时，常连结两圆的公共弦 例：如图，O 1与O 2相交于 A、B，过 A 的直线分别交O 1、O 2于 C、D，过 B 的直线分 别交O 1、O 2于 E、F.求证：CEDF 证明：连结 AB 四边形为圆内接四边形 ABF =C 同理可证：ABE =D ABF ABE = 180 o CD = 180 o CEDF 九.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法： O FE DC B A 3 21O F E DCB A O2O1 F E D C B A 当
9、已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所 作半径与这条直线垂直即可. 如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段 的长度等于半径的长即可. 例 1：如图，P 为O 外一点，以 OP 为直径作圆交O 于 A、B 两点，连结 PA、PB. 求证：PA、PB 为O 的切线 证明：连结 OA PO 为直径 PAO = 90 o OAPA OA 为O 的半径 PA 为O 的切线 同理：PB 也为O 的切线 例 2：如图，同心圆 O，大圆的弦 AB = CD，且 AB 是小圆的切线，切点为 E，求证：CD 是 小圆的切线 证明：连结 OE，过 O 作 O
10、FCD 于 F OE 为半径，AB 为小圆的切线 OEAB OFCD, AB = CD OF = OE CD 为小圆的切线 练习：如图，等腰ABC，以腰 AB 为直径作O 交底边 BC 于 P，PEAC 于 E, 求证：PE 是O 的切线 十.当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题. 例：如图，在 RtABC 中，C = 90o，AC = 12，BC = 9，D 是 AB 上一点，以 BD 为 直径的O 切 AC 于 E，求 AD 长. 解：连结 OE，则 OEAC BCAC OEBC OABC 在 RtABC 中，AB = 22195CB 159EOEA OE = O
11、B = 48 BD = 2 OB = O F E D C BA P O B A P O EC B A O E D C BA AD = ABDB = 15 = 451 答：AD 的长为 . 练习：如图，O 的半径 OAOB，点 P 在 OB 的延长线上，连结 AP 交O 于 D，过 D 作O 的切线 CE 交 OP 于 C，求证：PC = CD 十一 遇到两相交切线时（切线长） 常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。 作用：据切线长及其它性质，可得到： 角、线段的等量关系；垂直关系；全等、相似三角形。 十二遇到三角形的内切圆时 连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段
12、。 作用：利用内心的性质，可得： 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； 内心到三角形三条边的距离相等。 在处理内心的问题时，常需连结顶点与内心，以便利用内切圆的圆心是三 角形内角平分线交点这一性质。 十三遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点 作用：外心到三角形各顶点的距离相等。 十四遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题） 常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。 作用：利用切线的性质； 利用解直角三角形的有关知识。 十五遇到两圆相交时 两个相交圆不离公共弦 常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。 P O E D C B A 作用： 利用连心线的性质
13、、解直角三角形有关知识； 利用圆内接四边形的性质； 利用两圆公共的圆周的性质；垂径定理。 1. 作相交两圆的公共弦 利用圆内接四边形的性质或公共圆周角，沟通两圆的角的关系。 例 1. 如图 1，O 1 和O 2 相交于 A、B 两点，过 A、B 分别作直线 CD、EF，且 CD/EF，与两圆相交于 C、D 、E、F 。求证：CEDF。 图 1 分析：CE 和 DF 分别是 O 1 和O 2 的两条弦，难以直接证明它们相等，但通过连结 AB，则可得圆内接四边形 ABEC 和 ABFD，利用圆内接四边形的性质，则易证明。 证明：连结 AB 因为 DABECF， 又 180 所以 即 CE/DFF
14、又 CD/EF 所以四边形 CEFD 为平行四边形 即 CEDF 2.作两相交圆的连心线 利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形，解决有关的计算问题。 例 2. O 1 和O 2 相交于 A、B 两点，两圆的半径分别为 和 ，公共弦长为 12。6243 求 的度数。A 图 2 分析：公共弦 AB 可位于圆心 O1、O 2 同侧或异侧，要求 的度数，可利用角OA12 的和或差来求解。 解：当 AB 位于 O1、O 2 异侧时，如图 2。 连结 O1、O 2，交 AB 于 C，则 。分别在 和 中，利用AB1RtC1t2 锐角三角函数可求得 OACA124530， 故 1227 当 AB
15、位于 O1、O 2 同侧时，如图 3 图 3 则 综上可知 或OACOA121215OA12751 例 2：已知，O 1 与O 2 交于 A、B，O 1 的弦 AC 切 O2 于 A，过 B 作直线交两圆 于 D、E 。求证：DCAE。 分析:由口诀“两个相交圆不离公共弦”,连结 AB,可得D=CAB, 由切线知 CAB=E,即D=E 即得证。 练习：如图O 1 和O 2 都经过 A、B 两点。经过点 A 的直线 CD 与 O1 交于点 C， 与 O2 交于点 D；经过点 B 的直线 EF 于 O1 交于点 E，与 O2 交于点 F。求证： CEDF. 例、如图 8，在梯形 ABCD 中，以两
16、腰 AD、BC 分别为直径的两个圆相交于 M、N 两点， 过 M、N 的直线与梯形上、下底交于 E、F。 CDE M NGA B O 2 O 1 F图 8 求证： MNAB。 分析：因为 MN 是公共弦，若作辅助线 O1O2， 必有 MNO 1O2，再由 O1O2是梯形的中位线，得 O1O2/AB，从而易证 MNAB。 证明 连结 O1O2交 EF 于 G = MNO 1O2。 DO1=O1A，CO 2=O2B = O1O2是梯形 ABCD 的中位线 = O1O2/AB =EFA=EGO 1=Rt = MNAB 说明，由两圆相交连心线垂直于公共弦想到作连心线。 16遇到两圆相切时 两个相切圆不
17、离公切线 常常作连心线、公切线。 作用：利用连心线性质； 弦切角性质； 切线性质等。 例 3. 如图 4，O 1 和O 2 外切于点 P，A 是O 1 上的一点，直线 AC 切O 2 于 C，交 O 1 于 B，直线 AP 交O 2 于 D。求证 PC 平分 。BD 图 4 分析：要证 PC 平分 ，即证BPDCDP 而 的边分布在两个圆中，难以直接证明。BPC 若过 P 作两圆的公切线 PT，与 AC 交于 T 易知 T 由弦切角定理，得 A 又 是 的一个外角D 所以 P 又 C 从而有 B 即 PC 平分 例 3:已知, O 1 和O 2 外切于 A,直线 BC 切O 1 于 B,切 O
18、 2 于 C。 求证：ABAC(人教版课本 P87 例 4） 分析 1：口诀“两个相切圆不离公切线”,过 A 作两圆的公切线,则1=2, 3=4, 又1+ 2+3+ 4=180,则2+3=90 即 ABAC。 分析 2： 口诀“两圆三圆连心线” ，连结 O1O2、O 1B、O 2C,则点 A 在 O1O2 上,易知 O1BO 2C,显然1+ 2=90,故 ABAC 1.相切两圆常添公切线作辅助线. 例 2 如图 2,已知O 1、O 2外切于点 P，A 是O 1上一点，直线 AC 切O 2于点 C， 交O 1一点 B，直线 AP 交O 2于点 D .(1)求证:PC 平分 BPD;(2)将“O
19、1与O 2外切于 点 P”改为“O 1、O 2内切于点 P”，其它条件不变，中的结论是否仍然成立？画出图 形并证明你的结论(武汉市中考题）. 证明:(1)过 P 点作两圆公切线 PQ QPC=PCQ, QPB=A, CPD=A+QCP， CPD=CPB, 即 PC 平分BPD (2)上述结论仍然成立. 如图 3,过点 P 作两圆公切线 PM,则MPB=A. BPC=MPCMPB=BCPA=CPA, PC 平分BPD. 说明:作公切线的“公”字联系了小圆弦切角与大圆弦切角. 2、遇到三个圆两两外切时 两圆三圆连心线 常常作每两个圆的连心线。 A D Q O 2 O 1 CB 图 2 A D P
20、O 1 C B 图 3 M P 作用：可利用连心线性质。 3.两圆三圆时常作连心线作为辅助线 例 3 如图 4,施工工地水平地面上有三根外径都是 1 米的水泥管,两两外切堆放在一 起,则最高点到地面距离是_(辽宁省中考题). 解:连 O1O2、O 2O3、O 3O1，过 O1作 AO1O 2O3交O 1于 A，交 O2O3于 B O 1、O 2、O 3是等圆, O 1O2O3是等边三角形. 说明:三圆两两相切时作连心线后注意挑选直角三角形解题. 十七遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角” 时常常添加辅助圆。 作用：以便利用圆的性质。 过小圆圆心作大圆半径的垂线 有关公切
21、线问题常过小圆的圆心作大圆半径的垂线，构造直角三角形。 例 5. 如图 6，O 1 与O 2 外切于点 O，两外公切线 PCD 和 PBA 切O 1、O 2 于点 C、D、B 、A，且其夹角为 ， ，求两圆的半径。0AB3 图 6 分析：如图 6，连结 O1O2、O 1A、O 2B，过点 O2 作 ，构造 ，下EA1RtOE12 面很容易求出结果。 十八相交两圆中至少有一个圆经过另一个圆的圆心，遇到这 类问题，常用的辅助线是连结过交点的半径 例 10 如图 10，O 1与O 2相交于 A、B 两点，且 O2在O 1上，点 P 在O 1上， 点 Q 在O 2上，若APB=40，求AQB 的度数。
22、 P A Q B O2O1. 图 10 图 4 A O1 O2 O3B 分析 连结 O2A、O 2B，在O 1中利用 圆内接四边形性质求得AO 2B=140，在O 2中， AQB=1/2AO 2B=70。 切点三角形是直角三角形的应用. 例 4 如图 5,O 1与O 2外切于点 C, O 1与O 2连心线与公切线交于 P,外公切线与 两圆切点分别为 A、B,且 A=4,BC=5. (1)求线段 AB 长；(2)证明：PC 2=PAPB.(2002 年杭州市中考题) 解：(1)过 C 作两圆公切线 CQ,交 AB 于 Q QA=QC=QB= AB ACB=9021 AC=4 BC=5 AB= 4
23、1 (2)ACB=90 PCA+1=90,PBC+2=90, 从而PCA=PBC. P=P, PCAPBC PC 2=PAPB 说明:A、B、C 为切点，故有切点三角形为直三角形的重要结论，应用此结论解题能 到事半功倍效果. 辅助线，莫乱添，规律方法记心间； 弦和弦心距，亲密紧相连； 切点与圆心连线要领先； 两个相交圆不离公共弦； 两个相切圆不离公切线； 两圆三圆连心线，四点是否有共圆； 直角相对或共弦，应当想想辅助圆； 要证直线是切线，还看是否有共点； 直线和圆有共点，连出半径辅助线； 直线和圆无共点，得过圆心作垂线； 若遇直径想直角，灵活运用才方便。 P A Q B O 1 O 2 C1 2 图 5
