圆锥曲线的光学性质.doc

1、圆锥曲线的光学性质 第 1 页 共 9 页 圆锥曲线光学性质的证明及应用初探 一、 圆锥曲线的光学性质 11 椭圆的光学性质： 从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的 另一个焦点上； (见图 1.1) 椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置例如在 处放置一个热源，那么1F 红外线也能聚焦于 处，对 处的物体加热。电影放映机的反光镜也是这个原理。2F2 证明：由导数可得切线 的斜率 ，而 的斜率 ， 的斜率l0 20xbkya 1PF01ykxc2P02ykxc 到 所成的角 满足 ，l1PF 20022001200tanybxcaybxck ay 在椭圆

2、上， ，同理， 到 所成的角 满足 ，0,xy20tanbcy2PFl 20tn1kbcy ，而 ，tant,2 12 双曲线的光学性质 ：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线 都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图 1.2) 双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用 13 抛物线的光学性质 ： 从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛 物线的轴（如图 1.3） 抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择例如探照灯、汽车大灯等反射 镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照

3、射距离加大， 并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以 抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星 发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在 焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样 保证接收效果最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器 的 图 1.3 F2 F1 图 1.2 A F1F2 D O 图 1.1 B 圆锥曲线的光学性质 第 2 页 共 9 页 要探究圆锥曲线的光学

4、性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。 二、问题转化及证明 21 圆锥曲线的切线与法线的定义 设直线 与曲线 交于 ， 两点，当直线 连续变动时， ， 两点沿着曲线渐渐靠近，一直lCPQlPQ 到 ， 重合为一点 ,此时直线 称为曲线 在点 处的切线，过 与直线 垂直的直线称为曲PQMlcMl 线 在点 处的法线。c 此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化： 2.2 圆锥曲线光学性质的证明 预备定理 1.若点 是椭圆 上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：0(,)Pxy 21xyab 。021xyab 证明：由 ， 22xa2(1)xyba 1当

5、 时，过点 的切线斜率 一定存在，且 ，对式求导：xPk0|xky ， 2bya ，切线方程为 ，0 20|xky 200()bxyay 点 在椭圆 上，故 ，代入得 ，0(,)P 21ab201b021xyab 而当 时， 切线方程为 ，也满足式，故 是椭圆过点x0yx02 的切线方程.0(,) 预备定理 2. 若点 是双曲线 上任一点，则双曲线过该点的切线方程为：0(,)Pxy 21xyab021xyab 圆锥曲线的光学性质 第 3 页 共 9 页 证明：由 ， 21yxba22(1)xyba 1当 时，过点 的切线斜率 一定存在，且 ，Pk0|xky 对式求导： ， ，切线方程 2byx

6、a02|xbya 为 ， 200()xyy 点 在双曲线 上，故 代入得 ，0(,)P21yab201xyab021xyab 而当 时， 切线方程为 ，也满足式，故 是双曲线过点x0 02 的切线方程.0(,)y 预备定理 3.若点 是抛物线 上任一点，则抛物线过该点的切线方程是0(,)Pxy2ypx00()ypx 证明：由 ，对 求导得： ，2x02 |xpypky 当 时，切线方程为 ，即 ，0y0()xy200 而 ，而当 时，切线方程为 也满足式，2000()pxy0,yx0x 故抛物线在该点的切线方程是 .()ypx 定理 1. 椭圆上一个点 的两条焦半径的夹角被椭圆在点 处的法线平

7、分（图 2.1）PP 已知：如图，椭圆 的方程为 ， 分别是其左、右焦点， 是过椭圆上一点C 21ab2,Fl 的切线， 为垂直于 且过点 的椭圆的法线，交 轴于 ，设 ，0(,)Pxyll xD21,FPD 求证： . 证法一：在 上， ， 2:1yab0(,)PxyC 则过点 的切线方程为： ， 是通过点P02l 且与切线 垂直的法线，l x y1F2 D P ll 圆锥曲线的光学性质 第 4 页 共 9 页 则 ，0002221:()()yxlybaba 法线 与 轴交于 ， ,cDx ， ，又由焦半径公式得： 221020| ,|cFxF2012|acxFD ， ， 是 的平分线，|,

8、|Paeaex|P12FP ， ，故可得9 证法二：由证法一得切线 的斜率 ，而 的斜率 ， 的斜率l0 20|xbkya101ykxc2F ， 到 所成的角 满足：02ykxcl1PF20022001200tan ()()ybxcaybxck ay 在椭圆 上， ，0(,)Pxy:1xyCab20tnc 同理， 到 所成的角 满足 ，2Fl2takbytant 而 ，,(0,) 证法三：如图，作点 ，使点 与 关于切线 对称，连结 ， 交椭圆 于点33F2l1F3CP 下面只需证明点 与 重合即可。P 一方面，点 是切线 与椭圆 的唯一交点，则 ，是 上的点到两焦点距离之和的lC12|Pal

9、 最小值（这是因为 上的其它点均在椭圆外） 。 另一方面，在直线 上任取另一点 ，l1213112|PFPFFF 即 也是直线 上到两焦点的距离这和最小的唯一点，从而 与 重合，即 而得证ABP 定理 2 双曲线上一个点 P 的两条焦半径的夹角被双曲线在点 P 处的切线平分（图 2.2）； 已知：如图，双曲线 的方程为 ， ， 分别C 21xyabF2 是其左、右焦点， 是过双曲线 上的一点 的切线，l 0(,)Px 交 轴于点 ，设 ，xD1FP2D 求证： PFLDx L y 图 2.2 圆锥曲线的光学性质 第 5 页 共 9 页 证明： ，两焦点为 ， ， 在双曲线上， 2:1xyCab

10、1(,0)Fc2(,)22bac0(,)Pxy 则过点 的切线 ，切线 与 轴交于 。P02lx0,D 由双曲线的焦半径公式得： ，双曲线的两焦点坐标为 ， ，故1020|,|ccFxaFxa),(cF)0,(c011102022| |,|,|xaPDDDxx 故 ，切线 为 之角分线。lF 定理 3 抛物线上一个点 P 的焦半径与过点 P 且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点 P 处法线平分 （图 2.3）。 已知：如图，抛物线 的方程为为 ，直线 是过抛物线上一C24ycxl 点 的切线，交 轴于 ， ，0(,)PxyxD,D 反射线 与 所成角记为 ，求证：Ql 证明： 如图 ，抛物线 的

11、方程为 ，点 在该抛2:ycx0(,)Py 物线上，则过点 的切线为 ，切线 与 轴交于00()pl ，焦点为 ， (同位角)，0(,)Dx),(cF ， ，2000| |,|PyxDFxc|PFD 通过以上问题转化可知，圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的。那么它在解题和生产 生活中有何应用呢？ 三、圆锥曲线的光学性质的应用 31 解决入射与反射问题 例 1. 设抛物线 ，一光线从点 (5，2)射出，平行 的对称轴，射在 上的 点，经2:CyxACCP 过反射后，又射到 上的 点，则 点的坐标为_， 点的坐标为_。QPQ 解：如图，直线 平行于对称轴且 (5，2)，则 点的坐标为（

12、4，2），APP 反射线 过点 ，设 ，1(,0)4F2(,)t 则 ，解得： ，28154t181(,)68图 3.1.1 F LDy x P D 图 2.3 图 3.1.1 圆锥曲线的光学性质 第 6 页 共 9 页 例 2. 已知椭圆方程为 1，若有光束自焦点 (3，0)射出，经二25x6yA 次反射回到 点，设二次反射点为 ，如图 3.1.2 所示，则 的周A,BCBC 长为 。 解：椭圆方程为 1 中， ，25x6y25169c (3，0)为该椭圆的一个焦点，自 (3，0)射出的光线 反射后，AA 反射光线 AC 定过另一个焦点 (-3，0) 故 的周长为： 。ABC420ABCa

13、例 3.双曲线 ，又 ，已知 (4，2 )， 2:18xy (4，0)，若由 射至 的光线被双曲线 反射，反射光通过FF ，则 。(,)Pk= 解：入射线 反射后得到的光线 的反向延长线定过双曲线的AAP 另一个焦点 ，(4,0)23218kk 32 解决一类“距离之和”的最值问题 张奠宙教授说“在一般情况下，光线在传播过程中，总是选择最 近的路线从一点传播到另一点。这虽然还只是一种停留“经验、感觉” 层面上的结论，但却为我们研究一类“距离之和” 取值范围问题时 指明了思考的方向，从而解决了一个从“想不到”到“想得到”的关键问题。如果再辅以严格的数学 证明，这种“经验、感觉”依然是很有价值的、

14、不可替代的。 ”我读了他的文章，深受启发，并用圆 锥曲线的光学性质解决了我们经常见到而又觉得复杂的一类最值问题。 例 4已知椭圆 ， 、 为分别是其左右焦点，点 ， 是 上的动点，求 2159xyC： F2 (21)Q， PC 的取值范围。1MFQ （一）分析猜想： y xF1 F2 Q P1 P1 O 图 3.2.1 P2 P2 y xF1 F2 Q O 图 3.2.2 图 3.2.3 P2 y xF1 F2 Q P1 O 图 3.1.2 图 3.1.3 圆锥曲线的光学性质 第 7 页 共 9 页 （1）经计算， 点在椭圆内,由于椭圆是封闭图形，因此 应该有一个封闭的取2Q（ ， ） 1MF

15、Q 值范围，既有最小值也有最大值。 （2）同样根据光线的“最近传播法则” ，结合椭圆的光学性质，可得：从 射出被椭圆反射后经 过点 的光线所经过的路程往往是最短的。这种情况又分为两类，一是被上半椭圆反射（如图 3.2.1，光线从 ） ，二是被下半椭圆反射（如图 3.2.2，光线从 ） ，1FP12PF 究竟哪种情况距离之和更小呢？显然，根据椭圆定义，图 3.2.1 中的 ( 为椭圆a 长轴长)，而图 3.2.2 中的 ，可见图 3.2.1 所示的情况距离之和更小。21Qa 但是，最大值又是多少呢？图 3.2.2 所示的光线又有什么特点呢？ 将图 3.2.1.和图 3.2.2 中的光线反射路线合

16、并图 3.2.3，由于 是定值211Q ( 为椭圆长半轴长)，而 由前面知最小，由此猜测 可能就是最大值。4a11PF2PF （二）证明 是最小值。1F 如图 3.2.2，连接 ，延长交椭圆于 ，在椭圆上另取一点 ， 由椭圆定义知：2 Q22 （*） ，因为 ，代入（*）式得：2211|P2| ，所以， 。猜想得证。22 | |PF212|PQFPQ （三）计算： 综上所述，只需求出 ，可得最小值为 ，最大|(4)10F|10a 值为 .2|10aQ 例 5已知双曲线 ， 、 为分别是其左右焦点，点 ， 是 上的动 23yCx： 1F2 9(4,)2MC 点，求 的取值范围。2M 分析猜想：经

17、计算， 点在双曲线右支开口内部。由于双曲线是不封闭曲线，显然 可以无限大，故要求 的取值范围，关键是求出 的最小值。根2F2MQ2FQ 据光线的“最近传播”特点，我们猜想：从 射出经双曲线反射后经过点 的光线所经过的路程往1F 往是最短的，再结合双曲线的光学性质（从一个焦点射出的光线经椭圆周反射，反射光线的反向延长 线经过另一个焦点） ，可作出从 射出被双曲线反射后经过点 的光线：连接 ，与双曲线的交点1 1 即为使得 最小的点，设为 点，光线从 。 （见图 2）2MQP2P （二）证明：如图 2：按猜想作出点 ，由于所求点 显然不在双曲线的左支上（此时显然距离 之和不会最小） ，故在右支上另

18、取一点 ，由双曲线定义知： ，即 112| |FPF ，因为 ，两边同加 得：1212| |PFF1| |Q2 所以 2 PF ，12| |Q 故 ，猜想得证。| （三）计算：由题意知 ，19(2,0)(4,F 112|PFP = = =12()QQA 例 6已知抛物线 ， 是其焦点，点 ，4Cyx： (,1)42-2-4-5 5O P P QF2 F1 图 3.2.5 圆锥曲线的光学性质 第 8 页 共 9 页 是 上的动点，求 的取值范围。 。MCFMQ 分析：由于抛物线不是封闭曲线，显然没有最大值，因此关键是求最小值。根据抛物线光学性质（从 焦点射出的光线经抛物线反射，反射光线与对称轴平

19、行，反之也成立） ，结合光线的“最近传播”特 点，我们猜想：过 与对称轴平行的直线与抛物线的交点可能就是使距离 之和最小的点，设为 点（见图 3.2.6） 。可由抛物线的定义证明猜想是P 正确的。且 3 33 圆锥曲线光学性质在解决与“切线”相关问题时起简捷作用。 光线反射总是满足反射定律（入射角等于反射角） ，光线被曲线反射 也不例外，此时的法线就是过反射点的曲线的切线的垂线。可见，曲线的 切线和与曲线有关的反射问题有着密切联系。 以椭圆为例：如图 3.3.1， l 是过椭圆周上一点 的椭圆的切线， 是 点处的法线，光线从PmP 射出被椭圆反射经过 ，满足1=2，且3=4。12F（ ） 21

20、F（ ） 例 7已知 是过椭圆 上一动点 的椭圆 的动切线，过 的左焦点 作 的垂l 216xyC： PC1Fl 线，求垂足 的轨迹方程。Q 分析：如图 3.3.2，本题如果忽视了椭圆的光学性质将很难着手，或许借助椭圆参数方程可以求 解，但运算相当繁琐。由于 是椭圆的切线，切点为 ，联想到椭圆光学性质及反射定律，可知：l 是 的外角平分线， 关于直线 的对称点 在 的延长线上。这样，由于 ，l12FP1Fl2F 12|P 故 ，而 、 分别是 、 的中点，所以 。从而 点2| |8aQO12 4QO 轨迹是以 为圆心、以 4 为半径的圆。即点 的方程为O6xy 34 在生产生活中的作用 例 8

21、某种碟形太阳能热水 器的外形示意图如图 3.4.1，其中 为加热点；碟形反射壁是抛物线绕对称轴旋转而成的曲面；抛物F 线以 为单位的设计尺寸如 图 3.4.2为了达到最佳加热效果， 应距碟底多少？cm F 解 ：以碟形内壁底为原点，抛物线的对称轴为 轴，开x 口方向为 轴的正向，建立坐标系如图 3.4.2，则内壁抛物线x 方程为 据所示尺寸，抛物线过坐标为(40,85)的点，2yp 所以 ， 加热点 应置于抛物 8540890.3pF 2 -2 5O m l P F2F1 4321 图 3.3.1 图 3.3.2 4 2 -2 -4 -5 5 Q 12 F1 O P F2F1 F 图 3.4.

22、1 图 3.4.2 85 40 x y 5 O 圆锥曲线的光学性质 第 9 页 共 9 页 线的焦点焦点坐标为( ,0)(45.2,0)所以 应距碟底约 。2pF45.2cm 四圆锥曲线的光学性质在实际生活中应用举例 圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，它们又与二次方程对应，所以，圆 锥曲线又叫做二次曲线。圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一，在我们的实际生活中也存在着 许许多多的圆锥曲线。 虽然我不知道为什么，天体分别按照椭圆，双曲线，抛物线运行时，其总能量与离心率有很奇妙 的关系，天体总能量椭圆0,抛物线=0， （椭圆 e1,抛物线 e=1） 。相对于一个物 体，按万有

23、引力定律受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了。因而，圆锥曲线在这 种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式。 我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也如此，太阳则位于 椭圆的一个焦点上。如果这些行星运行速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行。人类 发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理。 由抛物线绕其轴旋转，可得到一个叫做旋转物面的曲面。它也有一条轴，即抛物线的轴。在这个 轴上有一个具有奇妙性质的焦点，任何一条过焦点的直线由抛物面反射出来以后，都成为平行于轴的 直线。这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理。 由双曲线的一支绕其虚轴旋转，可以得到双曲面，它又是一种直纹曲面，由两组母直线族组成， 各组内母直线互不相交，而与另一组母直线却相交。人们在设计高大的立塔时，就采取单叶双曲面的 体形，既轻巧又坚固（比如教材当中的冷却塔） 由此可见，对于圆锥曲线的价值，无论如何也不会估计过高。 圆锥曲线的光学性质是奇妙的，奇妙的背后蕴含着奇妙的数学关系。我们只有善于观察，勤于 钻研，及时总结，才能闪现更多的灵感，才能在奥妙的数学世界畅游。