圆与方程-圆的方程典型例题.doc

1、 第 1 页 共 21 页 圆与方程-圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例 1 求过两点 )4,1(A、 )2,3(B且圆心在直线 0y上的圆的标准方程并判断点 )4,2(P与圆的关 系 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点 与圆的位置关系， 只须看点 P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径， 则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为 22)()(rbyax 圆心在 0y上，故 圆的方程为 22)(ryx 又该圆过 4,1A、 ,3(B两点 22)3(6ra 解之得： 1， 0 所以

2、所求圆的方程为 2)(2yx 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过 )4,1(A、 ),3(B两点，所以圆心 C必在线段 AB的垂直平分线 l上，又因为32ABk ，故 l的斜率为 1，又 A的中点为 )3,2(，故 的垂直平分线 的方程为：xy 即 0y 又知圆心在直线 上，故圆心坐标为 )0,1(C 半径 24)1(2ACr 故所求圆的方程为 yx 又点 )4,2(P到圆心 )0,(的距离为 rCd2512 点 在圆外 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后 根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又

3、该如何 来判定直线与圆的位置关系呢？ 第 2 页 共 21 页 例 2 求半径为 4，与圆 0422yx相切，且和直线 0y相切的圆的方程 分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解 解：则题意，设所求圆的方程为圆 22)()(rbaC： 圆 C与直线 0y相切，且半径为 4，则圆心 的坐标为 )4,(1aC或 )4,(2 又已知圆 0242yx的圆心 A的坐标为 2，半径为 3 若两圆相切，则 73A或 3C (1)当 ),(1aC时， 22)1()(，或 221)4()(a(无解)，故可得02 所求圆方程为 22)4()0(yx，或 224)()0(yx (2)当 )4,2aC时， 71，

4、或 214)a(无解)，故6 所求圆的方程为 224)()6(yx，或 224)()6(yx 说明：对本题，易发生以下误解： 由题意，所求圆与直线 0y相切且半径为 4，则圆心坐标为 )4,(aC，且方程形如224)()(yax 又圆 022yx，即 2231yx，其圆心为1,A ，半径为 3若两圆相切，则 3CA故 7)()(，解之得02 所以欲求圆的方程为 224)1(yx，或24)()(yx 上述误解只考虑了圆心在直线 0上方的情形，而疏漏了圆心在直线 0y下方的情形另外， 误解中没有考虑两圆内切的情况也是不全面的 例 3 求经过点 )5,0(A，且与直线 2yx和 0yx都相切的圆的方

5、程 分析：欲确定圆的方程需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点 A，故只需确定圆心坐 标又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上 解：圆和直线 yx与 yx相切， 圆心 C在这两条直线的交角平分线上， 又圆心到两直线 02和 的距离相等 第 3 页 共 21 页 52yx 两直线交角的平分线方程是 03yx或 yx 又圆过点 ),0(A， 圆心 C只能在直线 yx上 设圆心 )3,(t 到直线 02yx的距离等于 AC， 2)53(5tt 化简整理得 062t 解得： 1t或 圆心是 )3,(，半径为 5或圆心是 )15,(，半径为 5 所求圆的方程为 )3()22yx或 12)(

6、2yx 说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到 圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法 例 4、 设圆满足：(1)截 y轴所得弦长为 2；(2)被 x轴分成两段弧，其弧长的比为 1:3，在满足条 件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线 0yxl： 的距离最小的圆的方程 分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程满足两个 条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线 的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方 程 解法

7、一：设圆心为 ),(baP，半径为 r 则 到 x轴、 y轴的距离分别为 和 a 由题设知：圆截 轴所得劣弧所对的圆心角为 90，故圆截 x轴所得弦长为 r2 2br 又圆截 y轴所得弦长为 2 12a 又 ),(bP到直线 0yx的距离为 第 4 页 共 21 页 52bad 22ab4)(2221 当且仅当 ba时取“=”号，此时 5mind 这时有 12 ba或 又 22r 故所求圆的方程为 2)1()(2yx或 2)1()(2yx 解法二：同解法一，得 52bad d 2254ba 将 1代入上式得： 022db 上述方程有实根，故 )15(82 ， d 将 5代入方程得 1b 又 1

8、2ab 第 5 页 共 21 页 由 12ba知 、 同号 故所求圆的方程为 2)1()(2yx或 2)1()(2yx 说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？ 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程 例 5 已知圆 42yxO： ，求过点 42，P与圆 O相切的切线 解：点 ，P不在圆 上， 切线 T的直线方程可设为 xky 根据 rd 214k 解得 3 所以 42xy 即 013 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为2x 说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解 本题还有其他解法，例如把所设的切线

9、方程代入圆方程，用判别式等于 0 解决（也要注意漏解） 还可以运用 20ryx，求出切点坐标 0x、 y的值来解决，此时没有漏解 例 6 两圆 1121 FEDC： 与 222FyExDC： 相交于 A、 B两 点，求它们的公共弦 AB所在直线的方程 分析：首先求 、 两点的坐标，再用两点式求直线 AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程 太繁为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧 解：设两圆 1、 2的任一交点坐标为 ),(0yx，则有：01020FyExDyx 22 得： 0)()( 210101 Fyx A、 B的坐标满足方程 )(212yExD 方程 )()(1121yExD是过 A、

10、 B两点的直线方程 第 6 页 共 21 页 又过 A、 B两点的直线是唯一的 两圆 1C、 2的公共弦 A所在直线的方程为 0)()( 212121 FyExD 说明：上述解法中，巧妙地避开了求 、 B两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有 去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技 巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程 的本质认识它的应用很广泛 例 7、过圆 外一点 ，作这个圆的两条切线 、 ，切点分别是 、 ，求12yx)3,2(MMABAB 直线 的方程。AB 练习： 1求过点 ，且与圆 相

11、切的直线 的方程(3,1)M2(1)4xyl 解：设切线方程为 ，即 ，3yk310k 圆心 到切线 的距离等于半径 ，,0l ，解得 ， 2|1k4 切线方程为 ，即 ，3()yx130y 当过点 的直线的斜率不存在时，其方程为 ，圆心 到此直线的距离等于半径 ，Mx(,)2 故直线 也适合题意。x 所以，所求的直线 的方程是 或 l4 2、过坐标原点且与圆 相切的直线的方程为 0252yx 解：设直线方程为 ，即 .圆方程可化为 ，圆心为ky 25)1()2(yx （2，-1） ，半径为 .依题意有 ，解得 或 ，直线方程为210212k3k 或 .xy3 3、已知直线 与圆 相切，则 的

12、值为 .015ay022yxa 解：圆 的圆心为（1，0） ，半径为 1， ，解得 或 .)(2x 1258a1 类型三：弦长、弧问题 例 8、求直线 被圆 截得的弦 的长.063:yxl 042:2yxCAB 第 7 页 共 21 页 例 9、直线 截圆 得的劣弧所对的圆心角为 032yx42yx 解：依题意得，弦心距 ，故弦长 ，从而OAB 是等边三角形，故截d22drAB 得的劣弧所对的圆心角为 .3O 例 10、求两圆 和 的公共弦长022yx52yx 类型四：直线与圆的位置关系 例 11、已知直线 和圆 ，判断此直线与已知圆的位置关系.3yx42yx 例 12、若直线 与曲线 有且只

13、有一个公共点，求实数 的取值范围.mxy24xym 解：曲线 表示半圆 ，利用数形结合法，可得实数 的取值范24)0(y 围是 或 .2 例 13 圆 9)3()(22yx上到直线 143yx的距离为 1 的点有几个？ 分析：借助图形直观求解或先求出直线 l、 2的方程，从代数计算中寻找解答 解法一：圆 )()(22yx的圆心为 ),(1O，半径 3r 设圆心 1O到直线 0143的距离为 d，则 32412 如图，在圆心 1同侧，与直线 1yx平行且距离为 1 的直线 1l与圆有两个交点，这 两个交点符合题意 又 123dr 与直线 04yx平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意 第

14、 8 页 共 21 页 符合题意的点共有 3 个 解法二：符合题意的点是平行于直线 0143yx，且与之距离为 1 的直线和圆的交 点设所求直线为 04myx，则 2d， 51m，即 6，或 1，也即3l： ，或 32l： 设圆 9)()(21yxO： 的圆心到直线 1l、 2的距离为 1d、 2，则34621d ， 43622d 1l与 相切，与圆 1有一个公共点； l与圆 1O相交，与圆 1有两个公共点即符合题意 的点共 3 个 说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解： 设圆心 1O到直线 0143yx的距离为 d，则 32432 圆 1到 距离为 1 的点有两个 显然，上述误解中的

15、d是圆心到直线 043yx的距离， rd，只能说明此直线与圆 有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为 1 到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所 求的点就是这两条平行直线与圆的公共点求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关 系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断 练习 1：直线 与圆 没有公共点，则 的取值范围是 1yx )0(22ayx a 解：依题意有 ，解得 . ， .a112 练习 2：若直线 与圆 有两个不同的交点，则 的取值范围是 .2kxy)3()(22yk 解：依题意有 ，解得 ， 的取值范围是 .1

16、240k)34,0( 3、 圆 03422yx上到直线 01yx的距离为 2的点共有（ ） 第 9 页 共 21 页 （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个 分析：把 042yx化为 821yx，圆心为 21， ，半径为2r ，圆心到直线的距离为 ，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于 ，所以选 C 4、 过点 43，P作直线 l，当斜率为何值时，直线 l与圆 421yxC： 有公共点， 如图所示 分析：观察动画演示，分析思路 解：设直线 l的方程为 34xky 即 0 根据 rd有 2143k 整理得 0432 解得 34k 类型五：圆与圆的位置关系 问题导学四：圆与圆位置关

17、系如何确定？ 例 14、判断圆 与圆 的位置关系，026:21 yxC 042:22 yxC 例 15：圆 和圆 的公切线共有 条。02yx42 解：圆 的圆心为 ，半径 ，圆 的圆心为1)()0,1(O1r4)2(2yx ，半径 ， . ，两2,0O2r ,35222121rOr 圆相交.共有 2 条公切线。 练习 1：若圆 与圆 相切，则实数 的取0422mxyx 084222 myxy m P E O y x 第 10 页 共 21 页 值集合是 . 解：圆 的圆心为 ，半径 ，圆 的圆心4)(2ymx)0,(1mO21r 9)2()1(2myx 为 ，半径 ，且两圆相切， 或 ，,12

18、O32r 12rO 或 ，解得 或 ，或 或 ，5)( )2(5025 实数 的取值集合是 .m,0,1 2：求与圆 外切于点 ，且半径为 的圆的方程.2yx),(P 解：设所求圆的圆心为 ，则所求圆的方程为 .两圆外切于点 ，),1baO20)()(2byax P ， ， ，所求圆的方程为13OP(32(6,3ba .0)6)(2yx 类型六：圆中的对称问题 例 16、圆 关于直线 对称的圆的方程是 2690xy250xy 例 17 自点 3，A发出的光线 l射到 x轴上，被 轴反射，反射光线所 在的直线与圆 0742yxC： 相切 （1）求光线 l和反射光线所在的直线方程 （2）光线自 到

19、切点所经过的路程 分析、略解：观察动画演示，分析思路根据对称关系，首先求出点A 的对称点 的坐标为 3， ，其次设过 A的圆 C的切线方程为xky 根据 rd，即求出圆 C的切线的斜率为 34 或 进一步求出反射光线所在的直线的方程为 034yx 或 0yx 最后根据入射光与反射光关于 轴对称，求出入射光所在直线方程为 34 或 034yxG O B NMyA x图3 CA 第 11 页 共 21 页 光路的距离为 MA，可由勾股定理求得 7222CMA 说明：本题亦可把圆对称到 x轴下方，再求解 类型七：圆中的最值问题 例 18：圆 上的点到直线 的最大距离与最小距离的差是 0142yx 0

20、14yx 解：圆 的圆心为（2，2） ，半径 ，圆心到直线的距离8)()( 23r ，直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是rd2510 .6)()(r 例 19 (1)已知圆 1)4()3(221yxO： ， ),(yxP为圆 O上的动点，求 2yxd的最大、最 小值 (2)已知圆 )(22： ， ),(为圆上任一点求 12xy的最大、最小值，求yx 的最大、最小值 分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决 解：(1)( 法 1)由圆的标准方程 1)4()3(22yx 可设圆的参数方程为 ,sin4coy（ 是参数） 则 222 si

21、n81669xd )cos(0si8co （其中 34ta） 所以 3102max， 2mind (法 2)圆上点到原点距离的最大值 1等于圆心到原点的距离 1d加上半径 1，圆上点到原点距离 的最小值 2d等于圆心到原点的距离 减去半径 1 所以 6143212 所以 maxd min 第 12 页 共 21 页 (2) (法 1)由 1)2yx得圆的参数方程： ,sinco2yx是参数 则 3cosin1y令 t3cos2in， 得 tt2si， t32)i(1)sin(12t 4t 所以 43maxt， 43mint 即 12y的最大值为 ，最小值为 此时 )cos(52sincox 所

22、以 y2的最大值为 ，最小值为 (法 2)设 kx1，则 0kyx由于 ),(yxP是圆上点，当直线与圆有交点时，如 图所示， 两条切线的斜率分别是最大、最小值 由 12kd，得 43k 所以 xy的最大值为 3，最小值为 令 t2，同理两条切线在 x轴上的截距分别是最大、最小值 由 15md，得 52 所以 yx2的最大值为 ，最小值为 第 13 页 共 21 页 例 20：已知 ， ，点 在圆 上运动，则 的最小)0,2(A),(BP4)()3(22yx 2PBA 值是 . 解：设 ，则 .设圆心),(yxP 8)()()( 22222 Oyx 为 ，则 ， 的最小值为 .43C35min

23、rOCPBA63 练习： 1：已知点 在圆 上运动.),(yxP1)(22y （1）求 的最大值与最小值；（2）求 的最大值与最小值.yx 解：（1）设 ，则 表示点 与点（2，1 ）连线的斜率.当该直线与圆相切时， 取kx1),(P k 得最大值与最小值.由 ，解得 ， 的最大值为 ，最小值为 .23k21xy33 （2）设 ，则 表示直线 在 轴上的截距. 当该直线与圆相切时， 取得myxmyx m 最大值与最小值.由 ，解得 ， 的最大值为 ，最小值为 .155yx25151 2 设点 ),(yxP是圆 2y是任一点，求 1u的取值范围 分析一：利用圆上任一点的参数坐标代替 x、 y，转

24、化为三角问题来解决 解法一：设圆 12上任一点 )sin,(coP 则有 cosx， iny)2,0 1inu， sicu )(sic 即 2n2uu（ utan） 1)()si(2 又 in 12u 解之得： 43 第 14 页 共 21 页 分析二： 12xyu的几何意义是过圆 12yx上一动点和定点 )2,1(的连线的斜率，利用 此直线与圆 2有公共点，可确定出 u的取值范围 解法二：由 xy得： )(2x，此直线与圆 2yx有公共点，故点 )0,(到 直线的距离 1d 2u 解得： 43 另外，直线 )1(2xuy与圆 12y的公共点还可以这样来处理： 由 2x消去 y后得： 0)34

25、()()( 222 uxux， 此方程有实根，故 03414(22 u， 解之得： 43u 说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量 u的范围问题转化成三角函数的 有关知识来求解或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便 3、已知点 ，点 在圆 上运动，求)2,4()6,()2,(CBAP42yx 的最大值和最小值.2P 类型八：轨迹问题 例 21、基础训练：已知点 与两个定点 ， 的距离的比为 ，求点 的轨迹方程.M)0,(O),3(A21M 例 22、已知线段 的端点 的坐标是（4，3） ，端点 在圆 上运动，求线段AB 4)1(2yx 的中点 的轨迹方程. 例

26、 23 如图所示，已知圆 42yxO： 与 轴的正方向交于 A点，点 B在直线 2y上运动，过B 做圆 的切线，切点为 C，求 AB垂心 H的轨迹 第 15 页 共 21 页 分析：按常规求轨迹的方法，设 ),(yxH，找 ,的关系非常难由于 H点随 B， C点运动 而运动，可考虑 H， B， C三点坐标之间的关系 解：设 ),(yx， ),(，连结 A， C， 则 A， ， 是切线 BO， 所以 O/， /， ， 所以四边形 是菱形 所以 2CH，得 .,2xy 又 ),(yx满足 4， 所以 )0(2x即是所求轨迹方程 说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识采取代入法求轨迹方

27、程做题时 应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知， 可考虑代入法 例 24 已知圆的方程为 22ryx，圆内有定点 ),(baP，圆周上有两个动点 A、 B，使PBA ，求矩形 AQ的顶点 的轨迹方程 分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解 解法一：如图，在矩形 PB中，连结 A， Q交于 M，显然 O， PQ， 在直角三角形 AOM中，若设 ),(yxQ，则 )2,(byaxM 第 16 页 共 21 页 由 22OAM，即 2)()(41)()( rbyaxbyax ， 也即 222r，这便是 Q的轨迹方程 解法二：设 ),(

28、yxQ、 ),(1A、 ),(2yxB，则 212ryx， 2ryx 又 2BP，即 )()()()()( 2122121 yxryxbyax 又 A与 Q的中点重合，故 xa， b，即)(2)()( 212 yryx ，有 2b 这就是所求的轨迹方程 解法三：设 )sin,co(rA、 )sin,co(rB、 ),(yxQ， 由于 PBQ为矩形，故 与 PQ的中点重合，即有csrax ， insiby ， 又由 PBA有 1cosicsarbr 联立、消去 、 ，即可得 Q点的轨迹方程为 )(222baryx 说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则

29、， 将使解题陷入困境之中 本题给出三种解法其中的解法一是几何方法，它充分利用了图形中隐含的数量关系而解法 二与解法三，从本质上是一样的，都可以称为参数方法解法二涉及到了 1x、 2、 1y、 2四个参 数，故需列出五个方程；而解法三中，由于借助了圆 22ryx的参数方程，只涉及到两个参数 、 ，故只需列出三个方程便可上述三种解法的共同之处是，利用了图形的几何特征，借助 数形结合的思想方法求解 练习： 第 17 页 共 21 页 1、由动点 向圆 引两条切线 、 ，切点分别为 、 ， =600，则动点P12yxPABABP 的轨迹方程是 . 解：设 . =600， =300. ， ，),(ABO

30、2O ，化简得 ，动点 的轨迹方程是 .22yx42yxP42yx 练习巩固：设 为两定点，动点 到 点的距离与到 点的距离的比为定值)0(,)0,(cc AB ，求 点的轨迹.)(aP 解：设动点 的坐标为 .由 ，得 ，),(yx)0(aPBAaycx2)( 化简得 .121)( 22 cxa 当 时，化简得 ，整理得 ；a 0)(222cyx 222)1()1(acycax 当 时，化简得 .10 所以当 时， 点的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆；aP)0,1(2ca12ac 当 时， 点的轨迹是 轴.1y 2、已知两定点 ， ，如果动点 满足 ，则点 的轨迹所包围的面积等)0,2(A)

31、,1(BPBA2P 于 解：设点 的坐标是 .由 ，得 ，化简得P),(yxA222)1()( yxyx ，点 的轨迹是以（2，0）为圆心，2 为半径的圆，所求面积为 .4)2(yx 4 4、已知定点 ，点 在圆 上运动， 是线段 上的一点，且 ，)0,3(BA12yxMABMBA31 问点 的轨迹是什么？M 解：设 . ， ，),(),1yxB3),3(1),(1yxyx 第 18 页 共 21 页 ， .点 在圆 上运动， ， yyxx31)(yx3411A12yx121yx ，即 ，点 的轨迹方程是 .)4(22x 69)(2xM69)43(2 例 5、已知定点 ，点 在圆 上运动， 的

32、平分线交 于点 ，则点0,BA1yAOBAM 的轨迹方程是 .M 解：设 . 是 的平分线， ， .由变式),(),1yxOB31B31 1 可得点 的轨迹方程是 .169432y 练习巩固：已知直线 与圆 相交于 、 两点，以 、 为邻边作平行kxy4ABOA 四边形 ，求点 的轨迹方程.OAPB 解：设 ， 的中点为 . 是平行四边形， 是 的中点，点 的坐标),(xMOPBMPM 为 ，且 . 直线 经过定点 ， ，2y1kxy)1,0(CC ，化简得 .点 的轨迹方程)2()12,(), CM1)(22yx 是 .1(22yx 类型九：圆的综合应用 例 25、 已知圆 062myx与直

33、线 032yx相交于 P、 Q两点， O为原点，且OQP ，求实数 的值 分析：设 、 两点的坐标为 ),(1yx、 ),(2，则由 1OQPk，可得021yx ，再利用一元二次方程根与系数的关系求解或因为通过原点的直线的斜率为 xy， 由直线 l与圆的方程构造以 xy为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出 OQPk的值，从而 使问题得以解决 解法一：设点 P、 Q的坐标为 ),(1y、 ),(2x一方面，由 ，得1OPk ，即 2xy，也即： 021y 第 19 页 共 21 页 另一方面， ),(1yx、 ),(2是方程组 06 32myx 的实数解，即 1x、 2是方 程 07405

34、2mx 的两个根 21， 527421x 又 P、 Q在直线 03y上， )(941)(2)( 211121 xxy 将代入，得 5m 将、代入，解得 3，代入方程，检验 0成立， 3 解法二：由直线方程可得 yx2，代入圆的方程 062myx，有0)(9)6(2122 myxyx ， 整理，得 7434)( yxy 由于 0，故可得 012)()274( xym OPk， Q是上述方程两根故 1OQPk得1274 ，解得 3 经检验可知 为所求 说明：求解本题时，应避免去求 、 两点的坐标的具体数值除此之外，还应对求出的m 值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点 P、 Q存在

35、 解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于 xy的二 次齐次方程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人以一种淋漓酣畅， 一气呵成之感 例 26、已知对于圆 1)(22yx上任一点 ),(yxP，不等式 0myx恒成立，求实数 m的 取值范围 分析一：为了使不等式 0m恒成立，即使 恒成立，只须使myxin)( 就行了因此只要求出 yx的最小值， 的范围就可求得 第 20 页 共 21 页 解法一：令 yxu， 由 1)(22 得： 02uyy 0且 8)(4， 12(u 即 )， 21u， min，即 )(minyx 又 0yx恒成立即

36、 恒成立 21)(min成立， 分析二：设圆上一点 )sin1,(coP因为这时 P点坐标满足方程 1)(22yx问题转 化为利用三解问题来解 解法二：设圆 )(22yx上任一点 )sin1,(co),0 cos， sin1 0myx恒成立 si 即 )nco1(恒成立 只须 不小于 )si(的最大值 设 14(21)cs(i u 2max即 说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法一般地，把圆 22)()(rbyax上 的点设为 )sin,co(rbr( )2,0)采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方 面可以灵活地运用三角公式从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换 例 27 有

37、一种大型商品， A、 B两地都有出售，且价格相同某地居民从两地之一购得商品后运回 第 21 页 共 21 页 的费用是：每单位距离 A地的运费是 B地的运费的 3 倍已知 A、 B两地距离为 10 公里，顾客选 择 A地或 B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低求 、 两地的售货区域 的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点 分析：该题不论是问题的背景或生活实际的贴近程度上都具有深刻的实际意义和较强的应用意 识，启示我们在学习中要注意联系实际，要重视数学在生产、生活以及相关学科的应用解题时要 明确题意，掌握建立数学模型的方法 解：以 A、 B所确定

38、的直线为 x轴， AB的中点 O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐 标系 10AB， )0,5(， ),(B 设某地 P的坐标为 yx，且 P地居民选择 A地购买商品便宜，并设 A地的运费为 a3元/公 里， 地的运费为 a元/公里因为 地居民购货总费用满足条件： 价格 地运费价格 B地的运费 即： 22)5()5(3yxyx 0， 22)()( 化简整理得： 415yx 以点 )0,45(为圆心 为半径的圆是两地购货的分界线 圆内的居民从 A地购货便宜，圆外的居民从 B地购货便宜，圆上的居民从 A、 B两地购货的 总费用相等因此可随意从 、 两地之一购货 说明：实际应用题要明确题意，建议数学模型