1、2016-2017 学年浙江省高三 12 月高考模拟数学 一、选择题：共 10 题 1 已知集合 , ，则 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】本题主要考查集合的运算 . ， ， 则 . 故选 B. 2 已知复数 ，其中 为虚数单位，则 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】本题主要考查复数的运算和复数的模 . , 则 . 故选 C. 3 “直线 与平面 内的两条直线都垂直 ”是 “直线 与平面 垂直 ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】本题主要考查线面垂直的判定及充分必要条件 . 线面垂直的判定定理：若
2、直线与平面内的两条相交直线都垂直，则线面垂直 .所以，由 “直线 与平面 垂直 ”可得 “直线 与平面 内的两条直线都垂直 ”；但 “两条直线 ”不一定相交，由 “直线 与平面 内的两条直线都垂直 ”不一定得到 “直线 与平面 垂直 ”，故 “直线 与平面 内的两条直线都垂直 ”是 “直线 与平面 垂直 ”的必要不充分条件 . 故选 B. 4 已知直线 是曲线 的切线，则实数 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】本题主要考查导数的几何意义 . 设切点为 , 由 得 , 则切线斜率为 ， 对应的切线为 ，即 , 又直线 是曲线 的切线， ， 且 ， 解得 . 故选 C. 5 函数 )的
3、图象可能是 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】本题主要考查函数的图像和性质 . ),利用排除法 . 由 ,排除 C选项；由 ( ) ,排除 B、 D选项 ,故函数 )的图象可能是 A. 故选 A. 6 若整数 ， 满足不等式组 则 的最大值是 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】本题主要考查简单的线性规划 . 画出不等式组表示的平面区域，如图所示： 令 ,作直线 ，当直线 平移到过点 时， 取得最大值，由 ， 得 ( ， )， 的最大值为 . 故选 D. 7 已知 ，随机变量 的分布列如下： 当 增大时 A. 增大， 增大 B. 减小， 增大 C. 增大， 减小 D. 减
4、小， 减小 【答案】 B 【解析】本题主要考查离散型随机变量的分布和期望、方差公式 . ，当 增大时， 减小； ( )( )( ) ( )( ), 由 ， 当 增大时 ， 增大 . 故选 B. 8 设 ， ， 是非零向量，若 ，则 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】本题主要考查向量数量积的运算 . ， ， ， 即 . 故选 D. 9 如图，已知三棱锥 ，记二面角 的平面角是 ，直线 与平面 所成的角是 ，直线 与 所成的角是 ，则 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】本题主要考查线面角、二面角的求解 . 设 在平面 内 的射影为 ,过 作 于 ，连结 ， , , ,而 与
5、 的大小关系不确定 . 故选 A. 10 已知 ， 都是偶函数，且在 上单调递增，设函数 ，若 ，则 A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】 A 【解析】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查分类讨论思想 . ， ， ， ， ， , ， ， , , , 若 ，则 ， ， ； 若 ，则 ， ， ； 若 ，则 ， ， . 综上 ，同理可得 . 故选 A. 二、填空题：共 7 题 11 抛物线 的焦点坐标是，准线方程是 . 【答案】 ， 【解析】本题主要考查抛物线的性质 . 抛物线 的焦点坐标是 ，准线方程是 . 故答案为 ， . 12 某几何体的三视图如图所示 (单位： )，则该几何体的
6、表面积是 ，体积是 . 【答案】 ， 8 【解析】本题主要考查空间几何体的三视图、表面积和体积 . 由三视图可得该几何体为一个三棱柱，底面是正视图中的直角三角形，高为 ，则该几何体的表面积是 ( ) ,体积是 . 故答案为 ， 8. 13 在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若 ， ， ，则， . 【答案】 ， 【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和的正弦公式和正弦定理 . 由 ,得 ，又 ， ， , 由正弦定理 ，得 . 故答案为 ， . 14 已知等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，设 ， 的前 项和分别为 ， ，若 ， ，则 ， . 【答案】 2
7、,2 【解析】本题主要考查等差数列 、 等比数列 的通项公式 与前 项和，考查恒成立问题 . 由 ， 得 ，即( )， ,解得 ， . 故答案为 . 15 如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆 2个，一堆 3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是 (用数字作答 ). 【答案】 10 【解析】本题主要考查排列组合问题 . 对集装箱编号，左边三个从上到下依次为 ， ， ，右边两个从上到下依次为 ， ，则排列的相对顺序为 ， ， 与 ， ， 故不同取法的种数为 . 故答案为 . 16 已知直线 ： ，圆 ： 与 ： ，若直线 被圆 ， 所截得两弦的
8、长度之比是 3，则实数 . 【答案】 【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式 由题意得， ,解得 . 故答案为 . 17 已知函数 在区间 内有两个零点，则 的取值范围是 . 【答案】 【解析】本题主要考查函数零点的分布及二次函数的图像和性质 . 若函数 在区间 内有两个零点，只需 ( ) ( ),解得 . 故答案为 . 三、解答题：共 5 题 18 已知函数 . (1)求 的最小正周期； (2)当 时，求 的取值范围 . 【答案】 (1)由题意得 ， 所以函数 的最小正周期 . (2)由 知， ， 所以函数 的取值范围为 . 【解析】本题主要考查两角和与差的正弦公式、倍角
9、公式，考查正弦函数的性质 . (1)利用两角和与差的正弦公式及倍角公式化简解析式，再由正弦函数的周期公式可得结论； (2)利用的正弦函数的单调性和值域，可得结论 . 19 如图，已知四棱柱 的底面是菱形，侧棱 底面 ， 是 的中点， ， . (1)证明： 平面 ； (2)求直线 与平面 所成的角的正弦值 . 【答案】 (1)证明：连接 交 于点 ，连接 ， . 因为 为菱形，所以点 在 上， 且 ，又 ，故四边形 是平行四边形， 则 ，因此 平面 . (2)由于 为菱形，所以 ， 又 是直四棱柱，有 ，则 平面 ， 因此平面 平面 . 过点 作平面 和平面 交线 的垂线，垂足为 ，得 平面 ，
10、 连接 ，则 是直线 与平面 所成的角， 设 ，因为 是菱形且 ，则 ， ， 在 中，由 ， ，得 ， 在 中，由 ， ，得 ， 所以 . 【解析】本题主要考查线面平行的判定、面面垂直的判定及性质，考查线面角的求法 . (1)连接 交 于点 ，连接 ， .证明 是平行四边形，得线线平行，再由线面平行的判定可得结论； (1)作出平面的垂线，即可找到线面角，求出相关线段的长度可得结论 . 20 设函数 ， . 证明： (1) ； (2) . 【答案】 (1)记 ， 则 ， ， 那么， 在区间 上单调递增， 又 ，所以 ， 从而 . (2) ， 记 ，由 ， ， 知存在 ，使得 . 因为 在 上是增
11、函数，所以， 在区间 上是单调递减，在区间 上单调递增，又 ， ，从而 . 另一方面，由 (1)得当 时， ，且 ， 因此， . 【解析】本题主要考查导数在研究函数单调性、最值及证明不等式中的综合应用 . (1)作差，构造函数 ，利用导数研究函数 的单调性和最值，可得结论； (2)求导，构造函数 ， 利用导数讨论函数 的单调性和最值，从而得到 的单调性和最值，命题得证 . 21 如图，已知椭圆 的左、右顶点分别是 ， ，设点 )，连接 交椭圆于点 ，坐标原点是 . (1)证明： ； (2)若四边形 的面积是 ，求 的值 . 【答案】 (1)设直线 的方程为 ，由 整理得 ， 解得 ， ，则点 的坐标是 ， 故直线 的斜率 . 由于直线 的斜率 ，故 ，所以 . (2)由 四边形 ， 四边形 ， 得 ，整理得 ， 因为 ，所以 .
