1、1 2012 届六校 11 月联考试题理科数学 一、选择题（本大题 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1已知集合 ， ，则 （ ,1|2RxyM2|xyxNNM ） A. B. C. D. ), ), 2已知命题“ ”是真命题，则实数 a 的取值范围是 （ ）02,axx A B C D （1，1）)1,(),1( ),1(),( 3如图，正方形 CD的顶点 ,2A， ,B，顶点 、 位于第一象限，直线:(02)lxt 将正方形 分成两部分，记位于直线 l左侧阴影部分的面积为)f ，则函数 的图象大致是（ ）sft 4已知 ,则 ( )12020,cos15inMxdN A. B. C
2、. D. 以上都有可能MN 5右图是函数 在区间 上的sin()yAxR5,6 图象。为了得到这个函数的图象，只要将 的sin()yxR 图象上所有的点 （ ） （ A ） A向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原3 来的 倍，纵坐标不变12 B向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 C向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变6 1 D向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 A D B C x y O l A B C D 3 题图 5 题图 2 6.若函数 在 处有最小值，则 (
3、)1(),(2)fxxnn A B. C.4 D.3123 7设函数 是定义在 R上的奇函数，且当 时， 单调递减，若数列 是fx0xfxna 等差数列，且 ，则 的值（ ）30a12345faffaa A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为 0 D.可正可负 8. 若函数 且 ，则下列结论中，必成立的是2,xfbcffcfb ( ) A B C D0,abc0,a2ac2ac 二、填空题（本大题 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9、若 ，且 ，则 ；3os53,2tn 10已知 则 的最小值是 ；,0xyyx 11定义运算法则如下： ；若 11232,lgabab82415M ，则
4、MN ； 1,25N 12设 是周期为 2 的奇函数，当 时， ,则 ()fx01x()fx21)()2f 13. 设曲线 在点（1，1）处的切线与 轴的交点的横坐标为 ,则1()nyx* nx 的值为 20120120logllogx ； 14、如图放置的边长为 1 的正方形 沿 轴滚动。设顶PABCx 点 的轨迹方程是 ，则 在其两个相,Pxy()yfx()yf 邻零点间的图像与 轴所围区域的面积为 。x 三、解答题（本大题 6 小题，共 80 分） 15 （本小题满分 14 分 已知函数 ).4cos()sin(2i3)( xxxf （I）化简 的最小正周期；,ff并 求的 表 达 式
5、C BP A 14 题图 3 （II）当 的值域。0,()2xfx时 求 函 数 16 （本大题 12 分）已知二次函数 2(1)2fxax （1）判断命题：“对于任意的 R（R 为实数集） ，方程 必有实数根”的真a1f 假，并写出判断过程 （2） ，若 在区间 及 内各有一个零点求实数 a 的范围()yfx0,1)2( 17、 （本小题满分 12 分）如果直线 与 轴正半轴，12:20,:840lxylxyx 轴正半轴围成的四边形封闭区域（含边界）y 中的点，使函数 0,zabxy的最 大值为 8，求 的最小值 18.（本小题满分 14 分）等比数列 na中， 123,a分别是下表第一、二
6、、三行中的某一 个数，且 123,a中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 （） 求数列 na的通项公式； （）若数列 b满足 ，记数列 nb的前 n 项和为 ，证明13(2)log()nnba nS17 题图 4 34nS 19、 （本小题满分 14 分）如图，已知曲线 与曲线31:(0)Cyx 交于点 .直线32:(0)Cyx,OA 与曲线 分别相交于点 .(01)t12,C,BD （）写出四边形 的面积 与 的函数关系ABDSt ；Sft （）讨论 的单调性，并求 的最大值.ft 20 （本小题满分 14
7、 分）给定函数 2()1)xf （1）试求函数 的单调减区间；fx （2）已知各项均为负的数列 na满足， 求证： 11lnnaa；4()nSfa （3）设 1nba， nT为数列 b的前 项和，求证： 。201201TT 六校 11 月联考试题理科数学参考答案 19 题图 5 一、选择题（本大题 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1已知集合 ， ，则 （ B ,1|2RxyM2|xyxNNM ） A. B. C. D. ), ), 2已知命题“ ”是真命题，则实数 a 的取值范围是 （ C ）02,axx A B C D （1，1）)1,(),1( ),1(),( 3如图，正方形 C
8、D的顶点 ,2A， ,B，顶点 、 位于第一象限，直线:(02)lxt 将正方形 分成两部分，记位于直线 l左侧阴影部分的面积为)f ，则函数 的图象大致是（ C ）sft 4已知 ,则 ( B )12020,cos15inMxdN A. B. C. D. 以上都有可能MN 5右图是函数 在区间 上sin()yAxR5,6 的图象。为了得到这个函数的图象，只要将 的图象上所有的点 （ A ）sin()yxR A向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原3 来的 倍，纵坐标不变12 B向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 C向左平移 个单位长度，再把
9、所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变6 1 D向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 6.若函数 在 处有最小值，则 ( D )1(),(2)fxxnn A B. C.4 D.3123 7设函数 是定义在 R上的奇函数，且当 时， 单调递减，若数列 是fx0xfxna A D B C x y O l 5 题图 A B C D 3 题图 6 等差数列，且 ，则 的值（ A ）30a12345faffaffa A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为 0 D.可正可负 8. 已知函数 且 ，则下列结论中，必成立的2,xfbcffcfb 是( D ) A B
10、C D0,abc0,a2ac2ac 二、填空题（本大题 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9、若 ，且 ，则 .3os53,2tn43 10已知 则 的最小值是 4 。,0xyyx 11定义运算法则如下： ；若 11232,lgabab82415M ，则 MN 5 1,25N 12设 是周期为 2 的奇函数，当 时， ,则 ()fx01x()fx21)()2f 13. 设曲线 在点（1，1）处的切线与 轴的交点的横坐标为 ,则1()nyx* nx 的值为 1 20120120logllogx 14、如图放置的边长为 1 的正方形 沿 轴滚动。设顶PABCx 点 的轨迹方程是 ，则 在其
11、两个相,Py()yfx()yf 邻零点间的图像与 轴所围区域的面积为 。x1 三、解答题（本大题 6 小题，共 80 分） 15 （本小题满分 14 分 已知函数 ).4cos()sin(2i3)( xf （I）化简 的最小正周期；,fxf并 求的 表 达 式 （II）当 的值域。0,()2x时 求 函 数 解：（I） 3 分2sini3)(xf 4 分cossin3 6 分).62(x 故 8 分.的 最 小 正 周 期 为f C BP A 14 题图 7 （II）当 10 分,672,0xx时 故 12 分1)62sin( 故函数 的值域为1，2。 14 分xf 16 （本大题 12 分）
12、已知二次函数 2(1)2fxax （1）判断命题：“对于任意的 R（R 为实数集） ，方程 必有实数根”的真a1f 假，并写出判断过程 （2）若 在区间 及 内各有一个零点求实数 a 的范围()yfx0,1)2( 解：（1） “对于任意的 R（R 为实数集） ，方程 必有实数根”是真命题；a1(xf （3 分） 依题意： 有实根，即 有实根1)(xf2(a1)=0x 对于任意的 R（R 为实数集）恒成立28()0aA 即 必有实根，从而 必有实根（6 分）2()=x f （2）依题意：要使 在区间 及 内各有一个零点()yfx0,1)2( 只须 （9 分） 即 （10 分） (1)0()2ff
13、3410a 解得： （多带一个等号扣 1 分）43a1 （12 分） 17、 （本小题满分 12 分）如果直线 与 轴正半轴，12:20,:840lxylxyx 轴正半轴围成的四边形封闭区域（含边界）中的点， 使函数 ,zab的最大值为 8，求 的最小值 17 题图 8 解：设 为封闭区域中的任意点,Pxy 则 满足约束条件 2084 ,xy （3 分）, 可行域如图所示（6 分） 目标函数的最优解为 （8 分） 1,4B 依题意将 代入 得最大值 8，解得 （10,(0,)Zabxy4ab 分） 有基本不等式得： （当且仅当 时，等号成立）242ab 故 ab的最小值为 4（12 分） 18
14、.（本小题满分 14 分）等比数列 n中， 123,分别是下表第一、二、三行中的某一 个数，且 123,中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 （） 求数列 na的通项公式； （）若数列 b满足 ，记数列 nb的前 n 项和为 ，证明13(2)log()nnba nS34nS 18.【解析】 （I）当 13a时，不合题意； 当 12a时，当且仅当 26,8时，符合题意； 当 0时，不合题意。 （4 分） （只要找出正确的一组就给 3 分） 因此 123,1,a所以公比 q=3，（4 分） 故 .na（6 分）
15、9 （II）因为 所以 （9 分）13(2)log()nnba1(2)nb 所以 （10 分）123+nnSb1345(2) （12 分）1( +23n ，故原不等式成立（14 分）1=+)24n 19、 （本小题满分 14 分）如图，已知曲线 与曲线31:(0)Cyx 交于点 .直线32:(0)Cyx,OA 与曲线 分别相交于点 .(01)t12,C,BD （）写出四边形 的面积 与 的函数关系ABDSt ；Sft （）讨论 的单调性，并求 的最大值.ft 19. 解：（）由 题意得交点 O、A 的坐标分别是（0，0） ， （1，1）. （2 分） （一个坐标给 1 分） f(t)=SABD
16、 +SOBD = 1|BD|1-0|= 2|BD|= (-3t3+3t)， 即 f(t)=- 3(t3-t)，(0t1). （6 分） （不写自变量的范围扣 1 分） （）f(t)=- 29t2+ .（8 分） 令 f(t)=0 解得 t= 3.（10 分） 当 0t0，从而 f(t)在区间（0， 3）上是增函数； 当 t1 时，f(t)0，从而 f(t)在区间（ ，1）上是减函数. （12 分） 所以当 t= 3时，f(t)有最大值为 f( 3)= .（14 分） 20 （本小题满分 14 分）给定函数 2()1)xf （1）试求函数 的单调减区间；fx 19 题图 10 （2）已知各项均为
17、负的数列 na满足， 求证： 11lnnaa；14()nSfa （3）设 1nba， nT为数列 b的前 项和，求证： 。201201TT 20 （本小题满分 14 分） （1） 的定义域为 1 分 （此处不写定义域，结果正确不 2()1)xf 1x 扣分） 22()4()()fxxA 3 分 由 0得 1或 单调减区间为 ,和 ,5 分（答案写成（0,2）扣 1 分；不写区间形式扣 1 分） （2）由已知可得 2nnSa， 当 2时， 21nnSa 两式相减得 11()()0 1na或 当 时， 21，若 1n，则 2这与题设矛盾 1n na 8 分 于是，待证不等式即为 l。 为此，我们考虑证明不等式 ,01x 令 1,0tx则 t， t 再令 ()lng， ()g 由 (1,)t知 (0gt 当 ,t时， t单调递增 )g 于是 1lnt 即 1l0x 令 1()nhtt， 21()tht 由 (1,)t知 (0ht 当 ,时， 单调递增 ()0h 于是 1lnt 即 l,01xx 由、可知 1ln,0x 10 分 所以， ln，即 11lnnaa 11 分 （3）由（2）可知 nb 则 23T 12 分 在 11l中令 n=1,2,32010，2011 并将各式相加得 11 13 分1232011+ln+ln+2301 320 即 14TT
