1、高三数学试卷第 1 页 共 4 页 无锡慧源高复 数学模拟试卷 8 (考试时间：120 分钟 总分：160 分) 注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效 一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请将答案填入答题纸填空题的 相应答题线上 ） 1已知集合 ，集合 ，则 21Ax 2,10,BAB 2如图，在复平面内，点 对应的复数为 ，若 （ 为虚数单位） ，1z2i 则 2z 3在平面直角坐标系 中，双曲线 的实轴长为xOy21xy 4某校共有教师 200 人，男学生 800 人，女学生 600 人，现用分层抽样的方 法从所有师生中抽取一个容量为
2、的样本，已知从男学生中抽取的人数为 100n 人，那么 n 5执行如图所示的伪代码，当输入 的值分别为 时，最后输出的,ab1,3a 的值为 6甲乙两人下棋，若甲获胜的的概率为 ，甲乙下成和棋的概率为 ，则乙不输棋的概1525 率为 7已知直线 与圆 相交于 两点，若 ，(0)ykx2:()Cxy,AB5 则 k 8若命题“存在 ”为假命题，则实数 的取值范围是 20,4Ra a Read ,1Whil 21End hilePrtbbia （第 5 题） （第 2 题） 高三数学试卷第 2 页 共 4 页 9如图，长方体 中， 为 的中点，三棱锥1ABCDO1BD 的体积为 ，四棱锥 的体积为
3、 ，则OV1A2V1 的值为 10已知公差为 的等差数列 及公比为 的等比数列 满足 ，2nanb120,ab 则 的取值范围是 3ab 11设 是 上的奇函数，当 时， ，记 ，则数()fxR0x()2ln4xf(5)naf 列 的前 项和为 na8 12在平面直角坐标系 中，已知点 分别为 轴， 轴上一点，且 ，若xOy,ABxy2AB 点 ，则 的取值范围是 (2,5)PABP 13若正实数 满足 ，则 的最大值为 ,xy2(1)(5)2y1xy 14已知函数 （其中 为常数， ） ，()sin()cos()6xfAA(,0) 若实数 满足： ， ， ，则123,x123x12123()
4、fxffx 的值为 二、解答题：（本大题共 6 小题，共 90 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤 ） 15 （本题满分 14 分） 在 中，角 的对边分别为 ，向ABC,ab 量 (cosin)(cosin)BAm （1）若 ，求证： ；ab/m （2）若 , ，求 的值ta （第 9 题） O CD B C1 A B1A1 D1 高三数学试卷第 3 页 共 4 页 FOCBADE 16 （本题满分 14 分） 如图，在三棱锥 中， ， ，点 ， 分别PABC90BACPBDF 为 ， 的中点BC （1）求证：直线 平面 ；/DF （2）求证： 17 （本题满分 14 分） 一个玩具
5、盘由一个直径为 米的半圆 和一个矩形 构成， 米，如图所2OABCD1 示小球从 点出发以 的速度沿半圆 轨道滚到某点 处后，经弹射器以 的速度AvE6v 沿与点 切线垂直的方向弹射到落袋区 内，落点记为 设 弧度，小球EBFO 从 到 所需时间为 FT （1）试将 表示为 的函数 ，并写出定义域；() （2）求时间 最短时 的值 cos 18 （本题满分 16 分） 已知数列 满足 ，其中 是数列 的前 项和 ,nab2()nnSabnSna （1）若数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，求数列 的通项公式；31b （2）若 ， ，求数列 的通项公式；n2n （3）在（2）的条件下，设 ，求
6、证：数列 中的任意一项总可以表示成该数列acbnc 其他两项之积 D F C P A B 高三数学试卷第 4 页 共 4 页 19 （本题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 中， 已知圆 ，椭圆 ， xOy:24xy:C21xy 为椭圆右顶点过原点 且异于坐标轴的直线与椭圆 交于 两点，直线 与圆A ,BAB 的另一交点为 ，直线 与圆 的另一交点为 ，其中 设直线OPDQ6(0)5D 的斜率分别为 ,BC12,k （1）求 的值；12k （2）记直线 的斜率分别为 ，是否存在常数 ，使得 ？若存,Q,PQBCkPQBCk 在，求 值；若不存在，说明理由； （3）求证：直线 必过点 A
7、20 （本题满分 16 分） 已知函数 ， ， 421fxax(0,)gxffx （1） 若 ，求证：0 （） 在 的单调减区间上也单调递减；f()f （） 在 上恰有两个零点；gx, （2） 若 ，记 的两个零点为 ，求证： 1a12,x1244xa 数学试题（附加题） 21.【选做题】请考生在 A、B、C、D 四小题中任选两题作答.如果多做，按所做的前两 题记分. A （几何证明选讲，本题满分 10 分） 如图,圆 是 的外接圆,点 是劣弧 的中点,连结 并延长,与以 为切OBCADC 点的切线交于点 ,求证: .PA x y D Q P C AO B B PD OA C 高三数学试卷第
8、5 页 共 4 页 B （矩阵与变换，本题满分 10 分） 已知矩阵 的一个特征值为 ,求 . 125Mx22M C （坐标系与参数方程，本题满分 10 分） 在平面直角坐标系 中,已知直线 与椭圆xoy1:()72xtCy为 参 数 的一条准线的交点位于 轴上,求实数 的值.2cs:(0)3inxaay为 参 数 , ya D （不等式选讲，本题满分 10 分） 已知正实数 满足 ，求证： .,abc231c246271abc 高三数学试卷第 6 页 共 4 页 22 【必做题】 （本题满分 10 分） 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AC = 3，BC = 4，AB = 5，AA
9、 1 = 4 （1）设 ，异面直线 AC1 与 CD 所成角的余弦值为 ，求 的值；AD 90 （2）若点 D 是 AB 的中点，求二面角 DCB1B 的余弦值 23. 【必做题】 （本题满分 10 分） 已知 ，若存在互不相等的正整数 ，使得 ,N*km12,am123,a 同时小于 ，则记 为满足条件的 的最大值11,ak()f （） 求 的值；(6)f （） 对于给定的正整数 ，n （）当 时，求 的解析式；2(1)2n()fk （）当 时，求 的解析式()k 高三数学参考答案 一、填空题 1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 ； ,0i220 6 ； 7 ； 8 ； 9 ； 10451(
10、,)1 ； (,2) 11 ； 12 ； 13 ； 14 . 1,132123 DC B B1C1 A1 A 高三数学试卷第 7 页 共 4 页 G FOCBDAE 二、解答题 15. 证明：（1）因为 ，cosaAbB 所以 ，所以 . 7sinciA/mn 分 （2）因为 ，所以 ，即 ，mssi0cos()0AB 因为 ，所以 ，又 ，所以 ，则 ，12abB,(0,)A,2 分 所以 . 14tnta124A 分 16. 证明（1）点 ， 分别为 ， 的中点，DFBCA ，/FC 又 平面 ， 平面 ，PAP 直线 平面 6 分 （） ，90 ， ，B 又 ， 在平面 内，,AB 平面
11、 ， 8 分ACP 平面 ， ，FCPF ， 为 的中点， ，BA ， ， ， 在平面 内，,CAB 平面 ， 12 分 平面 ， 14 分ADCDPF 17. 解：（1）过 作 于 ，则 ，OGB1OG ， ， ，siniF1sinEAE 所以 ， 7 分 A()56i6FTvv,4 3 （写错定义域扣 1 分） （2） ，()sin DFC P A B 高三数学试卷第 8 页 共 4 页 ，9 分 22 21cos6in5cos(cs3)(os)()5i300inTvvv 记 ， ，0cs30,4 0(,)03(,)4()T - 0 +AA 故当 时，时间 最短 14 分2cos3 18.
12、 解：（1）因为 ，1()2()3nnna ， 2 分 ()()2nnS 所以 4 分 1()32nnba （2）若 ，则 ， ，nnSa112()2nnSa 两式相减得 ，即 ，11()na 当 时， ，n 两式相减得 ，即 ， 8 分11()()2()nnaa12na 又由 ， 得 ， ，12Sa24S23 所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列， n3 故数列 的通项公式是 10 分1na （3）由（2）得 ，nc 高三数学试卷第 9 页 共 4 页 对于给定的 ，若存在 ，使得 ，*nN*,ktntNnktc 只需 ， 1kt 即 ，即 ，则 ， 12 分1()nt1nkt(1)tk
13、n 取 ，则 ， k(2) 对数列 中的任意一项 ，都存在 和 使得ncnc12nc221ncn 16 分21nn 19解：（1）设 ，则 ，0(,)Bxy0(,)Cxy2014y 所以 4 分 2200012 14kxx （2）联立 得 ，12 ()y222111()()0kxk 解得 ，1 112 2()4,()PPkxx 联立 得 ， 12()4yx222111()6()0kxk 解得 ， 8 分 21 112()4,()BBkyxk 所以 ， ，124BCkkx1212156()645PQykkx 所以 ，故存在常数 ，使得 10 分5PQBC2PQBC 高三数学试卷第 10 页 共
14、4 页 （3）当直线 与 轴垂直时， ，PQx68(,)5 则 ，所以直线 必过点 2 8156AkkACQ 当直线 与 轴不垂直时，直线 方程为： ，PQxP1256()4kyx 联立 ，解得 ， 1256()4kyx2112(6),6QQxkk 所以 ，故直线 必过点 16 122116()4AQkkkAC 分 （不考虑直线 与 轴垂直情形扣 1 分）Px 20. 证：（1）因为 ，所以 ，420fax3()4fxa 由 得 的递减区间为 ， 2 分32(4)10axx()f 1,2 当 时， ，(0,)3()4()0faxx 所以 在 的递减区间上也递减 4 分fxf （2）解 1： ，
15、42343211()gxfaxaxax 因为 ，由 得 ，0x43020 令 ，则 ，321()ax2()8xx 因为 ，且 ，所以 必有两个异号的零点，记正零点为 ，则()0 0x 高三数学试卷第 11 页 共 4 页 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递0(,)x()0x()0(,)x()0x() 增，若 在 上恰有两个零点，则 ， 7 分, 由 得 ，2001()38xax200138ax 所以 ，又因为对称轴为 所以 ，07994,3x81()02 所以 ，所以 ，073x07()()x 又 ，22211()48aaxax 设 中的较大数为 ，则 ， 1,8M()0 故 在 上恰有两
16、个零点 10 分0agx(,) 解 2： ，42343211()ffxaxaxax 因为 ，由 得 ，x3020 令 ，32()41ax 若 在 上恰有两个零点，则 在 上恰有两个零点，gx0,)()x,) 当 时， 由 得 ，此时 在 上只有一个零点，不2(x0a12(0,) 合题意； 当 时，由 得 ， 7 分x321()4x324xa 令 ， 321 8()x 则 ， 221 57()(5)4) 0xx 高三数学试卷第 12 页 共 4 页 当 时， 单调递增，且由 值域知(0,2)x()x284,2yxyx 值域为 ；当 时， 单调递增，且 ，由)2,)1()1()0 值域知 值域为
17、；284,yxyxx,) 因为 ，所以 ，而 与 有两个交点，所以 在 上0a102a2ya1(1()x,) 恰有两个零点 10 分 （3）解 1：由（2）知，对于 在 上恰有两个零点 ，3()4xx(0,)12,x 不妨设 ，又因为 ， ，所以 ，12 12x(0)11()67)28a1x 分 又因为 ， ，所以 ，(4)9()6570)28a294x 所以 16 14x 分 解 2：由（2）知 ， 32xa 因为 时， 单调递增， ， ，0,)x1()17()2111(0)()()2xa 所以 ， 12 分12 当 时， 单调递增， ， ，(,)x1()x198()011219(4)()(
18、)x 所以 ，294 所以 16 分1254xa 高三数学试卷第 13 页 共 4 页 附加题参考答案 21.A证明：连结 ，因为 为圆 的切线，CDPO 所以 , P 又 是公共角，所以 ， 5 分AC 所以 , 因为点 是劣弧 的中点,所以 ,即 . 10 分BBDPAC 21.B. 解： 代入 ，得 22 1(1)(5)05x3x 矩阵 5 分32M 10 分6451 21.C. 解：直线 ： ， 29xy 椭圆 : ， 5 分221(03)9ya 准线： 2 由 得， 10 分29a 21.D.证明：因为正实数 满足 ，,bc231ac 所以 ，即 ， 5 分32137 所以 237a
19、bc 因此， 10 分462461abc 高三数学试卷第 14 页 共 4 页 22. 解：（）由 AC = 3，BC = 4，AB = 5 得 分09ACB 以 CA、CB、CC 1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建 立如图所示的空间直角坐标系则(3,0,0)， (0,0,4)，1C B(0,4,0)，设 D(x,y,z)，则由 得ABD ，而 ，(3,40)CD1(3,04) 根据 解得， 或 分2919| |58153 （） ，可取平面 的一个法向量为13(,0)(,4)CB1CDB ；1(4,)n 分 而平面 的一个法向量为 ，并且 与二面角 DCB1B 相等，1B2(1,0)
20、n12,n 所以二面角 DCB1B 的余弦值为 12cos,347 分 （第（）题中少一解扣分；没有交代建立直角坐标系过程扣 1 分第（）题如果结 果相差符号扣分 ） 23. 解：（1）由题意，取 ， ，满足题意，12,a126a 若 ，则必有 ，不满足题意，3a236 综上所述： 的最大值为 ，即 4 分m()f （）由题意，当 时，(1)2nkn 设 ， ，1,2A2,3,A 显然， 时，满足 ，1ia1()(1)iank 高三数学试卷第 15 页 共 4 页 从集合 中选出的 至多 个， 1Aian 时， ，2,ja1()2j k 从集合 中选出的 必不相邻，j 又从集合 中选出的 至多
21、 个，1Aian 从集合 中选出的 至多 个，放置于从集合 中选出的 之间，2j 1Aia ， 6 分()fkn （）当 时，)(1)2kn 取一串数 为： ，ia,2,3,1,2,n 或写成 ， （ ） ， , 12i in为 奇 数为 偶 数 i 此时 ，( ), ，满足题意，1()iak21in21nak ， 8 分()fkn （）当 时，)()k 从 中选出的 个 ： ，考虑数 的两侧的空位，填入集合 的两个数 ，1Aia1,2n2A,pqa 不妨设 ，则 ，与题意不符，pqn()pk ，()2fk 取一串数 为： ia1,2,3,n2,1,nn 或写成 ， （ ） ， ,2iin为 奇 数为 偶 数 1i 此时 ， （ ） ， ，满足题意，1()iak2in21nak 高三数学试卷第 16 页 共 4 页 ， 10 分()21fkn （写出（） 、 （）题的结论但没有证明各给分 ）
