1、B A C D E F 第 01 讲 全等三角形的性质与判定 考点方法破译 1能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2全等三角形性质：全等三角形对应边相等，对应角相等；全等三角形对应高、 角平分线、中线相等；全等三角形对应周长相等，面积相等； 3全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方 法，除上述方法外，还有 HL 法； 4证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具 体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证 明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；
2、 5 证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形 并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、 翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等. 经典考题赏析 【例】如图，ABEF DC,ABC 90,ABCD，那么图中有全等三角形（ ） A5 对 B4 对 C3 对 D2 对 【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的 一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而 推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到. 解：ABEF DC,ABC 90. DCB 90. 在ABC 和DCB 中 ABCDCB（SAS ）
3、AD ABDC 在ABE 和DCE 中 ABEDCE BECEAEDCB 在 RtEFB 和 RtEFC 中 EF Rt EFBRtEFC（HL）故选 C. 【变式题组】 01 （天津）下列判断中错误的是（ ） A有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 A F C ED B D有一边对应相等的两个等边三角形全等 02 （丽水）已知命题：如图，点 A、D 、B、E 在同一条直线上，且 ADBE，AFDE，则ABCDEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果 是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当
4、条件使它成为真命题，并加 以证明. 03(上海)已知线段 AC 与 BD 相交于点 O, 连接 AB、 DC，E 为 OB 的中点，F 为 OC 的 中点，连接 EF（如图所示）. 添加条件AD，OEFOFE，求证：ABDC ； 分别将“AD”记为 ， “OEFOFE”记为 ， “ABDC”记为，添 加、，以为结论构成命题 1；添加条件、， 以为结论构成命题 2.命题 1 是_命题，命题 2 是 _命题（选择“真”或“假”填入空格）. 【例】已知 ABDC，AE DF，CFFB . 求证：AFDE . 【解法指导】想证 AFDE ，首先要找出 AF 和 DE 所在的三角形.AF 在AFB 和
5、AEF 中，而 DE 在CDE 和 DEF 中，因而只需证明ABF DCE 或AEFDFE 即 可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件. 证明：FBCE FB EFCEEF，即 BECF 在ABE 和DCF 中, ABDCEF ABE DCF（SSS） BC 在ABF 和DCE 中, ABF DCE AFDEFE 【变式题组】 01如图，AD、BE 是锐角ABC 的高，相交于点 O，若 BOAC ，BC7，CD2，则 AO 的长为（ ） A2 B3 C4 D5 A B C D O FE A C E F B D A E第 1 题图 A B C DE B CD O 第 2 题图 02.如图，
6、在ABC 中，AB AC ，BAC90，AE 是过 A 点的一条直线，AECE 于 E，BD AE 于 D，DE4cm，CE2cm，则 BD_. 03 （北京）已知：如图，在ABC 中， ACB90，CD AB 于点 D，点 E 在 AC 上， CEBC，过点 E 作 AC 的垂线，交 CD 的延长线于点 F. 求证：ABFC. A F E C B D 【例】如图，ABCDEF，将ABC 和DEF 的顶点 B 和顶点 E 重合，把 DEF 绕点 B 顺时针方向旋转，这时 AC 与 DF 相交于点 O. 当DEF 旋转至如图位置，点 B（E） 、C 、D 在同一直线上时，AFD 与DCA 的数量
7、关系是_; 当DEF 继续旋转至如图位置时，中的结论成立吗？请说明理由 _. B（E ） O C F 图 F A B C D E F A B(E) C D D A 图图 【解法指导】AFDDCA AFDDCA 理由如下：由ABCDEF，ABDE，BCEF, ABC DEF , BAC EDF ABC FBC DEFCBF , ABFDEC 在ABF 和DEC 中, ABDEFC ABF DEC BAFDEC BAC BAFEDFEDC, FAC CDF AODFACAFDCDFDCA AFDDCA 【变式题组】 01 （绍兴）如图，D、E 分别为 ABC 的 AC、BC 边的中点，将此三角形沿
8、 DE 折叠，使 点 C 落在 AB 边上的点 P 处.若CDE48，则APD 等于（ ） A42 B48 C52 D58 02如图，RtABC 沿直角边 BC 所在的直线向右平移得到 DEF，下列结论中错误的是 （ ） AABC DEF BDEF90 C ACDF DEC CF E FBA BP D E C 第 1 题图 A C D G 第 2 题图 03一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如 下图形式，使点 B、F、C 、D 在同一条直线上. 求证：ABED ； 若 PBBC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明. B F A C E NM P
9、DD A C BF E 【例】 （第 21 届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE 分别是ABC 的边 A C 和 AB 边上的高，点 P 在 BD 的延长线， BPAC ，点 Q 在 CE 上，CQAB. 求证： AP AQ；APAQ 【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证 AP AQ,也就是证 APD 和AQE，或APB 和QAC 全等,由已知条件 BP AC，CQAB ，应该证APBQAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角 1 2 即可. 证 APAQ，即证PAQ90 ，PADQAC90就可以. 证明：BD、CE 分别是ABC 的两边上的高， BD
10、ACEA90, 1BAD90， 2BAD90，1 2. 2 1 A B C P Q E F D A B C DF E 在APB 和QAC 中, APB QAC，2ABQCP 1 APAQ APB QAC，PCAQ, PPAD90 CAQPAD90， APAQ 【变式题组】 01如图，已知 ABAE ，BE ，BAED ，点 F 是 CD 的中点，求证：AFCD. 02 （湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂 直距离 MA 为 am，此时梯子的倾斜角为 75，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙 上，此时梯子顶端距地面的垂直距离 NB 为 bm，梯子倾斜角为
11、45，这间房子的宽度 是（ ） A B Cbm Dam2abm2ab A E C B A 75C 45 B N M 第 2 题图 第 3 题图 D 03如图，已知五边形 ABCDE 中， ABCAED90，AB CD AE BC DE 2， 则五边形 ABCDE 的面积为_ 演练巩固反馈提高 01 （海南）已知图中的两个三角形全等，则 度数是（ ） A72 B60 C58 D50 第 3 题图第 1 题图 C A O D B P 第 2 题图 A C A/ B B/ a c ca 50 b 7258 02如图，ACBA /C/B/， BCB /30，则ACA /的度数是（ ） A20 B30
12、C35 D40 03 （牡丹江）尺规作图作AOB 的平分线方法如下：以 O 为圆心，任意长为半径画弧交 OA、OB 于 C、D，再分别以点 C、D 为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于12C 点 P，作射线 OP，由作法得 OCPODP 的根据是（ ） ASAS BASA CAAS DSSS 04 （江西）如图，已知 ABAD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCADC 的是（ ） A. CBCD B.BAC DAC C. BCADCA D.BD90 E 2 1 NA B D C第 5 题图 AB C D E A B C D 第 4 题图 第 6 题图 M 05有两块不同大小的等腰直角三
13、角板ABC 和BDE，将它们的一个锐角顶点放在一起， 将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当 A、B、D 不在一条直线上时，下面的结论 不正确的是（ ） A. ABECBD B. ABECBD C. ABCEBD45 D. ACBE 06如图，ABC 和共顶点 A，ABAE，12，BE. BC 交 AD 于 M，DE 交 AC 于 N，小华说：“一定有ABC AED .”小明说：“ABM AEN .”那么（ ） A. 小华、小明都对 B. 小华、小明都不对 C. 小华对、小明不对 D.小华不对、小明对 07如图，已知 ACEC, BCCD, ABED,如果BCA119，ACD98,那么 ECA
14、 的度数是_. 08如图，ABCADE，BC 延长线交 DE 于 F，B25,ACB105， DAC10，则DFB 的度数为_. 09如图，在 RtABC 中，C90, DEAB 于 D, BCBD . AC3，那么 AEDE _ 第 10 题图 A B C D E第 9 题图 EA B C D A B C D E F O C AE B D 第 7 题图 第 8 题图 10如图，BAAC, CDAB. BC DE，且 BCDE，若 AB2, CD6，则 AE_. 11如图, ABCD, ABCD. BC12cm，同时有 P、Q 两只蚂蚁从点 C 出发，沿 CB 方向 A E F B DC 爬行
15、，P 的速度是 0.1cm/s, Q 的速度是 0.2cm/s. 求爬行时间 t 为多少时，APB QDC. D A C . QP . B 12如图, ABC 中，BCA 90，AC BC，AE 是 BC 边上的中线，过 C 作 CFAE，垂足为 F，过 B 作 BDBC 交 CF 的延长线于 D. 求证：AECD； 若 AC12cm, 求 BD 的长. 13 （吉林）如图，ABAC，AD BC 于点 D，AD 等于 AE，AB 平分DAE 交 DE 于点 F, 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明. 14如图，将等腰直角三角板 ABC 的直角顶点 C 放在直线 l 上，从另两个
16、顶点 A、B 分别 作 l 的垂线，垂足分别为 D、E. 找出图中的全等三角形，并加以证明； 若 DEa，求梯形 DABE 的面积.（温馨提示：补形法） 15如图，ACBC, AD BD, ADBC ，CEAB，DFAB ，垂足分别是 E、F.求证： CEDF. 16我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什 么情况下，它们会全等？ 阅读与证明： 对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等； 对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略） ； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下； 已知ABC、A 1B1C1 均为锐角三角形，ABA
17、 1B1，BC B 1C1，CC 1.求证： D B A CE F AE B F D C B D EC l A A E F CDB ABCA 1B1C1.（请你将下列证明过程补充完整） A B C D A1 B1 C1 D 1 归纳与叙述：由可得一个正确结论，请你写出这个结论. 培优升级奥赛检测 01如图，在ABC 中，ABAC ，E、F 分别是 AB、AC 上的点，且 AEAF，BF、CE 相 交于点 O，连接 AO 并延长交 BC 于点 D，则图中全等三角形有（ ） A4 对 B5 对 C6 对 D7 对 F 第 6 题图 2 1 A B CE N M 32 1 AD E B C F A
18、D E CO A E O B F CD 第 1 题图 B 第 2 题图 第 3 题图 02如图，在ABC 中，ABAC ，OCOD，下列结论中：AB DECE， 连接 DE, 则 OE 平分AOB，正确的是（ ） A B C D 03如图，A 在 DE 上，F 在 AB 上，且 ACCE , 1=2=3, 则 DE 的长等于（） ADC B. BC C. AB D.AEAC 04下面有四个命题，其中真命题是（ ） A两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等 B两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 C. 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 D. 两边和第三边上的中线对应相等的
19、两个三角形全等 05在ABC 中，高 AD 和 BE 所在直线相交于 H 点,且 BHAC ，则ABC_. 06如图，EB 交 AC 于点 M, 交 FC 于点 D, AB 交 FC 于点 N，EF 90， BC, AEAF . 给出下列结论：12；BECF; ACN ABM; CDDB，其中正确的结论有_.（填序号） 07如图，AD 为在ABC 的高，E 为 AC 上一点，BE 交 AD 于点 F,且有 BFAC，FD CD . 求证：BEAC； 若把条件“BFAC”和结论“BEAC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定. A B CD E A E B D C 08如图，D 为在ABC 的边
20、 BC 上一点，且 CDAB ，BDABAD，AE 是ABD 的 中线.求证：AC2AE. A B E D C 09如图，在凸四边形 ABCD 中，E 为ACD 内一点，满足 ACAD，ABAE, BAE BCE 90, BAC EAD .求证：CED90. 10 （沈阳）将两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按图方式摆放，其中 ACBDEB 90 ，AD30，点 E 落在 AB 上， DE 所在直线交 AC 所在直 线于点 F. 求证：AFEF DE; 若将图中DBE 绕点 B 顺时针方向旋转角 ，且 0 60，其他条件不 变，请在图中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成
21、立； 若将图中DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 ，且 60 180,其他条件 不变，如图你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写 出此时 AF、EF 与 DE 之间的关系，并说明理由。 11 （嵊州市高中提前招生考试）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在ABC 中，AB 5，AC13, 求 BC 边上的中线 AD 的取值 范围. 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 AD 到 E，使得 DEAD，再连接 BE，把 AB、AC、2AD 集中 在ABE 中，利用三角形的三边关系可得 2AE8，则 1AD 4. 感悟：解题时，条件中若出现“
22、中点” “中线”等条件， 可以考虑中线加倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一 个三角形中. A F D FC B E D AC BE AC B 图 图 图 A D E G CHB 问题解决：受到的启发，请你证明下面命题：如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的中点，DEDF，DE 交 AB 于点 E，DF 交 AC 于点 F，连接 EF. 求证：BECF EF ； 问题拓展：如图，在四边形 ABDC 中，BC 180， DBDC，BDC=120，以 D 为顶点作一个 60角，角的两边分别交 AB、AC 于 E、F 两点，连接 EF，探索线段 BE、CF 、EF 之间的数
23、量关系， 并加以证明. 12 （北京）如图，已知ABC. 请你在 BC 边上分别取两点 D、E（BC 的中点除外） ，连接 AD、AE，写出使此 图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形； 请你根据使成立的相应条件，证明：ABACAD AE. 13如图，ABAD ，ACAE ，BAD CAE 180. AHAH 于 H，HA 的延长线交 DE 于 G. 求证：GDGE. 14已知，四边形 ABCD 中，ABAD，BCCD，BABC，ABC120，MBN60, MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD、DC（或它们的延长线）于 E、F. 当MBN 绕 B 点旋转到
24、AECF 时，如图 1，易证：AECFEF；（不需证明） A B E F CD A E B F C D CB A 4321 NMABO DP PCABMN 当MBN 绕 B 点旋转到 AECF 时，如图 2 和图 3 中这两种情况下，上述结论是 否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE、CF 、EF 又有怎样的数量关系？ 请写出你的猜想，不需证明. D A B C F N E M D 图 1 A B C F N E M D A B CF N E M图 2 图 3 第 02 讲 角平分线的性质与判定 考点方法破译 1角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 2角平分线的判
25、定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形. 经典考题赏析 【例】如图，已知 OD 平分AOB，在 OA、OB 边上截取 OAOB，PMBD ，PN AD .求证：PMPN 【解法指导】由于 PMBD ，PNAD.欲证 PMPN 只需34，证34，只 需3 和4 所在的OBD 与 OAD 全等即可. 证明：OD 平分AOB 1 2 在OBD 与OAD 中， OBDOAD12OBAD 34 PMBD，PNAD 所以 PMPN 【变式题组】 01如图，CP、BP 分别平分ABC 的外角BCM、CBN.求证：点 P 在BAC 的平分 线
26、上. MNABDCP EDA BC 21 F EDA BC DCA B 02如图，BD 平分ABC，ABBC，点 P 是 BD 延长线上的一点，PMAD ，PN CD. 求证：PMPN 【例】 （天津竞赛题）如图，已知四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，CEAB 于点 E，且 AE (ABAD)，如果D120，求B 的度数12 【解法指导】由已知12，CE AB ，联想到可作 CFAD 于 F，得 CECF，AF AE，又由 AE (ABAD )得 DFEB，于是可证CFDCEB ，则12 B CDF60.或者在 AE 上截取 AMAD 从而构造全等三角形. 解：过点 C 作 CFAD 于
27、点 F.AC 平分BAD，CE AB，点 C 是 AC 上一点， CECF 在 RtCFA 和 RtCEA 中， RtACFRtACE AFAECEA 又AE (AEBE AFDF )，2AE AEAFBEDF，BEDF12 CFAD，CEAB ，FCEB 90 在CEB 和CFD 中， ，CEB CFD CEBD BCDF 又ADC120，CDF60，即B60. 【变式题组】 01如图，在ABC 中，CD 平分ACB，AC 5，BC3.求 ACDBS 02(河北竞赛)在四边形 ABCD 中，已知 ABa，ADb.且 BCDC，对角线 AC 平分 BAD，问 a 与 b 的大小符合什么条件时，
28、有BD 180，请画图并证明你的 结论. 【例】如图，在ABC 中，BAC 90,ABAC ，BE 平分ABC ，CEBE.求证： 321 FEDCAB DECA B DFEBA C 图2图 DBCAEP 图4图 E FBDAC CE BD12 【解法指导】由于 BE 平分ABC，因而可以考虑过点 D 作 BC 的垂线或延长 CE 从而 构造全等三角形. 证明：延长 CE 交 BA 的延长线于 F，12，BEBE，BEFBEC BEF BEC(ASA ) CE EF，CE CF 1F3F90，12 13 在ABD 和ACF 中， ，ABDACF 13ABCDF BDCF CE BD2 【变式题
29、组】 01如图，已知 ACBD，EA、EB 分别平分CAB、DBA，CD 过点 E，求证： ABACBD . 02如图，在ABC 中，B60，AD 、CE 分别是BAC、BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点 F. 请你判断 FE 和 FD 之间的数量关系，并说明理由； 求证：AECDAC. 演练巩固反馈提高 01如图，在 RtABC 中，C 90，BD 平分ABC 交 AC 于 D，若 CDn，ABm ， 则ABD 的面积是（ ） A mn B mn C mn D2 mn1312 02如图，已知 ABAC，BECE ，下面四个结论：BPCP；ADBC；AE 平分 BAC；PBCPCB.其中
30、正确的结论个数有（ ）个 A 1 B2 C3 D4 03如图，在ABC 中，P、Q 分别是 BC、AC 上的点，作 PRAB，PSAC，垂足分别 是 R、S.若 AQPQ ，PRPS，下列结论：ASAR；PQAR；BRPCSP.其 中正确的是（ ） A B C D 图1图 DCB A 图3图 QSRPBA C 图5图 EBCA 图6图 FEDPAB C 图7图 PAB CEF 图8图 DA B C E 9图 E DC A B 图10图 KNMQCBA FB DE CA 04如图，ABC 中，AB AC ，AD 平分BAC ，DEAB，DFAC，垂足分别是 E、F ，则下列四个结论中：AD 上任
31、意一点到 B、C 的距离相等；AD 上任意一点 到 AB、AC 的距离相等；AD BC 且 BDCD；BDECDF.其中正确的是（ ） A B C D 05如图，在 RtABC 中，ACB90，CAB 30，ACB 的平分线与ABC 的外 角平分线交于 E 点，则AEB 的度数为（ ） A50 B45 C40 D35 06如图，P 是ABC 内一点，PD AB 于 D，PEBC 于 E，PFAC 于 F，且 PDPEPF，给出下列结论： ADAF ；ABECACBE；BCCF ABAF；点 P 是ABC 三条角平 分线的交点.其中正确的序号是（ ） A B C D 07如图，点 P 是ABC
32、两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ） A点 P 到ABC 三边的距离相等 B点 P 在 ABC 的平分线上 CP 与B 的关系是：P B90 DP 与B 的关系是：B P12 12 08如图， BD 平分 ABC， CD 平分ACE，BD 与 CD 相交于 D.给出下列结论：点 D 到 AB、AC 的 距离相等；BAC2BDC ；DA DC；DB 平分ADC.其中正确的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 09如图，ABC 中，C90AD 是ABC 的角平分线，DEAB 于 E，下列结论中： AD 平分CDE；BACBDE； DE 平分 ADB；ABACBE.其中
33、正 确的个数有（ ） A3 个 B2 个 C1 个 D4 个 10如图，已知 BQ 是ABC 的内角平分线，CQ 是ACB 的外角平分线，由 Q 出发，作 点 Q 到 BC、AC 和 AB 的垂线 QM、QN 和 QK，垂足分别为 M、N、K，则 QM、QN、QK 的关系是_ 11如图，AD 是BAC 的平分线，DEAB 于 E，DFAC 于 F，且 DBDC.求证： OFE D A B C l 1l2l 3图1图 图3图 DC A BP 图4图 F GEPA BCD 图5图 EO DBAC GPFEDCB A BECF 12如图，在ABC 中，AD 是BAC 的平分线，DE AB 于点 E，
34、DF AC 于点 F.求证： ADEF. 培优升级奥赛检测 01如图，直线 l1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三 条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ） A一处 B二处 C三处 D四处 02已知 RtABC 中，C 90，AD 平分BAC 交 BC 于 D，若 BC32，且 BD:CD9:7，则 D 到 AB 边的距离为（ ） A18 B16 C14 D12 03如图，ABC 中，C90，AD 是ABC 的平分线，有一个动点 P 从 A 向 B 运动. 已知：DC3cm ，DB 4cm ，AD8cm .DP 的长为 x(cm)，那么 x 的范围是 _
35、04如图，已知 ABCD，PEAB，PF BD ，PGCD，垂足分别为 E、F、G，且 PFPG PE，则BPD_ 05如图，已知 ABCD，O 为CAB 、ACD 的平分线的交点，OEAC，且 OE2， 则两平行线 AB、CD 间的距离等于_ 06如图，AD 平分BAC，EFAD，垂足为 P，EF 的延长线于 BC 的延长线相交于点 G.求 证：G (ACBB )12 P DAB C QPCBA 07如图,在ABC 中,AB AC ,AD 是BAC 的平分线,P 为 AC 上任意一点.求证: ABACDB DC 08如图，在ABC 中，BAC60，ACB40， P、Q 分别在 BC、AC 上
36、，并且 AP、BQ 分别为BAC、ABC 的角平分线上.求证：BQAQ ABBP 第 3 讲 轴对称及轴对称变换 考点方法破译 1轴对称及其性质 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图 形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴. 轴对称的两个图形有如下性质：关于某直线对称的两个图形是全等形；对称轴是 任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应 线段或延长线相交，那么交点在对称轴上. 2线段垂直平分线 线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：位置关系垂直； 数量关系平分. 性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线
37、段两个端点的距离相等. 判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 3当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线） 、或求几条折线段的最 小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件. 经典考题赏析 【例】 （兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打 3 个洞，则纸 片展开后是（ ） 【解法指导】对折问题即是轴对称问题，折痕就是对称轴.故选 D. 【变式题组】 01将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（ ） 02 （荆州）如图，将矩形纸片 ABCD 沿虚线 EF 折叠，使点 A 落在点 G 上，点 D 落在
38、点 H 上；然后再沿虚线 GH 折叠，使 B 落在点 E 上，点 C 落在点 F 上，叠完后，剪一个 直径在 BC 上的半圆，再展开，则展开后的图形为（ ） 【例 2】 （襄樊）如图，在边长为 1 的正方形网格中，将ABC 向右平移两个单位长度 得到A BC，则与点 B关于 x 轴对称的点的坐标是（ ） A （0，1） B （1，1） C （2， 1） D （1，1） 【解法指导】在ABC 中，点 B 的坐标为（1，1） ，将 ABC 向右平移两个单位长度得到 ABC ，由点的坐标平移规律 可得 B（12，1） ，即 B（1，1）.由关于 x 轴对称的点的坐 标的规律可得点 B关于 x 轴对称
39、的点的坐标是（ 1，1） ，故应 选 D. 【变式题组】 01若点 P（2，3）与点 Q（a，b）关于 x 轴对称，则 a、b 的值分别是（ ） A2，3 B2，3 C 2，3 D2，3 02在直角坐标系中，已知点 P（3，2） ，点 Q 是点 P 关于 x 轴的对称点，将点 Q 向右 平移 4 个单位得到点 R，则点 R 的坐标是_. 03 （荆州）已知点 P（a1，2a1）关于 x 轴的对称点在第一象 限，则 a 的取值范围为_. 【例 3】如图，将一个直角三角形纸片 ABC（ACB 90） ， 沿线段 CD 折叠，使点 B 落在 B1处，若ACB 170，则 ACD（ ） A30 B20
40、 C 15 D10 【解法指导】由折叠知BCDB 1CD.设ACDx，则 BCDB 1CDACB 1 ACD70x.又ACDBCDACB，即 x（70 x）90，故 x10.故选 D. 【变式题组】 01 （东营）如图，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D、C 分别落在点 D、C的位置.若 EFB 65，则AED等于（ ） A70 B65 C 50 D25 02如图，ABC 中，A30，以 BE 为边，将此三角形对折，其次，又以 BA 为边， 再一次对折，C 点落在 BE 上，此时CDB82，则原三角形中B_. 03 （江苏）观察与发现：小明将三角形纸片 ABC（ABAC）沿过点 A 的直
41、线折叠，使 得 AC 落在 AB 边上，折痕为 AD，展平纸片（如图） ；再次折叠该三角形纸片，使 点 A 和点 D 重合，折痕为 EF，展平纸片后得到AEF （如图 ）.小明认为AEF 是 等腰三角形，你同意吗？请说明理由. 实践与运用： 将矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，折痕为 BE（如图 ） ；再沿过点 E 的直线折叠，使点 D 落在 BE 上的点 D处，折痕为 EG（如图 ） ；再展平纸片（如图）.求图中 的大小 . 【例 4】如图，在ABC 中，AD 为BAC 的平分线，EF 是 AD 的垂直平分线，E 为 垂足，EF 交 BC 的
42、延长线于点 F，求证： B CAF 【解法指导】EF 是 AD 的中垂线，则可得 AEF DEF，EAFEDF 从而利用角平分线 的定义与三角形的外角转化即可 证明：EF 是 AD 的中垂线， AE DE ， AEFDEF ，EFEF，AEF DEF，2 43，3B1，2 4B 1，12，B4 【变式题组】 01如图，点 D 在ABC 的 BC 边上，且 BCBDAD ，则点 D 在_的垂直平 分线上 02如图，ABC 中，ABC90，C 15，DE AC 于 E，且 AEEC，若 AB3cm，则 DC_cm 03如图，ABC 中，BAC126，DE、FG 分别为 AB、AC 的垂直平分线，则
43、 EAG_ 04.ABC 中，AB AC，AB 边的垂直平分线交 AC 于 F，若 AB12cm，BCF 的周长为 20cm，则ABC 的周长是_cm 【例 5】 （眉山）如图，在 33 的正方形格点图中，有格点ABC 和DEF，且 ABC 和DEF 关于某直线成轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的DEF 【解法指导】在正方形格点图中，如果已知条件中没有给对称轴，在找对称轴时，通 常找图案居中的水平直线、居中的竖直直线或者斜线作为对称轴若以图案居中的水平直 线为对称轴，所作的DEF 如图所示；若以图案居中的竖直直线为对称轴，所作的 DEF 如图 所示；若以图案居中的斜线为对称轴，所作的DEF 如图所示 【变式题组】 01 （泰州）如图，在 22 的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的ABC，请你 找出格点图中所有与ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 _个 02 （绍兴）如图甲，正方形被划分成 16 个 全等
