1、 中小学课外辅导专家海伊教育学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：九年级 课时数：学员姓名：张鸿敬 辅导科目：数学 学科教师：高老师课 题平面向量的线性运算授课时间： 2013 年10月18日备课时间： 2013 年10月16日教学目标1.通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。 2.在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义。掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等。3.通过本节内容的学习，认识事物之间的相互转化，培养数学
2、应用意识，体会数学在生活中的作用。培养类比、迁移、分类、归纳等能力。4.通过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量。5.学会分析问题和创造地解决问题。能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量。6.通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律。重点、难点1.向量加法的运算及其几何意义。2.对向量加法法则定义的理解。3.向量的减法运算及其几何意义。4.对向量减法定义的理解。5.实数与向量积的意义。6.实数与向量积的运算律。7.两个向量共线的等价条件及其运用。8.对
3、向量共线的等价条件的理解运用。授课方法联想质疑交流研讨归纳总结实践提高教学过程一、 情景设置（知识导入）二、 探索研究 【知识点总结与归纳】一、求若干个向量的和的模(或最值)的问题通常按下列步骤进行：(1)寻找或构造平行四边形，找出所求向量的关系式；(2)用已知长度的向量表示待求向量的模，有时还要利用模的重要性质。二、1. 向量的加法定义向量加法的定义：如图3，已知非零向量A.b，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=+=。求两个向量和的运算，叫做向量的加法。2. 向量加法的法则：（1）向量加法的三角形法则在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角
4、形法则。运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。0位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。（2）平行四边形法则向量加法的平行四边形法则如图4，以同一点O为起点的两个已知向量A.b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。3. 向量a，b的加法也满足交换律和结合律：对于零向量与任一向量，我们规定a+0=0+a=a。两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一
5、条有向线段。当a，b不共线时，|a+b|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边)；当a，b共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b|；当a，b共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|)。其中当向量a的长度大于向量b的长度时，|a+b|=|a|-|b|；当向量a的长度小于向量b的长度时，|a+b|=|b|-|a|。一般地，我们有|a+b|a|+|b|。如图5，作=a，=b，以AB.AD为邻边作ABCD，则=b，=a。因为=+=a+b，=+=b+a，所以a+b=b+a。如图6，因为=+=(+)+=(a+b)+c，=+=+(+)=a+(b+c)，所以(a+b)+c=a+(b
6、+c)。综上所述，向量的加法满足交换律和结合律。 特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法。三、用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，最后回扣物理问题，解决问题。四、向量也有减法运算。由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a和-a互为相反向量。于是-(-a)=a。我们规定，零向量的相反向量仍是零向量.任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=0。所以，如果A.b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0。1. 平行四边形法则图1如图1，设向量=b，=a，则=-b，由向量减法的定义，知=a
7、+(-b)=a-b。又b+=a，所以=a-b。由此，我们得到a-b的作图方法。图22. 三角形法则如图2，已知A.b，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a-b，即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义。（1）定义向量减法运算之前，应先引进相反向量。与数x的相反数是-x类似，我们规定，与a长度相等，方向相反的量，叫做a的相反向量，记作-a。（2）向量减法的定义。我们定义a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。规定：零向量的相反向量是零向量。(3)向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思
8、想的重要体现。五、我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：(1)|a|=|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同;当0时，a的方向与a的方向相反。由(1)可知，=0时，a=0。根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律。实数与向量的积的运算律设、为实数，那么(1)(a)=()a;(2)(+)a=a+a;(3)(a+b)=a+b.特别地，我们有(-)a=-(a)=(-a)，(a-b)=a-b。向量共线的等价条件是：如果a(a0)与b共线，那么有且只有一个实数，使b=a。共线向量可能有以下几种情况：(1)有一个为零向量；(2)两个都为
9、零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等。数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|a|确定。它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小。向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意向量A.b，以及任意实数、1、2，恒有(1a2b)=1a2b三、 课堂练习例1 化简：(1)+(2)+(3)+解：(1)+=+=(2)+=+=(+)+=+=0(3)+FA
10、=+=+=+=+=0解析：要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量。例2 若=a+b，=a-b当A.b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？当A.b满足什么条件时，|a+b|=|a-b|？当A.b满足什么条件时，a+b平分a与b所夹的角 ？a+b与a-b可能是相等向量吗？解析：如图6，用向量构建平行四边形，其中向量、恰为平行四边形的对角线。由平行四边形法则，得=a+b，=-=a-b。由此问题就可转换为：当边AB.AD满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|=|b|)当边AB.AD满足什么条件时，对角线相等？(A.b互相垂直)当边AB.AD满足什么条件时，对角线平分内角？(A.b相等)a+
11、b与a-b可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同)解析：灵活的构想，独特巧妙，数形结合思想得到充分体现。由此我们可以想到在解决向量问题时，可以利用向量的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问题。四、 课后作业1.已知正方形ABCD的边长为1，=a，=c，=b，则|a+b+c|为( )。A.0B.3C.D.22.设a=(+)+(+)，b是任一非零向量，则下列结论中正确的为( )。ab；a+b=a；a+b=b；|a+b|a|+|b|；|a+b|=|a|+|b|。A.B.C.D.3.下列等式中，正确的个数是( )。a+b=b+a a-b=b 0-a=-a -(-a)=a a+(-a)=0A.
12、5B.4C.3D.24.如图7，D.E、F分别是ABC的边、的中点，则-等于( )。A.B.C.D.5.下列式子中不能化简为的是( )。A.(+)+B.(+)+(+)C.D.-+6.已知A.B.C三点不共线，O是ABC内一点，若+=0，则O是ABC的( )。A.重心B.垂心C.内心D.外心7.(2a+8b)-(4a-2b)等于( )。A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b8.设两非零向量e1、e2不共线，且ke1+e2与e1+ke2共线，则k的值为( )。A.1B.-1C.1D.09.若向量方2x-3(x-2a)=0，则向量x等于( )。A.aB.-6aC.6aD.a10.设向量a，b都
13、不是零向量：(1)若向量a与b同向，则a+b与a的方向_，且|a+b|_|a|+|b|；(2)若向量a与b反向，且|a|b|，则a+b与a的方向_，且|a+b|_|a|-|b|。11.如图17所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1，设=a，=b，=c，则=_。(用A.B.c表示)12.在ABC=，EFBC，EF交AC于F，设=a，=b，则用A.b表示的形式是=_。13.在ABC，M、N、P分别是AB.BC.CA边上的靠近A.B.C的三等分点，O是ABC平面上的任意一点，若+=e1-e2，则=_。14.某人在静水中游泳，速度为4 km/h，如果他径直游向对岸，水流速度为4 km/h，则他实际以
14、多大的速度沿何方向游?15.在中心为O的正八边形A1A2A8中，a0=，ai=(i=1，2，7)，bj=j(j=1，2，8)，试化简a2+a5+b2+b5+b716.已知ABC为直角三角形，A=90，ADBC于D，求证：|2=|+|2+|+|217.已知两向量a和b，求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是a的方向与b的方向垂直。18.已知ABC的重心为G，O为坐标原点，=a，=b，=c，求证：=(a+b+c)19.对判断向量a=-2e与b=2e是否共线?有如下解法：解：a=-2e，b=-2e，b=-a。a与b共线。请根据本节所学的共线知识给以评析 如果解法有误，请给出正确解法。答案：1.D
15、2.C 3.C 4.D 5.C6.A 7.B 8.C 9.C10.(1)相同 = (2)相同 = 11.a+b+c12.-a+b13. e1-e214.如图18所示，设此人在静水中的游泳速度为，水流速度为，则=+为此人的实际速度，易求得|=8 km/h，COA=60。答：此人沿与河岸的夹角为60顺着水流的方向前进，速度大小为8 km/h。15.如图19所示，+=0，a2+a5+b2+b5+b7=+2+5+7=(2+)+(5+)+7=6=b6。 16.如图20所示，以DB.DA为邻边作ADBE，于是+=。|=|，|+|=|。同理可得|+|=|。在RtABC中，由勾股定理，得|2=|+|2+|+|
16、2。17.证明：(1)充分性：设=a，=b，使，以OA.OB为邻边作矩形OBCA，则|a+b|=|，|a-b|=|。四边形OBCA为矩形，|=|，故|a+b|=|a-b|。(2)必要性：设=a，=b，以OA.OB为邻边作平行四边形，则|a+b|=|，|a-b|=|。|a+b|=|a-b|，|=|。OBCA为矩形。a的方向与b的方向垂直。18.连接AG并延长，设AG交于M。=b-a，=c-a，=c-b=+=(b-a)+(c-b)=(c+b-2a)=(c+b-2a)=+=a+(c+b-2a)=(a+b+c)19.评析：乍看上述解答，真是简单明快。然而，仔细研究题目已知，却发现其解答存在问题，这是因为，原题已知中，对向量e并无任何限制，那么就应允许e=0，而当e=0时，显然，a=0，b=0，此时，a不符合定理中的条件，且使b=a成立的值也不唯一(如=-1，=1，=2等均可使b=a成立)，故不能应用定理来判断它们是否共线。可见，对e=0的情况应另法判断才妥。综上分析，此题应解答如下：解：(1)当e=0时，则a=-2e=0。由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”，所以此时a与b共线。(2)当e0时，则a=-2e0，b=2e0，b=-a这时满足定理中的a0，及有且只有一个实数(=-1)，使得b=a成立。a与b共线。综合(1)(2)，可知a与b共线。
