1、第一章 解三角形刷速度一 选择题1. 在中，若，则是（ ）。A: 等腰三角形B: 直角三角形C: 等腰或直角三角形D: 钝角三角形答案B解析本题主要考查正弦定理与两角和与差的三角函数。由正弦定理得，又，即，由此可得即或即。又因为，即，故。所以，即，所以为直角三角形。2. 在中,已知则的面积为_.A. B 16 C 或16 D 或答案D解析在中,已知由余弦定理得：解得：c=16或c=8.又或故选D.3. 若的内角满足，则（ ）。A:B:C:D:答案D0解析本题主要考查解三角形中正弦定理和余弦定理的应用。结合题意，由正弦定理得，设，则有；由余弦定理得。4. 若钝角三角形的三边长和面积都是整数,则称
2、这样的三角形为“钝角整数三角形”,下列选项中能构成一个“钝角整数三角形”三边长的是()A. 2,3,4B. 2,4,5C. 5,5,6D. 4,13,15答案D解:设三角形的最大角为,则:对于A,不能;对于B,不能;对于C,故三角形为锐角三角形,不符合条件;对于D,符合条件;所以D选项是正确的.5. 如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的南偏西方向的处,此时两船相距20海里,当甲船航行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的南偏西方向的处,此时两船相距海里,则乙船每小时航行海里.答案解:在中,在中,则由余弦定理得:,.乙船每小时航行海里
3、.6. 已知圆的半径为4,a、b、c为该圆的内接三角形的三边,若,则三角形的面积为()A.B.C.D.答案C解:,.7. 如图，在中，是边上的点，且，则的值为（ ）。A:B:C:D:答案D解析本题主要考查正弦定理与余弦定理的计算。由题得，设，则，。在中，由余弦定理得，则。在中由正弦定理有，得。8. 在中,内角ABC所对的边依次为a,b,c,若,则此三角形是?A. 等腰三角形 B 等腰三角形或直角三角形C 等腰直角三角形 D既不是等腰三角形,也不是直角三角形答案还是正弦定理,上面的等式与这个相乘可得：化简,再除以上面的正弦定理可得,或者可得选B9. )在中，角的对边分别为.，则_.答案20【答案
4、】10. 在中,所对的三边长分别为a.b.c,若,求的面积答案所以根据余弦定理得到易知,11. 已知中,则答案解:,由正弦定理可得:,化为,由余弦定理可得:,计算得出.12. 在中,D为BC上一点,则k=?谢了答案过A作交BC于E。、，。、，。，又，D、E重合，。，。由，。二、填空题13. 下载安装中,，,则该三角形的面积为设,;根据余弦定理,解得,该三角形的面积为14. 若的三条边a,b,c满足等式,则B=答案解:根据题意得,两边同时乘以得,移项因式分计算得出,所以,即,由余弦定理得,因为,所以,因此，本题正确答案是:.15. 甲船在岛B的正南A处,AB=10nmile,甲船自A处以4nmi
5、le/h的速度向正北航行,同时乙船以6nmile/h的速度自岛B出发,向北偏东60方向驶去，则两船相距最近时经过了_min.答案两船轨迹及距离最近时两船连线构成一个以A岛为顶点，角度是120度的三角形，设距离最近时航行时间为t(h),此时距离s(nmile),此时甲船到B岛距离为(104t)nmile,乙船距离B岛6t(nmile).由余弦定理可得cos120=(6t)2+(104t)2s226t(104t)=0.5,化简得：s2=28t220t+100.此函数的图象是抛物线,开口朝上,故在对称轴处s2有最小值，故s2取最小值时,t=20228=514h=1507min.故答案为：1507.1
6、6. 已知三角形两边长分别为2和,第三边上的中线长为2,则三角形的外接圆半径为答案2解:设,D为BC边的中点,则中,由余弦定理可得,中,由余弦定理可得,即外接圆的直径,从而可得因此，本题正确答案是:2三、解答题17. 在中，内角的对边分别为，且。（1）求角的大小；（2）若，求的值。答案（1）由及正弦定理，得，所以，所以。（2）由及，得，由及余弦定理，得，所以，。18. 在中，角、所对的边分别为、，且，；（1）求的值；（2）若，求的面积。答案（1）由正弦定理可得，；（2）由余弦定理有，又，所以，所以，所以。19. 在ABC中，求证a2sin2B+b2sin2A=2abinC.证明：ABC中，as
7、inA=bsinB=csinC=2R(R为外接圆的半径)，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，a2sin2B+b2sin2A=2a2sinBcosB+2b2sinAcosA=8R2sinAsinB(sinAcosB+sinBcosA)=8R2sinAsinBsin(A+B)=8R2sinAsinBsin(-C)=8R2sinAsinBsinC，又2absinC=22RsinA2RsinBsinC=8R2sinAsinBsinC，a2sin2B+b2sin2A=2absinC.20. 工程队在南海海域进行填海造地工程，欲在边长为1千米的正三角形岛礁ABC的外围选择一点D（D在平
8、面ABC内），建设一条军用飞机跑道AD，在点D测得B、C两点的视角=60，如图所示，记=，如何设计，使得飞机跑道AD最长？答案在中，BC=1,=60,=，由正弦定理知=，所以BD=+在中，AB=1,=60+，由余弦定理知=+-2ABBD =1+(+)(+)-21(+)(-)=+当2-30=90，=60时，跑道AD最长21. 如图,在四边形ABCD中,.(1)求BC的长;(2)求四边形ABCD的面积;3)求sinD的值.解:(1)由条件,得,.,.则.,.(2)由(1)得.,.(3)在中,.,.22. 在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知()求的值;()若,求的面积S.解:(),变形
9、得:,即,利用正弦定理得:,即;(),由余弦定理及得:,即,又,则的面积.刷真题考点1 利用正弦定理、余弦定理求解三角形1. 在中,若,则()A. 1 B 2 C 3 D 4答案A解:在中,若,可得:,计算得出或(舍去).所以A选项是正确的.2. 在中，边上的高等于，则（）。A: B: C: D:答案C解析本题主要考查正余弦定理的应用。在中，解得，根据余弦定理，即，。3. 已知的三边长分别为，则该三角形的外接圆半径等于 。答案02:07解析本题主要考查正弦定理与余弦定理。设，则由余弦定理可得，则，因为，其中为外接圆的半径，则。故本题正确答案为4. 的内角，的对边分别为，若，则。答案解析本题主要
10、考查正弦定理。由题意知，由正弦定理得，且，解得，所以。故本题正确答案为。5. 的内角，的对边分别为，已知。（1）求；（2）若，的面积为，求的周长。答案（1）已知，由正弦定理得：，即，解得，又因为，所以； .6分（2）已知三角形的面积，所以有，解得，由余弦定理得：，化简得：，联立得：，所以三角形的周长为。 .12分考点2 正弦定理、余弦定理的实际应用6. 如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角,C点的仰角以及;从C点测得.已知山高,则山高答案解:在中,所以.在中,从而,由正弦定理得,因此.在中,得;因此，本题正确答案是:.7. 如图，从气球A上测得正前方
11、的河流的两岸B，C的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m（用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin670.92，cos670.39，sin370.60，cos370.80，1.73）答案解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则RtACD中，C=30，AD=46mCD=4679.58m又RtABD中，ABD=67，可得BD=19.5mBC=CD-BD=79.58-19.5=60.0860m故答案为：60m.8. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山
12、的高度。答案解析本题主要考查正弦定理的应用。由题意可知，在中，所以，由正弦定理可得，即有，解得。又由题意可知，在中，所以由可得，解得。故本题正确答案为。考点3 正弦定理、余弦定理与三角变换的综合应用9. 在中，。（1）求的大小；（2）求的最大值。答案（1）根据余弦定理，有，已知，所以，因为，所以。.5分（2）由（1）知，所以，所以当且仅当时，原式取得最大值。.13分10. 在中，内角、所对的边分别为、，已知。（1）证明：；（2）若的面积，求角的大小。答案（1）在中，内角、所对的边分别为、，根据正弦定理可得：，又，上式化简后得，式子展开整理得，则，即或，即（不符合题意，舍去）。故得证。（2）的面
13、积，利用正弦定理将上式变形得到：，即，所以或，即或。刷好题1. 已知钝角三角形的三边长分别为2,3,x,则x的取值范围是()A.B.C.或D.答案C解:当x为最大边时,;当3为最大边时,.的取值范围是:或.2. 下中，为上一点，且，则的长为（）。A:B:C:D:答案C解析本题主要考查正弦定理和余弦定理。由已知得，由得，由已知得，在中根据余弦定理，求得。故本题正确答案为C。3. 若锐角的三边a,b,c满足,则的图像( )A.与X轴相切 B.在X轴上方 C.在X轴下方 D.与X轴交与两点答案因为是锐角,设为等边,即,则即该图形与相切,且开口向上,所以在x轴之上综上,选B当时有最小值0,可A 在之间
14、,故,因此所以函式图像为开口向上的抛物线,且在直线之上即高于横轴,选B4. 知的三边长分别为、，且满足，则的取值范围为（ ）。A:B:C:D:答案B解析本题主要考查三角形的基本性质。由，可得，即，所以。由，得，即。所以的取值范围为。故本题正确答案为B。5，如图,已知圆内接四边形ABCD的边长为,则四边形ABCD面积为()A.,B.8C.D.答案D解:连结BD,可得四边形ABCD的面积为四边形ABCD内接于圆,可得.在中,由余弦定理可得,同理可得:在中,结合,得,计算得出,代入式,可得四边形ABCD面积所以D选项是正确的6. 在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,则A=答案解:在中,角A
15、,B,C的对边分别是a,b,c,即,.因此，本题正确答案是:.7. 在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,的面积为,则外接圆的半径为（ ）答案解:由,设,的面积为,即,即,计算得出:,或(舍去),由余弦定理得:,计算得出:,由正弦定理得:,即,则外接圆半径.因此，本题正确答案是:8. 在中,且与的夹角是.(1)求角C;(2)已知,三角形的面积,求.解:(1),.,同理可得.与的夹角是,.(2)三角形的面积,化为.由余弦定理可得:,计算得出.9. 如图，在中，点在边上，且，。（1）求；（2）求，的长。解：（1）在中，因为，所以，所以。（2）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以。10. 在四边形ABCD中,A、B为定点,C、D为动点,若与的面积分别为S和T.(1)求的最大值;2)当取最大值时,求的值.答案解法一:(1)设,则,而,在中,在中,当时,有最大值.(2)由(1)知,有最大值时,即,解法二:令,则,过C作交BD于E,当时,有最大值.(2)在中,.
