1、江苏省盐城中学高三年级20112012学年度上学期期中考试数学试题（第卷）（2011.11）一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分）1已知全集，集合，则_2已知曲线在点处的切线平行于直线，则_.3已知直线经过点，且与直线垂直，则的方程是_.4在等比数列中，若，则=_.5若变量满足条件，则的最大值为_6当时，函数的值域为_.7已知满足，且则 . 8数列满足，是的前项和，则 _ 9已知函数的图像过点，则此函数的最小值是 _ 10当钝角的三边是三个连续整数时，则外接圆的半径为_ 11关于的方程在上有且仅有一个实数解，则的取值范围为_ 12如图，在和中，是的中点，若，则与的夹角的余弦值等于
2、 _13已知，且， 则 14已知数列的各项均为正整数，对于，有若存在，当且为奇数时，恒为常数，则的值为_.二、解答题（本大题共6小题，计90分.）15（本题满分14分）已知函数（，）的图像如图所示，直线，是其两条对称轴（1）求函数的解析式；（2）若，且，求的值16（本题满分14分）设函数 (kN*，aR)(1) 若，求函数的最小值； (2) 若是偶数，求函数的单调区间17（本题满分15分）中，、所对的边为、已知，（1）若，求的面积的大小；（2）求的值18（本题满分15分）某厂家拟在2011年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（为常数），如果不搞
3、促销活动，则该产品的年销售量是1万件. 已知2011年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）（1）将2011年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；（2）该厂家2011年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？19（本题满分16分）已知函数，其中，且函数在上是减函数，函数在上是增函数（1）求函数，的表达式；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围 （3）求函数的最小值，并证明当，时20（本题满分16分）设数列、满足， （1）证明：，（）；（2）
4、设，求数列的通项公式；（3）设数列的前项和为，数列的前项和为，数列的前项和为，求证：江苏省盐城中学高三年级20112012学年度上学期期中考试数学附加题（第卷）（2011.11）一、选做题21.在A、B、c、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答题纸指定区域内 作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲如图，AB是O的直径，点P在AB的延长线上，PC与O相切于点C，PCAC1.求O的半径B选修42：矩阵与变换已知二阶矩阵A，矩阵A属于特征值11的一个特征向量为1，属于特征值24的一个特征向量为2.求矩阵A.C选修4-4：坐标系与参数方程已知O1和O2的极
5、坐标方程分别是和(a是非零常数)(1) 将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 若两圆的圆心距为，求a的值D选修45：不等式选讲设对于任意实数，不等式m恒成立(1)求m的取值范围；(2)当m取最大值时，解关于的不等式：二、必答题：本大题共2小题。每小题10分，共20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算过程22. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，AA1，M是棱CC1的中点(1) 求证：A1BAM；(2) 求直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值23. 一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分(1) 设抛掷5次的得分为，
6、求的分布列和数学期望E；(2) 求恰好得到n(nN*)分的概率准考证号 班级 姓名 密封线盐城中学高三年级20112012学年度上学期期中考试数学试题（第卷）答题纸一、填空题1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、二、解答题15、16、17、 18、19、20、准考证号 班级 姓名 密封线 B附加题部分 数学答题纸（理）选第 题选第 题22、 23、江苏省盐城中学高三年级2011/2012学年度上学期期中考试数学试题（第卷）（2011.11）一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分）1已知全集，集合，则_2已知曲线在点处的切线平行于直线，则_.3已知直线经过
7、点，且与直线垂直，则的方程是_.4在等比数列中，若，则=_.5若变量满足条件，则的最大值为_6当时，函数的值域为_.7已知满足，且则 . 8数列满足，是的前项和，则 _ 9已知函数的图像过点，则此函数的最小值是 _ 10当钝角的三边是三个连续整数时，则外接圆的半径为_ 11关于的方程在上有且仅有一个实数解，则的取值范围为_ 12如图，在和中，是的中点，若，则与的夹角的余弦值等于 _13已知，且， 则 14已知数列的各项均为正整数，对于，有若存在，当且为奇数时，恒为常数，则的值为_.二、解答题（本大题共6小题，计90分.）15（本题满分14分）已知函数（，）的图像如图所示，直线，是其两条对称轴（
8、1）求函数的解析式；（2）若，且，求的值解：(1) 由题意， T.又0，故2， f(x)2sin(2x)(2分)由f()2sin()2，解得2k(kZ)又， ， f(x)2sin(2x)(5分)由2k2x2k(kZ)，知kxk(kZ)， 函数f(x)的单调增区间为k，k(kZ)(7分)(2) 解法1：依题意得2sin(2)，即sin(2)，(8分) ， 02. cos(2)，(10分)f()2sin(2) sin(2)sin(2)coscos(2)sin()， f().(14分)解法2：依题意得sin(2)，得sin2cos2，(9分) ， 02， cos()，(11分)由cos(2)得sin
9、2cos2.得2sin2， f().(14分)解法3：由sin(2)得sin2cos2，(9分)两边平方得1sin4，sin4， ， 4， cos4，(11分) sin22.又2， sin2， f().(14分)16（本题满分14分）设函数 (kN*，aR)(1) 若，求函数的最小值； (2) 若是偶数，求函数的单调区间解：（1）因为，所以，（），由得，且当时，在上是增函数；当时，在上是减函数故（5分）（2）当是偶数时， 所以当时，在上是增函数；（9分）当时，由得，且当时，当时，所以在上是减函数，在上是增函数（13分）综上可得当时，的增区间为；当时，的减区间为，增区间为（14分）17（本题满分
10、15分）中，、所对的边为、已知，（1）若，求的面积的大小；（2）求的值（1）由可知，（4分）因为，所以,所以，即（6分）由正弦定理可知：，所以，因为所以，所以（8分）所以（10分）（2）原式=（14分）18（本题满分15分）某厂家拟在2011年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件. 已知2011年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）（1）将2011
11、年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；（2）该厂家2011年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：（1）由题意可知，当时，即，每件产品的销售价格为元.2009年的利润 （8分）（2）时，.，当且仅当，即时，.（15分）答：该厂家2011年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元.（16分）19（本题满分16分）已知函数，其中，且函数在上是减函数，函数在上是增函数（1）求函数，的表达式；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围 （3）求函数的最小值，并证明当，时解：（1）对任意的恒成立，所以，所以；同理可得；（4分）（2），且函数在上是减函数，函数在上是增函数所以时
12、， （6分）有条件得，；（8分）（3），当时，当时，当时，在递减，在递增（12分）当时，；，所以，时成立；（16分）20（本题满分16分）设数列、满足， （1）证明：，（）；（2）设，求数列的通项公式；（3）设数列的前项和为，数列的前项和为，数列的前项和为，求证：（1），两式相乘得，为常数列，；（2分）；（若，则，从而可得为常数列与矛盾）；（4分）（2），又因为，为等比数列， （8分）（3）由可以知道，令，数列的前项和为，很显然只要证明，因为，所以所以（14分）又，故，所以（16分）江苏省盐城中学高三年级2011/2012学年度上学期期中考试数学附加题（第卷）（2011.11）一、选做题21.
13、B选修42：矩阵与变换已知二阶矩阵A，矩阵A属于特征值11的一个特征向量为1，属于特征值24的一个特征向量为2.求矩阵A.解：由特征值、特征向量定义可知，A111，即1，得(5分)同理可得解得a2，b3，c2，d1.因此矩阵A.(10分)C选修4-4：坐标系与参数方程已知O1和O2的极坐标方程分别是和(a是非零常数)(1) 将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 若两圆的圆心距为，求a的值解：(1)由2cos，得22cos.所以O1的直角坐标方程为x2y22x.即(x1)2y21.(3分)由2asin，得22asin.所以O2的直角坐标方程为x2y22ay，即x2(ya)2a2.(6分)(
14、2)O1与O2的圆心之间的距离为，解得a2.(10分)二、必答题：本大题共2小题。每小题10分，共20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算过程22. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，AA1，M是棱CC1的中点(1) 求证：A1BAM；(2) 求直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值解：(1)因为C1C平面ABC，BCAC，所以分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则B(0,1,0)，A1(，0，)，A(，0,0)，M.所以(，1，)，所以3030.所以.所以A1BAM.(5分)(2)由(1)知(，1,0)，(0,
15、0，)，设面AA1B1B的法向量为n(x，y，z)，则不妨取n(，3,0)设直线AM与平面AA1B1B所成角为.所以sin|cos，n|.所以直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值为.(10分)23. 一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分(1) 设抛掷5次的得分为，求的分布列和数学期望E；(2) 求恰好得到n(nN*)分的概率解：(1) 所抛5次得分的概率为P(i)C5(i5,6,7,8,9,10)，其分布列如下：5678910PEC5(分)(5分)(2) 令pn表示恰好得到n分的概率不出现n分的唯一情况是得到n1分以后再掷出一次反面因为“不出现n分”的概率是1pn，“恰好得到n1分”的概率是pn1，因为“掷一次出现反面”的概率是，所以有1pnpn1，(7分)即pn.于是是以p1为首项，以为公比的等比数列所以pnn1，即pn.答：恰好得到n分的概率是.(10分)
