1、 第 1 页 第 2 页 数学基础知识与典型例题 第 六 章 不等式 不等式知识关系表 不等式的性质 不等式的性质 (对称性或反身性 ) a b b a ; (传递性 ) a b b c a c ， ; (可加性 ) a b a c b c ,此法则又称为移项法则 ; (同向可相加 ) a b c d a c b d ， (可乘性 ) 0a b c ac bc ， ； 0a b c ac bc ， . (正数同向可相乘 ) 00a b c d a c b d ， (乘方法则 ) nna b n N a b （ ） (开方法则 ) 0 , 2 0nna b n N n a b （ ） (倒数法则
2、 ) 110a b a b ab ， 掌握不等式的性质，应注意：条件与结论间的对应关系，是“ ”符号还是“ ”符号；运用不等式性质的关键是不等号方向的把握 ，条件与不等号方向是紧密相连的 。 运用不等式的性质可以对不等式进行各种变形 ,虽然这些变形都很简单 ,但却是我们今后研究和认识不等式的基本手段 . 例 1. “ a+b2c”成立的一个充分条件是（ ） (A)ac 或 bc (B)ac 且 bc 且 bc (D)ac 或 bb,下列式子中 ba 11 ; a3b3; )1lg ()1lg ( 22 ba ; ba 22 , 正确的有 ( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)
3、4 个 例 3. 5768 与 的大小关系为 . 例 4. 设 1n , 且 ,1n 则13n 与 nn2 的大小关系是 . 例 5. 已知 , 满足111 2 3 , 试求 3的取值范围 . 重要不等式 1.定理 1：如果 a,b x|x 是正实数 ， 那么 2ba ab （当且仅当 a=b 时取“ =”号） . 注 :该不等式可推出 :当 a、 b 为正数时 , 22 211a b a b abab （当且仅当 a = b 时取“ =”号） 即 :平方平均数算术平均数几何平均数调和平均数 2.含立方的几个重要不等式（ a、 b、 c 为正数）： 3 3 2 2a b a b ab 由 3
4、3 3 2 2 23 ( ) ( )a b c a b c a b c a b c a b a c b c 可推出 3 3 3 3a b c abc ( 0abc 等 式 即 可 成 立, 0a b c a b c 或 时 取 等); 如果 a,b,c x|x 是正实数 ，那么 33abc abc . （当且仅当 a=b=c 时取“ =”号） 3.绝对值不等式： 1 2 3 1 2 3( 0 )a b a b a b a ba a a a a a 时 , 取 等 号 注：均值不等式可以用来求最值 (积定和小，和定积大 ),但特别要注意条件的满足：一正、二定、三相等 . 例 6.“ a0 且 b
5、0”是“2ab ab ”的 ( ) (A)充分而非必要条件 (B)必要而非充要条件 (C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件 例 7. 若 xxf21log)( , A )2( baf , G )( abf , H )2( baabf ， 其中 ,ab R+， 则 A， G， H 的大小关系是 ( ) （ A） A G H （ B） A H G （ C） H G A （ D） G H A 例 8. 若 ,a b c R , 且1abc ，那么 1 1 1abc 有最小值（ ） (A)6 (B)9 (C)4 (D)3 例 9. 不等式 1(1 3 ) (0 )3y x x x 的最大值是（ ）
6、 (A) 4243(B) 112 (C) 164(D) 172例 10. 若 a +b +c = 3，且 a、 b、c R+ ，则 cba 11 的最小值为 . 第 3 页 第 4 页 不等式解法 解不等式是寻找使不等式成立的 充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。 一元一次不等式和一元二次不等式是最简单的不等式 .其它不等式，如高次不等式、分式不等式、无理不等式、指数和对数不等式、绝对值不等式、含有字母系数的不等式等，一般都转化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来解。 解不等式时，要注意不等式的同解原理和变形过程的等价性的正确运用，对各类不等式要掌握它的特点，变形
7、过程的程序性和特殊性，注意归纳解各类不等式的思路和方法。 （ 1）高次不等式 f x 0 0（或 ）若 f x 可以分解成几个含 x 的一次因式，可用 列表法或数轴标根法 来解。 （ 2）分式不等式 0 0 0 0f x f xg x g x（ 或 ） 或 （ 或 ）要正确运用以下同解原理。 0 0 0 0fx f x g xgx （ 或 ） 与 或 同 解 0000 00f x g x f x g xfxgx g x g x 或 与 不 等 式 组 或 同 解 （ 3）无理不等式 : 将无理不等式变形为与它同解的不等式组。 不等式 f x g x 的同解不等式组是 20 00 0gx gxf
8、x fxf x g x 或 不等式 f x g x 的同解不等式组是 200gxfxf x g x （ 4）指数、对数不等式 指数不等式 a a a af x g x 0 1且的同解不等式： 当 a1 时，为 f x g x ； 当 0 1 a 时，为 f x g x . 例 11.若 关于 x 的不 等式2 20ax bx 的解集是11( , ) ( , )23 , 则 ab 等于 ( ) ( ) 24A ( )24B ( )14C ( ) 14D 例 12.不等式22xx的解集是 ( ) ( )( 2,0)A ( ) 2,0B ()CR ( )( , 2) ( 2, )D 例 13. 不等
9、式 x5 1x的解集是（ ） )(A |x 4 x 1 )(B xx| 1 )(C xx| 1 )(D 1| x x 1 例 14. 不等式 12log 1xx x的解集是 ( ) (A) 21 xx (B) 2 xx 或 1x (C) (D) 10 xx 或 2x 不等式解法 对数不等式 lo g lo ga af x g x a a 0 1且的同解不等式： 当 a1 时，为 f xg xf x g x00 ; 当 0 1 a 时，为 f xg xf x g x00 因此，在解指数、对数不等式时，首先要注意利用对数的性质化为同底不等式 . （ 5）绝对值不等式 解绝对值不等式关键是化为等价的
10、不含绝对值符号的不等式（组），主要方法： 22f x a f x a f x af x a a f x af x g x f x g x 或 ； 对含有几个绝对值符号的不等式， 用分区间的方法化为等价的不含绝对值的不等式组。 注 :绝对值的几何意义 : x 表示数轴上的数 x 对应的点与原点的距离 . xa 表示数轴上的数 x 对应的点与数 a 对应的点的距离 . （ 6）含字母系数的不等式 对上述各类不等式，都可能涉及到不等式中的字母系数， 解不等式时，对字母的取值要进行恰当的分类，分类时要不重、不漏，然后根据分类进行求解。 注 : 解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“
11、等式变形”并列的“不等式的变形”，是研究数学的基本手段之一。 例 15.不等式 2lg( 1) 1x 的解集是 _. 例 16. 解不等式1lg( ) 0.x x 例 17. 解关于 x 的不等式222 ( 1) 3 1.x a xx a x 不等式的不等式 的证明 1.证明不等式的基本依据： （ 1）实数大小的比较原则； （ 2）不等式的性质； （ 3）几个重要不等式，特别是算术 几何平均值不等式 例 18. 已知 x R， 求证： 2 112222 xx xx 0 ab，欲证 ab 只需证 a b0； 作商比较， 要点是：作商 变形 判断。 这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号
12、一定。 当 b0 时， ab ba 1。 比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较（如幂、方根等）。 分析法： 就是不断寻找并简化欲证不等式成立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件为止。 对 于思路不明显，感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径。 这种方法的实质是“充分条件”的化简。 分 析 法 证 明 不 等 式 的 逻 辑 关 系 是 ：12 nB B B B A . 分析法的思维特点是：执果索因 奎屯 新疆王新敞 综合法： 就是 从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形（恒等变形或不等变形）推导出要求证明的不等式。 用综合
13、法证明不等式的关键是适当选择一个已知的不等式，从此出发推出所证结果，怎样选择已知的不等式就适当呢？一般有两条途径。（ 1）从分析法找思路，（ 2）从 “重要不等式 ”，特别是平 均值不等式找思路。 用综合法证明不等式的逻辑关系是：12 nA B B B B . 综合法的思维特点是：由因导果 奎屯 新疆王新敞 例 19. 若 0, 0, 0,abc 求证 : 2 2 2 2 2 2a b b c c a 2( )abc . 例 20. 设 Ryxba , , 且1,1 2222 yxba , 求证 : 1.ax by 例 21. 设 , Rcba 用放缩法证明 : 21 ac ccb bba a
14、 . 放缩法 若证明“ A B”，我们先证明“ A C”，然后再证明“ C B”，则“ A B”。 不等式的证明 用数学归纳法证明不等式 : 有关自然数的命题，（当然这里是不等式）可用数学归纳法证明。 有关自然数的命题成立的条件有二： 一是它必需具备特殊性，二是它必需具备递推性。 数学归纳法就是证明有关自然数的命题具有上述两条性质，从而确定其正确性。 用代数方法证明不等式是考查思维能力的重要内容，但随着对思维能力考查的力度的增加，运用多种方法证明不等式和综合代数、三角等的有关内容而产生的有关不等式证明的综合问题应充分重视。 熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法（比较法、
15、分析法、综合性、反证法、数学归纳法），以及运用放缩、增量、构造（函数或不等式）、判别式 等方法。 例 22. 已知 ABC 的三边长是 a， b， c，且 m 为正数，求证 : a b ca m b m c m . 不等式的应用 不等式的应用 不等式是研究方程、函数的重要工具，在历年高考题中，多次用到不等式解决函数的定义域、值域、最大值或最小值，函数的单调性以及用不等式讨论方程中根与系数的关系，运用不等式去解决有关应用问题。 例 23.建造一个容积为 18m3,深为2m 的长方形无盖水池 ,如果池底和池壁每 m2 的造价分别是 200 元和 150 元 ,那么池的最低造价为_元 . 例 24.
16、 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点 .甲有一半时间以速度 m 行走 ,另一半时间以速度 n 行走 ;乙有一半路程以速度m 行走 ,另一半路程以速度 n 行走 .如果 mn ,甲、乙两人谁先到达指定地点 . 第 7 页 第 8 页 数学基础知识与典型例题 (第 六 章 不等式 )答案 例 1.C 例 2. B 例 3. 5768 例 4. n3+1n2+n 例 5.提示 :把“ ”、“ 2 ”看成一个整体 . 解 : 3 = 2( 2 ) ( ) 又 2 2 ) 6 2( , 1 ( ) 1 1 3 7 , 3 的取值范围是 1,7 例 6. A 例 7.A 例 8.B 例 9. B 例
17、 10.43 例 11.B 例 12.D 例 13. C 例 14.D 例 15. ( 11, 1) (1, 11) 例 16. 解：原不等式等价于221 0,1 1.xxxx 情形 1 当 x0 时，上述不等式组变成 221,1.xxx 解得： 151.2x 情形 2 当 x0 时， | 0x x a x 或 ； 当 a=0 时， 0| xRxx 且 ； 当 a0) = 1 mx + m 在 (0, + )上单调递增， 且在 ABC 中有 a + b c0， f(a + b)f(c)，即 a + ba + b + m cc + m 。 又 a， b R*， aba m b m aa + b
18、+ m + ba + b + m = a + ba + b + m ， a b ca m b m c m . 法二 :分析 法 证明 :要证 a b ca m b m c m ， 只要证 a(b + m)(c + m) + b(a + m)(c + m) c(a + m)(b + m)0， 即 abc + abm + acm + am2 + abc + abm + bcm + bm2 abc acm bcm cm20， 即 abc + 2abm + (a + b c)m20，由于 a,b,c 为 ABC 的边长， m0， 故有 a + b c，即 (a + b c)m20。 第 9 页 第 1
19、0 页 所以 abc + 2abm + (a + b c)m20 是成立的， 因此 a b ca m b m c m . 例 23.5400, 例 24.答案见 2005-7-30 高中数学第二册 (上 )第 13 页例 4 6、当你发现有“非凡天赋” ,就“疯狂地造梦”吧！ Think great thoughts and you will be great! 伟大的理想，会让你变得伟大！ 一个人的梦想有多么伟大，他就有多么伟大！ 伟大的目标，即使吹起牛来都很爽！所以，目标一定要远大！你人生才会过得充实而干劲十足！ 我在这十多年疯狂英语的奋 斗路上，我发现一个真理： “人的潜能无限！相信自己
20、，就能创造奇迹；怀疑自己，人生就会在可怜、悲惨中度过！” 每个人其实都是一座宝藏！“相信自己”是人生最重要的品格，“ I can ”是家庭给孩子最宝贵的财富。 而可悲的是，大多数的父母并没有给自己孩子这把“最重要的钥匙”，因为他们的父母，和他们所处的时代，也没有给他们这把钥匙。 我们太多人，就像是在黑暗中苦苦摸索，当我们发现有这把钥匙的时候，已经年过 30 岁了 其实，成功根本不用等到 30！ 10 岁、 20 岁就可以很成功！而 “相信自己”就是人生最大的成功源头。 在此，我非常急切地想与大家分享一个“ 18 岁就成功的故事”，告诉你如果发现自己有“非凡天赋”时 ,就疯狂地造梦想吧，从此，你
21、就会自发地苦练，并为自己的家庭带来梦中渴求的一切。 在丁俊晖 8 岁时，父亲送给他一件特别的礼物 一支台球杆。他很快发现：儿子在台球桌上有非凡的天赋，两年下来，已经打遍当地无敌手。 有一次，爸爸让小俊晖与台球名将亨得利一起合影照相，没想到他却口吐狂言：“我跟他照什么相，我以后把球打好了，别人找我照相还差不多，总有一天我要战胜他。 ” 看到儿子有如此雄心大志，父亲做出了一个惊人的决定：卖掉家乡的房子，辞去工作，全家搬迁到陌生的广东东莞，让儿子专心学习台球，成为职业台球手。 为了节省开销，他们没有租住球馆宿舍，只是在宿舍走道的尽头蹭了张床，木板隔出一个 6 平方米的空间，全家三口只睡一张单人床。隔
22、板外，是宿舍楼公厕，闷热、蚊虫叮咬、厕所异味竟然令 13 岁的丁俊晖含泪向父母发誓：一定要用球杆，为他们打回一套房子！从此，他把台球当成了自己一辈子奋斗的职业。 丁俊晖练球常常进入到痴迷的状态，整天与台球为伴，很快，父亲送 给他的台球杆被练断了。修理后又接着打，不久又断了反反复复，一支杆要打断 6、 7次，变得不能再打了，才换新球杆。 即使这样，他父亲还时刻提醒、监督他，有时刚吃完饭，丁俊晖在一边坐着休息的时间稍长一点，父亲就过来催促：“你去房间练球吧，空调已帮你开好了。” 他父亲说：“人做事一定要坚定，做一件事就要把它做好，如果连这点精神和承担失败的勇气都没有，做其他事也不可能成功！人活着就
23、要轰轰烈烈，在有生之年做些事，但我不会强加给他没兴趣的东西做。我坚信我儿子是 5000 年才出一个的神童！” 也许 ，是先有了伟大的丁俊晖父亲，才有了 18 岁成为世界级台球冠军的丁俊晖。 现在丁俊晖已经在老家买了新房，他实现了当初许下的用球杆为父母挣回一套房的承诺！用手中的球杆，兑现了夺得世界冠军的诺言！ 所以，伟大的梦想造就伟大的人生！ Great dreams make great men! 目标定得小，成绩就小。 有大志才会有大成就！ Think little goals and expect little achievements. Think big goals and win big success!
