1、 2015 年高考模拟考试 数学 (理科 ) 本试卷分第 I 卷和第卷两部分，共 5 页满分 150 分考试用时 120 分钟考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 注意事项： 1答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上 2第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效 3第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试 卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液
2、、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效 4填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 参考公式： 如果事件 A,B 互 斥 ， 那 么 P A B P A P B ；如果事件 A ， B 独 立 ， 那 么 P A B P A P B. 第 I 卷（共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 2 2 3 0 , ,M x x x N x x a M N 若，则实数 a 的取值范围是 A. ,1 B. ,1 C. 3, D. 3, 2.若 12iz i （ i 为
3、虚数单位），则 z 的共轭复数是 A. 2 i B. 2i C. 2i D. 2 i 3.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行； 垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 垂直于同一个平面的两个平面互相平行； 垂直于同一条直线的两个平面互相平行； A. B. C. D. 4.“ 1cos 2 ”是“ 3 ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为 A.7 B. 9 C.11 D.13 6.某餐厅的原料费支出 x 与销售额 y（单
4、位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出 y 与 x 的线性回归方程为 8.5 7.5yx$ ，则表中的 m 的值为 A.50 B. 55 C.60 D.65 7.已知 12,FF是双曲线 2222 1 0 , 0xy abab 的两个焦点，以 12FF 为直径的圆与双曲线一个交点是 P，且 12FPF 的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是 A. 2 B. 3 C.2 D.5 8.在椭圆 22116 9xy内，通过点 1,1M 且被这点平分的弦所在的直线方程为 A. 9 16 7 0xy B. 16 9 25 0xy C. 9 16 25 0xy D.16 9
5、7 0xy 9.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的 两个端点异色，若只有 4 种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有 A.48 种 B. 72 种 C.96 种 D.108 种 10.若至少存在一个 0xx ，使得关于 x 的不等式 2 42x x m 成立，则实数 m 的取值范围为 A. 4,5 B. 5,5 C. 4,5 D. 5,4 第 II 卷 （共 100 分） 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11.100 名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分 布直方图如图所 示 ， 则测 试成 绩 落在 60,80 中 的 学 生 人数
6、是 _. 12. 函数 211 3 l g 2fx g x x 的定义域是 _. 13.某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯 视图 是中心角为 3 的扇形，则该几何体的体积为 _. 14.设 ,abcrrr 是单位向量，且 0a b a c b c r r r r r r， 则 的最大值为 _. 15.设函数 fx的定义域为 R，若存在常数 0 f x x， 使 对一切实数 x 均成立，则称 fx为“条件约束函数” .现给出下列函数： 4f x x ； 2 2f x x； 2 225xfx xx ； fx是定义在实数集 R 上的奇函数，且对一切 12,xx均有 1 2 1 24f x
7、 f x x x .其中是“条件约束函数”的序号是 _（写出符合 条件的全部序号） . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 . 16.（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，边 a,b,c 的对角分别为 A,B,C；且 4, 3bA，面积 23S . （ I）求 a 的值； （ II）设 2 c o s si n c o s c o sf x C x A x，将 fx图象上所有点的横坐标变为原来的 12 （纵坐标不变）得到 gx的图象，求 gx的单调增区间 . 17. （本小题满分 12 分） 某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛 .经过初赛
8、、复赛，甲、乙两个代表队（每队 3 人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得 10 分，答错得 0分 .假设甲队中每人答对的概率均为 34 ，乙队中 3 人答对的概率分别为 45 ， 34 ， 23 ，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用 表示乙队的总得分 . （ I）求 的分布列和数学期望； （ II）求甲、乙两队总得分之和等于 30 分且甲队获胜的概率 . 18. （本小题满分 12 分） 直三棱柱 1 1 1ABC A BC 中， 1 0 , 8 , 6A B A C B C ， 1 8AA ，点 D在线段 AB 上 . （ I）若 1/AC 平面 1BCD ，确定 D 点
9、的位置并证明； （ II）当 13BDAB 时，求二面角 1B CD B的余弦值 . 19. （本小题满分 12 分） 已知数列 na 满足 1 2 1 11 , 3 , 3 2 , 2n n na a a a a n N n ， （ I）证明：数列 1nnaa 是等比数列，并求出 na 的通项公式； （ II）设数列 nb 满足 242 log 1nnba，证明：对一切正整数2 2 2121 1 1 1, 1 1 1 2nn b b b 有. 2 0. （本小题满分 13 分） 已知抛物 C 的标准方程为 2 20y px p， M 为抛物线 C 上一动点， ,0 0A a a 为其对称轴上
10、一点，直线 MA与抛物线 C的另一个交点为 N.当 A为抛物线 C的焦点且直线 MA与其对称轴垂直时， MON的面积为 92 . （ I）求抛物线 C 的标准方程； （ II）记 11tAM AN，若 t 值与 M 点位置无关，则称此时的点 A 为 “稳定点”，试 求 出所有“稳定点 ”，若没有，请说明理由 . 21. （本小题满分 14 分） 已知关于 x 函数 22 l n ,g x a x a R f x x g xx ， （ I）试求函数 gx的单调区间； （ II）若 fx在区间 0,1 内有极值，试求 a 的取值范围； （ III） 0a 时，若 fx有唯一的零点 0x ，试求 0
11、x . （注： x 为取整函数，表示不超过 x 的最大整数，如 0 .3 0 , 2 .6 2 , 1 .4 2 ；以下数据供参考：l n 2 0 . 6 9 3 1 , l n 3 1 . 0 9 9 , l n 5 1 . 6 0 9 , l n 7 1 . 9 4 6 ） 2015 届 高三教学质量调研考试 理科数学参考答案 一、选择题 ADDBC CDCBA 二、填空题 （ 11） 50 （ 12） 10010| xx （ 13） 2 （ 14） 12（ 15） 三、解答题 （ 16）解： （ ） 在 ABC 中 AbcS sin21 2342132 c 2c 2 分 22 12 c
12、o s 1 6 4 2 4 2 2 3 ,2a b c b c A 4 分 （ ） 2 3 4, , s in 1 ,s in s in s in32ab BA B B 又 0 B 2B 6C 6 分 ( ) 2 c o s s i n c o s c o s ) 2 s i n ( )6f x C x A x x ， 8 分 将 ()fx图象上所有点的横坐标变为原来的 12 ，得到 ( ) 2 sin(2 )6g x x ， 9 分 所以 ()gx的单调增区间为 2 2 2 ,2 6 2k x k 10 分 即 , ( )63k x k k Z 11 分 ()gx的单调区间为 , , ( )
13、63k k k Z 12 分 （ 17）解： （ ） 由题意知 ， 的所有可能取值为 0， 10， 20， 30 1 分 1 1 1 1( = 0 )5 4 3 6 04 1 1 1 3 1 1 1 2 9 3( = 1 0 ) =5 4 3 5 4 3 5 4 3 6 0 2 04 3 1 4 1 2 1 3 2 2 6 1 3( = 2 0 ) =5 4 3 5 4 3 5 4 3 6 0 3 04 3 2 2 4 2( = 3 0 ) = = . 55 4 3 6 0 5PPPP ，分 的分布列为： 0 10 20 30 A A1 B C D B1 C1 x y z P 160 320
14、1330 25 6 分 1 3 1 3 2 1 3 30 1 0 2 0 + 3 0 .6 0 2 0 3 0 5 6E （ ） 7 分 3223.3 1 9= = 94 60 12 803 1 3 81= C = 114 4 20 12 8090 9+ = + = = . 1212 80 12 8PPP P P （ ） 用 A 表 示 “ 甲 得 30 分 乙 得 0 分 ” ， 用 B 表 示 “ 甲 得 20 分 乙 得 10 分 ” ， 且 A,B 互 斥又 A ， 分B ， 分甲 、 乙 两 人 得 分 总 和 为 30 分 且 甲 获 胜 的 概 率 为A B A B 分（ 18）
15、 （ ） 证明：当 D 是 AB 中点时， 1AC 平面 1BCD . 连接 BC1，交 B1C 于 E， 连接 DE 因为 三棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱， 所以侧面 BB1C1C 为矩形， DE 为 ABC1 的中位线， 所以 DE/ AC1 2 分 因为 DE 平面 B1CD， AC1 平面 B1CD， 所以 AC1 平面 B1CD 4 分 （ ） 由 6,8,10 BCACAB ，得 AC BC， 以 C 为原点 建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz 则 B(6, 0, 0)， A (0, 8, 0)， A1(0, 8,8)， B1(6, 0, 8) 设 D(a, b,
16、0)（ 0a ， 0b ）， 5 分 因为 点 D 在线段 AB 上 ， 且 13BDAB ， 即 13BD BA 所以 84, 3ab 7 分 所以 1 ( 6, 0, 8)BC ， 8(4, ,0)3CD 平面 BCD 的法向量为 1 (0,0,1)n 设平面 B1CD 的法向量为 2 ( , ,1)n x y ， 由 120BC n， 2 0CD n， 得 6 8 08403xxy ， 所以 4 ,23xy ，2 4( ,2,1)3n 10 分 设二面 角 1B CD B的大小为 ， 3 6 1c o s61abab 所以二面 角 1B CD B的余弦值为 36161 12 分 （ 19
17、） 解 ： 由 1132n n na a a ， 可得 112 ( ),n n n na a a a 2 分 212,aa 1nnaa 是首项为 2，公比为 2 的等比数列 ， 即 1 =2 .nnnaa 3 分 - 1 - 1 - 2 2 1 112= - + - + -12= 2 2 2 1122 1 , 6n n n n nnnnna a a a a a a a +分 24222 2 21222122 l og ( 2 ) 2 . 71 1 1 1 1 1= . 91 4 1 2 1 2 1 2 2 1 2 11 1 1 1 1 1 1 1 1+ = 11 1 1 2 3 3 5 2 1
18、 2 11 1 11.2 2 1 21 1 1,+11nnnnbnb n n n n nb b b n nnnbb 由 题 意 得 分分对 一 切 正 整 数 有21. 1212nb 分（ 20） (I)由题意 , 2922221|21 2 pppMNOAS M O N3p 抛物线 C 的方程为 xy 62 -3 分 (II) 设 ),(),( 2211 yxNyxM ， ,直线 MN 的方程为 amyx 联立 xy amyx 62得 0662 amyy 02436 2 am myy 621 , ayy 621 ,-6 分 由对称性 ,不妨设 0m , (i) 0a 时 , 0621 ayy
19、, 21 yy， 同号 , 又|1 1|1 1| 1| 1 2212 ymymANAMt )1 11(136361 1)( )(1 1 22222221 22122 maammyy yymt 不论 a 取何值 ,t 均与 m 有关 ,即 0a 时 A 不是 “稳定点” ; -9 分 (ii) 0a 时 , 0621 ayy , 21 yy， 异号 , 又|1 1|1 1| 1| 1 2212 ymymANAMt 221 21221222122122 )( 4)(1 1)( )-(1 1 yy yyyymyy yymt )1 1321(136 24361 122222 maaa amm 所以 ,
20、仅当 0132 a ,即 23a 时 ,t 与 m 无关 ,此时 A 即 抛物线 C 的焦点 ,即 抛物线 C 对称轴上仅有焦点这一个“稳定点” . -13 分 （ 21） 解： （ I）由题意 )(xg 的定义域为 ),0( 22 22-)( xaxxaxxg （ i）若 0a ，则 0)( xg 在 ),0( 上恒成立， ),0( 为其单调递减区间； （ ii）若 0a ，则由 0)( xg 得 ax 2 ， )2,0( ax 时， 0)( xg ， ),2( ax 时， 0)( xg ， 所以 )2,0( a 为其单调递减区间； ),2( a 为其单调递增区间； -4 分 （ II） )
21、()( 2 xgxxf 所以 )(xf 的定义域也为 ),0( ，且 2322 2222)()()( x axxxaxxxgxxf 令 ),0,22)( 3 xaxxxh (*) 则 axxh -6)( 2 (*)-6 分 0a 时 , 0)( xh 恒成立 ,所以 )(xh 为 ),0 上的单调递增函数，又 0-)1(,02)0( ahh ，所以在区间 )1,0( 内 )(xh 至少存在一个变号零点 0x ，且 0x 也是 )( xf 的变号零点，此时 )(xf 在区间 )1,0(内有极值 . -8 分 0a 时 )1,0(,0)1(2)( 3 xaxxxh ,即在区间 (0,1)上 0)(
22、 xf 恒成立 ,此时 , )(xf 无极值 . 综上所述 ,若 )(xf 在区间 )1,0( 内有极值，则 a 的取值范围为 )0,( . -9 分 (III) 0a ,由（ II）且 3)1( f 知 1,0(x 时 0)( xf , 10x . 又由 (*)及 (*)式知 )(xf 在 区间 ),1( 上只有 一个极小值点 ,记为 1x , 且 ),1( 1xx 时 )(xf 单调递减 , ),( 1 xx 时 )(xf 单调递增 ,由题意 1x 即为 0x , 0)( 0)(00xf xf -11 分 0220ln20200020axxxaxx 消去 a,得 131ln2300 xx-
23、12 分 0a 时令 )0(131)(),1(ln2)( 321 xxxtxxxt , 则在区间 ),1( 上为 )(1xt 单调递增函数 , )(2xt 为单调递减函数 , 且 )2(710577.022ln2)2(21 tt )3(263123ln2)3( 21 tt 32 0 x 2 0 x -14 分 物理答案 21（ 1） 0.984 （ 3 分） （ 2） 9.77 （ 3 分） （ 3） 1.64（或 1.63） （ 3 分） 22（ 1） R3 （ 3 分） （ 2）如图 （ 3 分） （ 3）保持 R1 不 变，将开关 S2 接通“ 2”，调 节电阻箱 R3 的阻值，使电压表
24、的指针指到与刚才相同 的位置，读出此时电阻箱的阻值，即为待测电阻 RX的阻 值 （ 3分） 23（ 1 8 分）参考解答： （ 1）过 ETC 通道时，减速的位移和加速的位移相等，均为 avvS 2 32211 2 分 所以总的位移 m2 1 0102 11 SS 总 4 分 （公式 2 分，结果 2 分） （ 2）过 ETC 通道时 s221022211 va vvt 3 分 过人工收费通道时 s5020212 avt3 分 m22522 212 avS2 分 二者的位移差 m1521022512 SSS 2 分 在这段位移内过 ETC 通道时是匀速直线运动 所以 2 7 s112 ）（ vSttt 2 分 题号 14 15 16 17 18 19 20 答案 AD C B CD AD ACD BC V
