1、2012年理科实验班自主招生考试数学试卷（二）一、选择题（每小题只有一个正确答案，共10个小题，满分30分）1（3分）已知三个整数a，b，c的和为奇数，那么a2+b2c2+2abc（）A一定是非零偶数B等于零C一定为奇数D可能是奇数，也可能是偶数2（3分）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=3，则的值为（）A1BC2D3（3分）设x2px+q=0的两实根为，而以2，2为根的一元二次方程仍是x2px+q=0，则数对（p，q）的个数是（）A2B3C4D04（3分）设函数y=x22kx3k24k5的最大值为M，为使M最大，k=（）A1B1C3D35（3分）若3x2x=1，则9x4+12
2、x32x27x+2008=（）A2011B2010C2009D20086（3分）已知坐标原点O和点A（2，2），B是坐标轴上的一点，若AOB是等腰三角形，则这样的点B一共有多少个（）A4B5C6D87（3分）如图：有六个面积为1的正方形组成的长方形，其中有A、B、C、D、E、F、G 7个点，以这7个点为顶点，并且面积为1的三角形有（）A11个B12个C13个D14个8（3分）锐角ABC的三边两两不等，D是BC边上的一点，BAD+C=90，则AD一定过ABC的（）A垂心B内心C外心D重心9（3分）有纯农药一桶，倒出20升后用水补满；然后又倒出10升，在用水补满，这是桶中纯农药与水的容积之比为3：
3、5，则桶的容积为（）A30升B40升C50升D60升10（3分）如图，直线l1l2l3l4，相邻两条平行线间的距离都等于1，若正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则它的面积等于（）A4B5CD二、填空题（每小题6分，满分42分）11（6分）如图，正方体的每一面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等，如果13、9、3的对面的数分别为a、b、c，则a2+b2+c2abbcca的值等于_12（6分）RtABC中，C=90，若sinA和sinB是方程的两个根，则k=_13（6分）在ABC中，AC=2，D是AB的中点，E是CD上一点，若，则BC=_14（6分）方程的解为_15（6分）在
4、正八边形中，与所有边均不平行的对角线有_条16（6分）若正整数n恰好有4个正约数，则称n为奇异数，例如6、8、10都是奇异数，那么在27、42、69、111、125、137、343、899、3599、7999这10个正整数中奇异数有_个17（6分）如图，MN是半圆O的半径，A是半圆的一个三等分点，B是的中点，P是直径MN上的点，若AP+PB的最小值为厘米，则圆的半径r=_厘米三、解答题（每小题16分，满分48分）18（16分）已知二次函数y=mx2+（m3）x3（m0）的图象如图所示（1）这条抛物线与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0）（x1x2），与y轴交于点C，且AB=4，M过A、B
5、、C三点，求扇形MAC的面积；（2）在（1）的条件下，抛物线上是否存在点P，使PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BC分成面积比为1：2的两部分？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由19（16分）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是（mn+9m+11n+145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数20（16分）已知ABC是圆O的内接三角形，BAC的平分线交BC于F交圆O于D，DE切圆O于D交AC的延长线于E，连BD，若BD=3，DE+EC=6，AB：AC=3：2，求BC的长2012年理科
6、实验班自主招生考试数学试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个正确答案，共10个小题，满分30分）1（3分）已知三个整数a，b，c的和为奇数，那么a2+b2c2+2abc（）A一定是非零偶数B等于零C一定为奇数D可能是奇数，也可能是偶数考点：因式分解的应用1368457专题：计算题分析：先把代数式分解因式，再根据已知进行讨论得出正确选项解答：解：a2+b2c2+2abc=（a+b+c）（a+bc）+2abc2ab=（a+b+c）（a+bc）+2（abcab），已知a+b+c为奇数，而改变加减运算符号，不改变奇偶性，a+bc也为奇数，则（a+b+c）（a+bc）也为奇数，2（abc
7、ab）是偶数，a2+b2c2+2abc=（a+b+c）（a+bc）+2（abcab）一定是奇数，故选：C点评：本题考查了因式分解的应用，把式子分解因式是解题关键2（3分）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=3，则的值为（）A1BC2D考点：分式的化简求值1368457分析：由a+b+c=2，a2+b2+c2=3，利用两个等式之间的平方关系得出ab+bc+ac=；再根据已知条件将各分母因式分解，通分，代入已知条件即可解答：解：由a+b+c=2，两边平方，得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4，将已知代入，得ab+bc+ac=；由a+b+c=2得：c1=1ab，ab+c1=a
8、b+1ab=（a1）（b1），同理，得bc+a1=（b1）（c1），ca+b1=（c1）（a1），原式=+=故选D点评：本题考查了分式的化简其中计算，解题时，充分运用已知条件变形，使分式能化简通分，得出结果3（3分）设x2px+q=0的两实根为，而以2，2为根的一元二次方程仍是x2px+q=0，则数对（p，q）的个数是（）A2B3C4D0考点：根与系数的关系；根的判别式1368457专题：分类讨论分析：利用根与系数的关系把，之间的关系找出来，利用，之间的关系，解关于p，q的方程，然后再代入原方程检验即可解答：解：根据题意得，+=p，=q；2+2=p，22=q由可得22=0，解之得=1或0由可得
9、2+2=（+）22=p22q=p，即p2p2q=0，当q=0时，p2p=0，解之得，p=0或p=1，即，把它们代入原方程的中可知符合题意当q=1时，p2p2=0，解之得，p=1或2，即，把它们代入原方程的中可知不合题意舍去，所以数对（p，q）的个数是3对故本题选B点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系为：x1+x2=，x1x2=4（3分）设函数y=x22kx3k24k5的最大值为M，为使M最大，k=（）A1B1C3D3考点：二次函数的最值1368457专题：计算题分析：由于M是最大值，那么M=，即M=2k24
10、k5，于是求k=的值即可解答：解：y=x22kx+（3k24k5），M=M=2k24k5，又M最大，k=1故选A点评：本题考查了函数的最值注意y最大值=即可5（3分）若3x2x=1，则9x4+12x32x27x+2008=（）A2011B2010C2009D2008考点：因式分解的应用1368457专题：计算题；整体思想分析：将3x2x=1化简为3x2x1=0，整体代入9x4+12x32x27x+2008变形的式子3x2（3x2x1）+5x（3x2x1）+2（3x2x1）+2010，计算即可求解解答：解：3x2x=1，即3x2x1=0，9x4+12x32x27x+2008=3x2（3x2x1）
11、+5x（3x2x1）+2（3x2x1）+2010=2010故选B点评：本题考查因式分解的运用，注意运用整体代入法求解6（3分）已知坐标原点O和点A（2，2），B是坐标轴上的一点，若AOB是等腰三角形，则这样的点B一共有多少个（）A4B5C6D8考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质1368457专题：应用题分析：根据等腰三角形的性质，要使AOB等腰三角形，可以分两种情况考虑：当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴出现交点，当OA是腰时，则分别以点O、点A为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴出现交点解答：解：作OA的垂直平分线，交坐标轴于两个点；以O为圆心，OA为半径画弧，交坐标轴于四个点；以
12、A为圆心，OA为半径画弧，交坐标轴于两个点如图所示，显然这样的点有8个故选D点评：本题考查了等腰三角形的定义，运用数形结合的思想进行解决，难度适中7（3分）如图：有六个面积为1的正方形组成的长方形，其中有A、B、C、D、E、F、G 7个点，以这7个点为顶点，并且面积为1的三角形有（）A11个B12个C13个D14个考点：面积及等积变换1368457分析：由有六个面积为1的正方形组成的长方形，然后依据三角形的面积等于底乘以高，抓住底与高一个为2，一个为1，然后从一边开始，依次求解即可求得答案，小心别漏解解答：解：如图是六个面积为1的正方形组成的长方形，以AB为边：ABD，ABE，ABF，ABG，
13、以AC为边：ACG，以AD为边：ADE，以AE为边：AEF，以AF为边：AFG，以BC为边：BCF，以BD为边：BDE，以BE为边：BEF，以 BF为边：BFG，以 CD为边：CDF，以CE为边：CEG故以这7个点为顶点，并且面积为1的三角形有14个故选D点评：此题考查了三角形的面积问题此题属于易错题，难度较大，解题的关键是注意依次数得，小心别漏解8（3分）锐角ABC的三边两两不等，D是BC边上的一点，BAD+C=90，则AD一定过ABC的（）A垂心B内心C外心D重心考点：三角形的外接圆与外心；三角形内角和定理1368457分析：作ABE=90，BE交AD的延长线于E，根据三角形的内角和定理求
14、出BAD+E=90，推出C=E，根据三角形的外接圆的圆心的定义求出即可解答：解：作ABE=90，BE交AD的延长线于E，BAD+E=90，C+BAD=90，C=E，E在ABC的外接圆上，ABE=90，AE是直径，AD一定过ABC的外心故选C点评：本题主要考查对三角形的外接圆与外心，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出E=C是解此题的关键9（3分）有纯农药一桶，倒出20升后用水补满；然后又倒出10升，在用水补满，这是桶中纯农药与水的容积之比为3：5，则桶的容积为（）A30升B40升C50升D60升考点：分式方程的应用1368457专题：应用题分析：首先设出桶的容积为x升，倒出两次后纯农
15、药的容积为（x20）升，倒入两次水后水的容积为【20（1）10+10】升，由农药与水的容积之比为3：5列出方程解答即可解答：解：设桶的容积为x升，根据题意列方程得，（x20）：20（1）10+10=3：5，整理得x248x+320=0，解得x1=40，x2=8（不合题意，舍去），答：桶的容积为40升点评：解答此题需要计算农药与水占总容积的百分比，紧扣容积不变，再据题意，分别求得纯农药和水的容积，建立方程问题得解10（3分）如图，直线l1l2l3l4，相邻两条平行线间的距离都等于1，若正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则它的面积等于（）A4B5CD考点：正方形的性质；平行线之间的距离；勾
16、股定理1368457分析：过D点作直线EF与平行线垂直，与l1交于点E，与l4交于点F易证ADEDFC，得CF=1，DF=2根据勾股定理可求CD2得正方形的面积解答：解：作EFl2，交l1于E点，交l4于F点l1l2l3l4，EFl2，EFl1，EFl4，即AED=DFC=90ABCD为正方形，ADC=90ADE+CDF=90又ADE+DAE=90，CDF=DAEAD=CD，ADEDCF，CF=DE=1DF=2，CD2=12+22=5，即正方形ABCD的面积为5故选B点评：此题考查正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键难度中等二、填空题（每小题6分，满分42分）
17、11（6分）如图，正方体的每一面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等，如果13、9、3的对面的数分别为a、b、c，则a2+b2+c2abbcca的值等于76考点：专题：正方体相对两个面上的文字1368457专题：计算题分析：根据相对的两个面上两数之和都相等列出等式，并整理出ab，bc，ac，的值，然后把a2+b2+c2abbcca整理分解因式，然后再代入数据计算即可解答：解：根据题意得，a+13=b+9，b+9=c+3，c+3=a+13，整理得ab=4，bc=6，ac=10，a2+b2+c2abbcca=（2a2+2b2+2c22ab2bc2ca），=（ab）2+（ac）2+（b
18、c）2，=16+36+100，=8+18+50，=76故答案为：76点评：本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，把多项式乘以2后因式分解是解题的关键12（6分）RtABC中，C=90，若sinA和sinB是方程的两个根，则k=考点：根与系数的关系；互余两角三角函数的关系1368457分析：根据锐角三角函数关系式，得sin2A+sin2B=1；根据一元二次方程根与系数的关系，得sinA+sinB=，sinAsinB=k，再进一步利用完全平方公式得到关于k的方程进行求解解答：解：sinA和sinB是方程的两个根，sinA+sinB=，sinAsinB=k，RtABC中，C=90，sin2A+si
19、n2B=1，2+2k=1，解得，k=故答案为：点评：此题综合考查了一元二次方程根与系数的关系以及锐角三角函数关系式13（6分）在ABC中，AC=2，D是AB的中点，E是CD上一点，若，则BC=2考点：三角形的重心；勾股定理1368457分析：根据中点这个条件，把CD延长至两倍于点F，连接AF，BF，则四边形ACBF为平行四边形，由ED=CD，CE=AB，得AB=CF，所以ACBF为矩形再用勾股定理列式算出a，即可求出BC的长解答：解：把CD延长至点F，使DF=CD连接AF，BFAD=DB，FD=DC，四边形ACBF为平行四边形，ED=CD，CE=CD，CE=AB，CD=AB，CD=AB，AB=
20、CF，ACBF只能为矩形设DE为a，则CE=2a，AD=3a，算出AE2=8a2，CE2=4a2，又因为AC=2，用勾股定理列式算出a，a=，AB=6=2，BC=2故答案为：2点评：此题主要考查了重心的性质以及平行四边形的判定与矩形的判定和勾股定理的应用，根据已知得出正确的辅助线是解决问题的关键14（6分）方程的解为考点：无理方程1368457分析：首先两边进行平方，然后移项合并同类项，再两边平方求解解答：解：两边平方得：3x+22+3x2=4 移项得：2=6x4两边平方得：36x216=36x248x+16解得：x=，检验：当x=时：原方程的左边=右边，x=是原方程的解故答案为点评：本题主要
21、考查解无理方程，关键在于首先对方程两边分别平方已达到去根号的目的15（6分）在正八边形中，与所有边均不平行的对角线有12条考点：多边形的对角线1368457专题：计算题分析：根据n边形的对角线有n（n3）条，将正八边形的边数代入可求出对角线的总数，而正八边形的对角线中有8条平行与边的对角线，由此可得出答案解答：解：正八边形的对角线条数=8（83）=20，又正八边形的对角线中有8条平行与边的对角线，在正八边形中，与所有边均不平行的对角线有12条故答案为：12点评：本题考查多边形的对角线的知识，关键是掌握多边形的对角线与正多边形边数的关系n（n3），另外要知道正八边形的每条边均有2条对角线与之平行
22、16（6分）若正整数n恰好有4个正约数，则称n为奇异数，例如6、8、10都是奇异数，那么在27、42、69、111、125、137、343、899、3599、7999这10个正整数中奇异数有8个考点：数的整除性1368457专题：新定义分析：首先根据正整数n恰好有4个正约数，则称n为奇异数，可得奇异数有两类：第一类是质数的立方p3（p是质数），第二类是两个不同质数的乘积p1p2（p1，p2为不同的质数），然后分别分析27、42、69、111、125、137、343、899、3599、7999是否符合奇异数的特点即可求得答案解答：解：易得奇异数有两类：第一类是质数的立方p3（p是质数），第二类是
23、两个不同质数的乘积p1p2（p1，p2为不同的质数）27=333=33，是奇异数（第一类）；42=237不是奇异数；69=323是奇异数（第二类），111=337是奇异数（第二类），125=53是奇异数（第一类），137是质数，不是奇异数，343=73是奇异数（第一类），899=9001=（301）（30+1）=2931是奇异数（第二类），3599=36001=（601）（60+1）=5961是奇异数（第二类），7999=80001=2031=（201）（202+20+1）=19421是奇异数（第二类）因此符合条件的奇异数有：27，69，111，125，343，899，3599，7999共8个
24、故答案为：8点评：此题考查了学生的分析能力，考查了质数的性质与数的整除性问题此题难度较大，解题的关键是找到奇异数有两类：第一类是质数的立方p3（p是质数），第二类是两个不同质数的乘积p1p2（p1，p2为不同的质数）17（6分）如图，MN是半圆O的半径，A是半圆的一个三等分点，B是的中点，P是直径MN上的点，若AP+PB的最小值为厘米，则圆的半径r=2厘米考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理1368457专题：数形结合分析：作出点A关于MN的对称点A，连接AB，交MN于点P，则AB为AP+PB的最小值，连接OA，OB，易得BOA=90，利用等腰直角三角形的性质可得半径的长解答：解：作
25、出点A关于MN的对称点A，连接AB，交MN于点P，则AB为AP+PB的最小值，连接OA，OBAB=2，A是半圆的一个三等分点，B是的中点，BON=30，A0N=60，AOB是等腰直角三角形，OA=2故答案为2点评：考查最短路线问题；若两点在直线的同一旁，则需作其中一点关于这条直线的对称点；作出整个圆的辅助性是解决本题的难点三、解答题（每小题16分，满分48分）18（16分）已知二次函数y=mx2+（m3）x3（m0）的图象如图所示（1）这条抛物线与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0）（x1x2），与y轴交于点C，且AB=4，M过A、B、C三点，求扇形MAC的面积；（2）在（1）的条件下，
26、抛物线上是否存在点P，使PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BC分成面积比为1：2的两部分？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题1368457专题：综合题分析：（1）根据抛物线的解析式，可表示出A、B的坐标，根据AB=4，可求出m的值，从而确定该抛物线的解析式，即可得到A、B、C的坐标；根据B、C的坐标，可得到OBC=45，根据圆周角定理知AMC=90，即AMC是等腰直角三角形，AC的长易求得，即可得到半径AM、MC的长，利用扇形的面积公式，即可求得扇形AMC的面积（2）设PD与BC的交点为E，此题可分成两种情况考虑：当BPE的面积是BDE的2倍时，由于BDE和
27、BPD同高不等底，那么它们的面积比等于底边的比，即DE=PD，可设出P点的坐标，那么E点的纵坐标是P点纵坐标的，BD的长为B、P横坐标差的绝对值，由于OBC=45，那么BD=DE，可以此作为等量关系求出P点的坐标；当BDE的面积是BPE的2倍时，方法同解答：解：（1）y=mx2+（m3）x3=（mx3）（x+1），x1=1，x2=，AB=（1）=4，即m=1；y=x22x3，得A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），OBC=45，AMC=90，AC=，AM=CM，AM=，R=，S=（2）设PD与BC的交点为E，可求直线BC解析式为y=x3，设P（x，x22x3）；当SBED：SBEP=1：2
28、时，PD=3DE，得（x22x3）=3（x3），解得x=2或3，或（舍去），P（2，3）；当SPBE：SBED=1：2时，同理可得P（，），故存在P（2，3）或P（，）点评：此题是二次函数的综合类题目，涉及到：二次函数解析式的确定、圆周角定理、扇形面积的计算方法以及图形面积的求法等知识，综合性强，难度稍大19（16分）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是（mn+9m+11n+145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数考点：数的整除性1368457专题：计算题分析：根据题意得到m+11=n+9，从（
29、m+11）（n+9）+46的整除性得到m、n的值解答：解：据题意m+11=n+9，且整除mn+9m+11n+145，而mn+9m+11n+145=（m+11）（n+9）+46，故m+11，n+9都整除46，由此得或，在时，得每人捐款25元，在时，每人捐款47元，综上可知，每人捐款数为25元或47元点评：此题考查了数的整除性，要通过逻辑推理得到正确答案，体现了竞赛题的一般特征20（16分）已知ABC是圆O的内接三角形，BAC的平分线交BC于F交圆O于D，DE切圆O于D交AC的延长线于E，连BD，若BD=3，DE+EC=6，AB：AC=3：2，求BC的长考点：切线的性质1368457分析：利用切线
30、的性质以及圆周角、弦切角、弧之间的关系证明直线平行和三角形相似分别求出AB、AC、DE、EC的值，然后利用三角形相似求出FC，AF，DF的值，最后利用相交弦定理求出BF的值，从而求出BC的值解答：解：DE是圆O的切线，CDE=CBD=DAEADEDCEDE2=AEECDE2=（AC+EC）ECDE+EC=6DE=6EC（6EC）2=ACEC+EC2CBD=DAC，CDE=DACAD平分BAC，BAD=CADCDE=BAD，BD=DC=3BAD=BCD，CDE=BCDBCDEABDDCE，ABEC=18AB：AC=3：2设AB=3x，AC=2x，EC=y，则有解得：AB=9，AC=6，EC=2DE=4BCDEAFCADE=FC=3可以证明DFCBFAFA=AD=6DF=DFAF=BFFCBF=BC=故BC的长为点评：本题是一道切线的性质运用的解答题，考查了切割线定理，相交弦定理以及相似三角形的判定及性质、平行线的判定综合性较强，难度较大参与本试卷答题和审题的老师有：王岑；hdq123；CJX；星期八；zcx；caicl；张超。；MMCH；zxw；zhehe；蓝月梦；心若在；zhangCF；ZHAOJJ；gbl210；马兴田；lanchong；冯延鹏；73zzx；HJJ（排名不分先后）菁优网2013年5月6日
