1、 杭西高 2015 年 5 月考高一数学试卷 命题人：李国庆 审核人：钱敏剑 一、选择题（每小题 5 分，共 8 小题） 1若非零实数 a, b 满足 ab， 则 ( ) A a3b3 B.22 11 bC.a2b2 D. ba12为得到函数)32sin( xy的图象，只需将函数)62sin( xy的图像（ ） A向左平移4个单位长度 B向右平移4个单位长度 C向左平移2个单位长度 D向右平移2个单位长度 3不等式 032 2322 xx xx 的解集是 ( ) A (- , -1) (1, 2) (3, + ) B (-1, 1) (2, 3) C (-1, 1) (1, 2) D (1,
2、2) (2, 3) 4. 设 FED , 分别为 ABC 的三边 ABCABC , 的中点，则 FCEB ( ) A AD B. 12AD C. 12BC D. BC 5.若 , 为锐角，且满足 53)c o s (,54c o s ，则 sin 的值是（ ） （ A） 2517 （ B） 53 （ C） 257 （ D） 51 6已知平面向量 OA、 OB 、 OC 为三个单位向量，且 OA 0 OB ， 满足 OC OAx ),( RyxOBy ，则 yx 的最大值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 2 7. ABC各角的对应边分别 为cba ,满足 1 ba cca b ,则角 A的范
3、 围是（ ） A(0 3B0, 6C , )3D , )68.在锐角 三角形 ABC中 ,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边 ,若 A 2B,给出 下 列命题： 64B； ( 2, 3ab； 22a b bc 其中 正确的 个数 是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 二、填空 题 9已知 31)4cos( ，则 )43cos( 的值为 _ _ 10. ABC 满足 ACAB ， 2BC ， G 为 ABC 的重心，则 BCBG 11设平面上有 4 个互异的点 , , ,ABCD 已知 ( 2 ) ( ) 0D B D C D A A B A C ,则 ABC 的形状是_ 12.已
4、知 : ),3(),2,1( mOBOA ,若 OBOA ，则 m ;若 OBOA/ ,则 m 13. 已知函数 f（ x） = （ x 1），当且仅当 x= 时， f（ x）取到最小值为 14 已知向量 ( 1,2)a ， (2,3)b ，若 m a b与 n a b的夹角为钝角，则实数 的取值范围是_ 15 已知 ABC 的内角 CBA , 所对的边 为 cba, ， 6 0 , 1 3 , 1A a b ，则 c ， CBA cba s ins ins in _ 三、解答题 16. 已知向量 1,3cosm ， 1,4tann ， ()22 , ，且 5mn （ 1）求 mn ； （ 2
5、）设向量 m 与 n 的夹角为 ，求 tan( ) 的值 17 设函数 ()f x m n，其中向量 (2cos ,1)mx ， (co s , 3 sin 2 )n x x ， xR （ 1）求 )(xf 的最小正周期与单调递减区间； （ 2）在 ABC 中， a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边，已知 2)( Af ， 1b ， ABC 的面积为23 ，求 a 18. 在 ABC 中， cba, 分别是角 CBA , 的对边，已知 bbaca 22 （ ） 若 2cos2B-8cosB+ 5=0，判 断 ABC 的形状； （ ） 若 ABC 为锐角三角形，求2abc的取
6、值范围 19. 某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量 x 万件与年促销费用 m 万元（ 0m ）满足3 1kx m （ k 为常数），如果不搞促销活动，该产品的年销售量只能是 1 万件。已知生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要投入 16 万元，厂家将每件产品的价格定为 年平均每件产品成本的 1.5 倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用） （ 1）将该产品的年利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数 （ 2）该厂家年促销费用投入为多少万元时，厂家的年利润最大？最大年利润是多少万元？ 20 已知向量 = (2 s in , s in
7、 + c o s )m ， )2,(c o s mn ，函数 ()f m n 的最小值为 )( Rmmg （ 1）当 1m 时，求 )(mg 的值； （ 2）求 )(mg ； （ 3） 已知函数 ()hx 为定义在 R 上的增函数，且对任意的 12,xx都满足 1 2 1 2( ) ( ) ( )h x x h x h x 问：是否存在这样的实数 m，使不等式 ( ( )hf 4()sin cosh + (3 2 ) 0hm对所有 0, 2 恒成立，若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由 杭西高 2015 年 5 月考高一数学答卷 一、选择题 二、填空题 9. _ 10. _ 11.
8、 _ 12._ _ 13._ _ 14._ 15._ _ 三 . 解答题 16. 已知向量 1,3cosm ， 1,4tann ， ()22 , ，且 5mn （ 1）求 mn ； （ 2）设向量 m 与 n 的夹角为 ，求 tan( ) 的值 17 设函数 ()f x m n，其中向量 (2cos ,1)mx ， (co s , 3 sin 2 )n x x ， xR （ 1）求 )(xf 的最小正周期与单调递减区间； （ 2）在 ABC 中， a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边，已知 2)( Af ， 1b ， ABC 的面积为 23 ，求 a 1 2 3 4 5 6
9、 7 8 18. 在 ABC 中， cba, 分别是角 CBA , 的对边，已知 bbaca 22 （ ） 若 2cos2B-8cosB+ 5=0，判断 ABC 的形状； （ ） 若 ABC 为锐角三角形，求2abc的取值范围 19. 某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量 x 万件与年促销费用 m 万元（ 0m ）满足3 1kx m （ k 为常数），如果不搞促 销活动，该产品的年销售量只能是 1 万件。已知生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要投入 16 万元，厂家将每件产品的价格定为年平均每件产品成本的 1.5 倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金
10、，不包括促销费用） （ 1）将该产品的年利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数 （ 2） 该厂家年促销费用投入为多少万元时，厂家的年利润最大？最大年利润是多少万元？ 20 已知向量 = (2 s in , s in + c o s )m ， )2,(c o s mn ，函数 ()f m n 的最小值为 )( Rmmg （ 1）当 1m 时，求 )(mg 的值； （ 2）求 )(mg ； （ 3）已知函数 ()hx 为定义在 R 上的增函数，且对任意的 12,xx都满足 1 2 1 2( ) ( ) ( )h x x h x h x 问：是否存在这样的实数 m，使不等式 ( ( )hf
11、4()sin cosh + (3 2 ) 0hm对所有 0, 2 恒成立，若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由 杭西高 2015 年 5 月考高一数 学答卷 一、选择题 二、填空题 9. 13 10. 2 11. 等腰三角形 12. 3-62， 13. 22， 14. 91 且 15. 2 394 3， 三 . 解答题 16. 已知向量 1,3cosm ， 1,4tann ， ()22 , ，且 5mn （ 1）求 mn ； （ 2）设向量 m 与 n 的夹角为 ，求 tan( ) 的值 （ 1）由 mn 1 1 2 co s tan 5 ，解得 1sin 3 ， 2 分 因为 (
12、)22 , ，所以 22cos 3 ， 2tan 4 4 分 则 1,2 2m ， 1, 2n ，所以 mn (2,3 2) ， 所以 mn 22 6 分 （ 2）由（ 1）知 1,2 2m ， 1, 2n ，则 5 5 3c o s c o s ,933mn ， 8 分 25 3 6s in 1 ( )99 ，所以 2tan 5 ， 10 分 所以22245t a n( )222145 12 分 1 2 3 4 5 6 7 8 A B B A C B A C 17 设函数 ()f x m n，其中向量 (2cos ,1)mx ， (co s , 3 sin 2 )n x x ， xR （ 1
13、）求 )(xf 的最小正周期与单调递减区间； （ 2）在 ABC 中， a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边，已知 2)( Af ， 1b ， ABC 的面积为 23 ，求 a 解（ 1）根据向量数量积的坐标运算以及二倍角公式、辅助角公式可得 nmxf )( 1)62sin(2 x ，故周期 22T ，再由 Zkkxk ,2236222 ，可得单调减区间为 Zkkk ,32,6 ；（ 2）由 2)( Af ，可得 3A ， 2323121s in21 cAbcS A B C2c ，由余弦定理可得 33c o s2222 aAbccba 18. 在 ABC 中， cba, 分
14、别是角 CBA , 的对边，已知 bbaca 22 （ ） 若 2cos2B-8cosB+ 5=0，判断 ABC 的形状； （ ） 若 ABC 为锐角三角形，求2abc的取值范围 2 4 sin sin3ab ABc 2s i n s i n s i n s i n ( )3A B A A31sin ( c o s sin )22A A A 3 1 1s in 2 c o s 24 4 4AA 11sin(2 )2 6 4A 10 分 1sin 2 ( ,162A ， 2 4 sin sin3ab ABc 2( ,13 19. 某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量 x 万件与年促
15、销费用 m 万元（ 0m ）满足3 1kx m （ k 为常数 ），如果不搞促销活动，该产品的年销售量只能是 1 万件。已知生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要投入 16 万元，厂家将每件产品的价格定为年平均每件产品成本的 1.5 倍（ 产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用） （ 1）将该产品的年利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数 （ 2）该厂家年促销费用投入为多少万元时，厂家的年利润最大？最大年利润是多少万元？ 20 已知向量 = (2 s in , s in + c o s )m ， )2,(c o s mn ，函数 ()f m n 的
16、最小值为 )( Rmmg （ 1）当 1m 时，求 )(mg 的值； （ 2）求 )(mg ； （ 3）已知函数 ()hx 为定义在 R 上的增函数，且对任意的 12,xx都满足 1 2 1 2( ) ( ) ( )h x x h x h x 问：是否存在这样的实数 m，使不等式 ( ( )hf 4()sin cosh + (3 2 ) 0hm对所有 0, 2 恒成立，若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由 解： 1） ( ) s i n 2 ( 2 ) ( s i n c o s )fm 令 sin cost ， t - 2, 2 ，则 2sin2 1t 当 1m 时， 2 m i
17、ng ( m ) = ( t 3 1 ) 1 3 2t （ 2） 2( ) ( ) ( 2 ) 1f F t t m t ， t - 2, 2 2( 2 ) 2 1 , 2 2 248g ( m ) = , 2 2 2 2 2 241 ( 2 ) 2 , 2 2 2mmmm mmm （ 3）易证 ()hx 为 R 上的奇函数 要使 4sin 2 ( 2 ) ( sin c o s ) ( 3 2 ) 0sin c o sh m h m 成立， 只须 4s in 2 ( 2 ) ( s in c o s )s in c o shm ( 3 2 ) ( 3 2 )h m h m ， 又由 ()fx为单调增函数有 4s i n 2 ( 2 ) ( s i n c o s ) 3 2s i n c o smm ， 令 sin cost ，则 2sin2 1t ， 0, ,2 2 s in ( ) 1, 2 4t 原命题等价于 2 41 ( 2 ) 3 2 0t m t mt 对 1, 2t 恒成立； 2 4( 2 ) 2 2t m t t t ，即2( 2 ) ( 2 ) 22t t ttmttt . 由双勾函数知 ()gt 在 1, 2 上为减函数， 3m时，原命题成立
