1、绝对值的性质及化简【绝对值的几何意义】一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离.数的绝对值记作. （距离具有非负性）【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意： 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是. 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：符号是负号，绝对值是.【求字母的绝对值】 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而
2、小.绝对值非负性：|a|0 如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若，则，【绝对值的其它重要性质】（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即，且；（2）若，则或；（3）；（4）；（5）|a|-|b| |ab| |a|+|b|的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离的几何意义：在数轴上，表示数对应数轴上两点间的距离【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。【绝对值不等式】（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解；（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：A）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：
3、换元法、讨论法、平方法；B）利用不等式：|a|-|b|a+b|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。【绝对值必考题型】例1：已知|x2|y3|0，求x+y的值。解：由绝对值的非负性可知x2 0，y30； 即：x=2，y =3；所以x+y=5 判断必知点： 相反数等于它本身的是 0 倒 数等于它本身的是 1 绝对值等于它本身的是 非负数 【例题精讲】（一）绝对值的非负性问题1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0.2. 绝对值的非负性；若，则必有，【例题】若，则 。总结：若干非负数之和为0， 。【巩固】若，则【巩固
4、】先化简，再求值：其中、满足. （二）绝对值的性质【例1】若a0，则4a+7|a|等于（）A11a B-11a C-3a D3a【例2】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（）A1，0 B正数 C非正数 D非负数【例3】已知|x|=5，|y|=2，且xy0，则x-y的值等于（）A7或-7 B7或3 C3或-3 D-7或-3【例4】若，则x是（）A正数 B负数 C非负数 D非正数【例5】已知：a0，b0，|a|b|1，那么以下判断正确的是（）A1-b-b1+aa B1+aa1-b-bC1+a1-ba-b D1-b1+a-ba【例6】已知ab互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（）
5、A2 B2或3 C4 D2或4【例7】a0，ab0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（）A6 B-4 C-2a+2b+6 D2a-2b-6【例8】若|x+y|=y-x，则有（）Ay0，x0 By0，x0 Cy0，x0 Dx=0，y0或y=0，x0【例9】已知：x0z，xy0，且|y|z|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）A是正数 B是负数 C是零 D不能确定符号【例10】给出下面说法：（1）互为相反数的两数的绝对值相等；（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；（3）若|m|m，则m0；（4）若|a|b|，则ab，其中正确的有（）A（1）（2）（3） B（1）（
6、2）（4） C（1）（3）（4） D（2）（3）（4）【例11】已知a，b，c为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c-b|-|b-a|-|a-c|= _【巩固】知a、b、c、d都是整数，且|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|=2，求|a+d|的值。 【例12】若x-2，则|1-|1+x|=_若|a|=-a，则|a-1|-|a-2|= _ 【例13】计算= 【例14】若|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简：|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|= _ 【例15】已知数的大小关系如图所示，则下列各式：；其中正确的有 （请填写番号）【巩固】已知：abc0，
7、且M=，当a，b，c取不同值时，M有 _种不同可能当a、b、c都是正数时，M= _；当a、b、c中有一个负数时，则M= _；当a、b、c中有2个负数时，则M= _；当a、b、c都是负数时，M=_ 【巩固】已知是非零整数，且，求的值 （三）绝对值相关化简问题（零点分段法）零点分段法的一般步骤：找零点分区间定符号去绝对值符号【例题】阅读下列材料并解决相关问题：我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值），在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下中情况：当时，原式当时，原式当时，原式综上讨论，原式（1）求出和
8、的零点值 （2）化简代数式解：（1）|x+2|和|x-4|的零点值分别为x=-2和x=4 （2）当x-2时，|x+2|+|x-4|=-2x+2； 当-2x4时，|x+2|+|x-4|=6； 当x4时，|x+2|+|x-4|=2x-2 【巩固】化简1. 2. 的值 3. 4. (1)； 变式5.已知的最小值是，的最大值为，求的值。 （四）表示数轴上表示数、数的两点间的距离【例题】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与，3与5，与，与3. 并回答下列各题：(1) 你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： .(2) 若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为1，则A
9、与B两点间的距离可以表示为 .(3) 结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为 ，取得最小值时x的取值范围为 .(4) 满足的的取值范围为 .(5) 若的值为常数，试求的取值范围（五）、绝对值的最值问题例题1: 1）当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？ 2) 当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？ 3) 当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？ 4）当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？例题2：1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？ 2)当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？ 3)
10、当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？ 4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？若想很好的解决以上2个例题，我们需要知道如下知识点：、1）非负数：0和正数，有最小值是02）非正数：0和负数，有最大值是03）任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|0，则-|a|04）x是任意有理数，m是常数，则|x+m|0，有最小值是0， -|x+m|0有最大值是0（可以理解为x是任意有理数，则x+a依然是任意有理数，如|x+3|0，-|x+3|0或者|x-1|0，-|x-1|0）5）x是任意有理数，m和n是常数，则|x+m|+nn，有最小值是n-|x+m|+nn，有最大值
11、是n(可以理解为|x+m|+n是由|x+m|的值向右(n0)或者向左（n0)平移了|n|个单位，为如|x-1|0，则|x-1|+33，相当于|x-1|的值整体向右平移了3个单位，|x-1|0，有最小值是0，则|x-1|+3的最小值是3）总结：根据3）、4)、5）可以发现，当绝对值前面是“+”号时，代数式有最小值，有“-”号时，代数式有最大值 . 例题1：1 ) 当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？ 2 ) 当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？ 3 ) 当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？ 4） 当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个
12、最小值是多少？解： 1）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|有最小值是0 2）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|+3有最小值是3 3）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3有最小值是-3 4）此题可以将-3+|x-1|变形为|x-1|-3，即当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3 有最小值是-3 例题2：1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？ 2 ) 当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？ 3 ) 当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？ 4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？解：1）当x-1=0时，
13、即x=1时，-|x-1|有最大值是0 2）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|+3有最大值是3 3）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|-3有最大值是-3 4 ) 3-|x-1|可变形为-|x-1|+3可知如2）问一样，即：当x-1=0时，即x=1时， -|x-1|+3有最大值是3 （同学们要学会变通哦） 思考：若x是任意有理数，a和b是常数，则 1）|x+a|有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？ 2）|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？ 3) -|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？ 例题3：求|x+1|+|x
14、-2|的最小值，并求出此时x的取值范围分析：我们先回顾下化简代数式|x+1|+|x-2|的过程： 可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值） 在数轴上找到-1和2的位置，发现-1和2将数轴分为5个部分 1）当x-1时，x+10，x-20，则|x+1|+|x-2|=-（x+1）-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+12）当x=-1时，x+1=0，x-2=-3，则|x+1|+|x-2|=0+3=3 3）当-1x0，x-22时，x+10，x-20，则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1 我们发现：当x3 当-1x2时，|x+1|+|x-2|=3 当x2时，|x
15、+1|+|x-2|=2x-13 所以：可知|x+1|+|x-2|的最小值是3，此时：-1x2 解：可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值） 则当-1x2时，|x+1|+|x-2|的最小值是3 评：若问代数式|x+1|+|x-2|的最小值是多少？并求x的取值范围？一般都出现填空题居多；若是化简代数式|x+1|+|x-2|的常出现解答题中。所以，针对例题中的问题，同学们只需要最终记住先求零点值，x的取值范围在这2个零点值之间，且包含2个零点值。例题4：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？分析：先回顾化简代数式|x+11|+|x-12|+
16、|x+13|的过程可令x+11=0，x-12=0，x+13=0得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值）1）当x-13时，x+110，x-120，x+130，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-122）当x=-13时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=403）当-13x-11时，x+110，x-120，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+144）当x=-11时，x+11=0，x-12=-23，x+13
17、=2，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=255）当-11x0，x-120，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+366）当x=12时，x+11=23，x-12=0，x+13=25，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=487） 当x12时，x+110，x-120，x+130，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12可知：当x27当x=-13时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=40当-13x-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x+14 ,2
18、5-x+14 27当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=25当-11x12时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+36,25x+3612时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+1248观察发现代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25，此时x=-11解：可令x+11=0，x-12=0，x+13=0得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值） 将-11,12，-13从小到大排列为-13-1112 可知-11处于-13和12之间，所以当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|有最小值是25 。 评：
19、先求零点值，把零点值大小排列，处于最中间的零点值即时代数式的值取最小值。例题4：求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值分析: 回顾化简过程如下令x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0则零点值为x=1, x=2 ,x=3 ,x=4（1）当x1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10（2）当1x2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8（3）当2x3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4（4）当3x4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2（5）当x4时，|x-1|+|x-2|+|x-
20、3|+|x-4|=4x-10根据x的范围判断出相应代数式的范围，在取所有范围中最小的值，即可求出对应的x的范围或者取值解：根据绝对值的化简过程可以得出 当x1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10 6 当1x2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+842x+86 当2x3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4 当3x4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-242x-26 当x4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-106 则可以发现代数式的最小值是4，相应的x取值范围是2x3 归档总结：若含
21、有奇数个绝对值，处于中间的零点值可以使代数式取最小值若含有偶数个绝对值，处于中间2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以使代数式取最小值例题5：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？分析：在数轴上表示出A点-13，B点-11，C点12 设点D表示数x则DA=|x+13|DC=|x+11|DB=|x-12|当点C在点A左侧如图DA+DB+DC=DA+DA+AB+DA+AB+BC =AC当点A与点D重合时，DA+DB+DC=AB+ACAC当点D在点AB之间时，如图DA+DB+DC=DA+DB+DB+BCAC当点D与点B重合时，DA+DB+DC=AB+AC=AC
22、当点D在BC之间如图DA+DB+DC=AB+BD+DB+DC=AC+BDAC当点D与点C重合时，DA+DB+DC=AC+BCAC当点D在点C右侧时DA+DB+DC=AC+CD+BC+CD+CDAC综上可知 当点D与点B重合时，最小值是AC=12-（-13）=25解：令x+11=0x-12=0|x+13=0 则x=-11x=12 x=-13 将 -11，12 ，-13从小到大排练为-13-1112 当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是点A（-13）与点C（12)之间的距离即AC=12-(-13)=25 【例题6】|x-1|的最小值|x-1|+|x-2|的最小值|x-
23、1|+|x-2|+|x-3|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+
24、|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|+|x-10|的最小值【解】：当x=1时，|x-1|的最小值是0当1x2时，|x-1|+|x-2|的最小值1当x=2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值2=2+0当2x3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值4=3+1当x=3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值6=4+2当3x4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|的最小值9=5+3+1当x=4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|的最小值12=6+4
25、+2当4x5时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-6|+|x-7|+|x-8|的最小值16=7+5+3+1当x=5时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值20=8+6+4+2当5x6时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-8|+|x-9|+|x-10|的最小值25=9+7+5+3+1【解法2】：捆绑法|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|+|x-10|=（|x-1|+|x-10|）+（|x-2+|x-9|）+（|x-3|+|x-8|）+（|x-4|+|x-7|
26、）+（|x-5|+|x-6|）若|x-1|+|x-10|的和最小，可知x在数1和数10之间 |x-2+|x-9|的和最小，可知数x在数2和数9之间 |x-3|+|x-8|的和最小，可知数x在数3和数8之间 |x-4|+|x-7|的和最小，可知数x在数4和数7之间 |x-5|+|x-6|的和最小，可知数x在数5和数6之间 若想满足以上和都最小，数x应该在数5和数6之间的任意一个数（含数5和数6）都可以。总结：若含有奇数个绝对值时，处于中间的零点值可以使代数式取最小值若含有偶数个绝对值时，处于中间2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以使代数式取最小值或者说将含有多个绝对值的代数式用捆绑法求
27、最值也可以若想求出最小值可以求关键点即可求出【例题7】（1）已知|x|=3，求x的值（2）已知|x|3，求x的取值范围（3）已知|x|3，求x的取值范围（4）已知|x|3，求x的取值范围（5）已知|x|3，求x的取值范围【分析】：绝对值的几何意义是在数轴上数x到原点的距离，（1）若|x|=3，则x=-3或x=3（2）数轴上-3和3之间的任意一个数到原点的距离都小于3，若|x|3，则-3x3（3）若|x|3，则-3x3（4） 数轴上-3左侧和3右侧的任意一个数到原点的距离都大于3，若|x|3，则x-3或x3（5）若|x|3，则x-3或x3【解】：（1）x=-3或x=3 (2) -3x3(3 )
28、-3x3 (4 ) x-3或x3(5 ) x-3或x3【例题8】（1）已知|x|3，则满足条件的所有x的整数值是多少？且所有整数的和是多少？（2）已知|x|3，则满足条件的x的所有整数值是多少？且所有整数的和是多少？【分析】： 从-3到3之间的所有数的绝对值都3 所以（1）整数值有-3，-2，-1,0,1,2,3； 和为0（2）整数值有-2，-1,0,1,2 ；和为0【解】：(1) |x|3 -3x3 x为整数 满足条件的x值为：-3，-2，-1,0,1,2,3 -3+-2+-1+0+1+2+3=0(2) |x|3 -3x3 x为整数 满足条件的x值为：-3，-2，-1,0,1,2,3 -3+
29、-2+-1+0+1+2+3=0【乘方最值问题】（1）当a取何值时，代数式（a-3)有最小值，最小值是多少？（2）当a取何值时，代数式(a-3)+4有最小值，最小值是多少？（3）当a取何值时，代数式(a-3)-4有最小值，最小值是多少？（4）当a取何值时，代数式-（a-3)有最大值，最大值是多少？（5）当a取何值时，代数式- (a-3)+4有最大值，最大值是多少？（6）当a取何值时，代数式-(a-3)-4有最大值，最大值是多少？（7）当a取何值时，代数式4- (a-3)有最大值，最大值是多少？分析：根据a是任意有理数时，a-3也是任意有理数，则（a-3)为非负数，即（a-3)0，则-（a-3)0
30、 可以进一步判断出最值解：（1）当a-3=0，即a=3时，（a-3)有最小值是0（2）当a-3=0，即a=3时，（a-3)+4有最小值是4（3）当a-3=0，即a=3时，（a-3)-4有最小值是-4（4）当a-3=0，即a=3时，-（a-3)有最大值是4（5）当a-3=0，即a=3时，-（a-3)+4有最大值是4（6）当a-3=0，即a=3时，-（a-3)-4有最大值是4(7 ) 4-（a-3)可以变形为- (a-3)+4，可知如（5）相同，即当a-3=0，即a=3时，4-（a-3)有最大值是4（这里要学会转化和变通哦）评：很好理解掌握a即-a的最值是解决本题的关键归纳总结：若x为未知数，a,b为常数，则当x取何值时，代数式(x+a)+b有最小值，最小值是多少当x取何值时，代数式-(x+a)+b有最大值，最大值是多少-【探究1】某公共汽车运营线路AB段上有A、D、C、B四个汽车站，如图现在要在AB段上修建一个加油站M，为了使加油站选址合理，要求A、B、C、D四个汽车站到加油站M的路程总和最小，试分析加油站M在何处选址最好？探究：设点A、B、C、D、M均在数轴上，与之对应的数为a
