1、近五年上海高考汇编立体几何一、填空题1.（2009年高考5）如图，若正四棱柱的底面边长为2，高为4，则异面直线与所成角的大小是_ _.（结果用反三角函数值表示） 答案：2.（2009年高考理科8）已知三个球的半径，满足，则它们的表面积，满足的等量关系是_ _.答案：3.（2009年高考文科6）若球的面积之比，则它们的半径之比_ _.答案：24.（2009年高考文科8）若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是_ _.答案：5.（2010年高考理科12）如图所示，在边长为4的正方形纸片中，与相交于点，剪去，将剩余部分沿折叠，使重合，则以 为顶点的四面体的
2、体积是_ _.答案： 6.（2010年高考文科6）已知四棱锥的底面是边长为6的正方体，侧棱底面，且，则该四棱锥的体积是_ _.答案：967.（2011年高考理科7）若圆锥的侧面积为，底面面积为，则该圆锥的体积为_ _.答案：8.（2011年高考文科7）若一个圆锥的主视图是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积为_ _.答案：9.（2012年高考理科6）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则_ _.答案：10.（2012年高考理科8）若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为_ _.答案：11.（2012年高考理科14）如图，与是四面体中互相垂直的
3、棱，若，且，其中为常数，则四面体的体积的最大值是_ _.答案：12.（2012年高考文科5）一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为_ _.答案：13.（2013年高考理科13）在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为，如图中阴影部分记绕轴旋转一周而成的几何体为过作的水平截面，所得截面面积为试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为_ _.答案：14.（2013年高考文科10）已知圆柱的母线长为，底面半径为，是上底面圆心，、是下底面圆周上两个不同的点，是母线，如图若直线与所成角的大小为，则_ _.答案：二、选择题1.（2009年高考文科16）如图，已知三棱锥
4、的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）答案：B三、解答题1.（2009年高考理科19）如图，在直三棱柱中，,求二面角的大小答案：如图，建立空间直角坐标系则 A，C，A1，B1，C1， 设AC的中点为M，BMAC，BMCC1， BM平面AC1C，即=是平面AC1C的一个法向量。设平面A1B1C的一个法向量是=，=，=， =0，=，解得。=， 设法向量与的夹角为，二面角 2.（2010年高考理科21）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝骨架将圆柱底面8等分再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和
5、下底面（不安装上底面）（1）当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（精确到0.01平方米）；（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型霓虹灯所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数值表示）A1A2A3A4A5A6A7A8B1B2B3B4B5B6B7B8答案：（1） 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2-2r(0r0.6)，S=-3p(r-0.4)2+0.48p，所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米；（2） 当r=0.3时，l=0.6，建立空间直角坐标系，可得，设向量与的夹角为q，则，所以A1B3、A3B5所在
6、异面直线所成角的大小为3.（2010年高考文科20）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）（1） 当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；（2） 若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）答案：（1） 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2-2r(0r0.6)，S=-3p(r-0.4)2+0.48p，所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米；（2） 当r=0.3时，l=0.6，作
7、三视图略4.（2011年高考理科21）已知是底面边长为1的正四棱柱，为与的交点.（1）设与底面所成角的大小为，二面角的大小为求证：；（2）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高答案：解：设正四棱柱的高为 连，底面于， 与底面所成的角为，即 ，为中点，又， 是二面角的平面角，即 ，. 建立如图空间直角坐标系，有，设平面的一个法向量为， ，取得 点到平面的距离为，则5.（2011年高考文科20）已知是底面边长为1的正四棱柱，高（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求四面体的体积答案： 连， ， 异面直线与所成角为，记， 异面直线与所成角为. 连，则所求四面体的体积6.（201
8、2年高考理科19）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，求：（1）三角形的面积（2）异面直线与所成的角的大小.答案：（1）因为PA底面ABCD，所以PACD，又ADCD，所以CD平面PAD， 从而CDPD. 因为PD=，CD=2， 所以三角形PCD的面积为. （2）解法一如图所示，建立空间直角坐标系， ABCDPExy 则B(2, 0, 0)，C(2, 2,0)，E(1, , 1)， ，. 设与的夹角为q，则，q=. 由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是 解法二取PB中点F，连接EF、AF，ABCDzPE则EFBC，从而AEF（或其补角）是异面直线BC与AE所成的角 在中
9、，由EF=、AF=、AE=2，知是等腰直角三角形， 所以AEF=. 因此异面直线BC与AE所成的角的大小是 7.（2012年高考文科19）如图，在三棱锥中，底面，是的中点，已知，求：（1）三棱锥的体积（2）异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）答案：（1），三棱锥P-ABC的体积为. （2）取PB的中点E，连接DE、AE， PABCDE则EDBC，所以ADE（或其补角）是异面直线BC与AD所成的角. 在三角形ADE中，DE=2，AE=，AD=2，所以ADE=. 因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是. 8.（2013年高考理科19）如图，在长方体中，. 证明直线平行于平面，并求直线到平面的距离答案：建立空间直角坐标系，可得的有关点的坐标为、设平面的法向量为，则，因为，所以，解得，取，得平面的一个法向量因为，所以，所以又不在平面内，所以直线与平面平行由，得点到平面的距离，所以直线到平面的距离为9.（2013高考文科19）如图，正三棱锥的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积答案：由已知条件可知，正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，经计算得底面的面积为所以三棱锥的体积为设是正三角形的中心由正三棱锥的性质可知，垂直于平面延长交于，得，又因为，所以正三棱锥的斜高故侧面积为所以该三棱锥的表面积为，因此，所求三棱锥的体积为，表面积为10
