1、 第一章信号及其描述 1-1 求周期方波（见图 1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出 |cn| 和 n 图，并与表 1-1对比。 解答：在一个周期的表达式为 00( 0 )2()( 0 )2TAtxt TAt . 积分区间取（ -T/2， T/2） 000 0 000022020 0 021 1 1( ) d = d + d= ( c os - 1) ( = 0, 1, 2, 3, )TTjn t jn t jn tTTnc x t e t A e t A e tT T TAj n nn 所以复指数函数形式的傅里叶级数为 001( ) ( 1 c o s )jn t jn tnnnAx
2、 t c e j n en ， = 0 , 1 , 2 , 3 , n 。 ( 1 c os ) ( = 0, 1, 2, 3, )0nInRAcnnnc 222 1 , 3 , ,( 1 c o s )0 0 , 2 , 4 , 6 , n n R n IA n Ac c c n nnn 1 , 3 , 5 ,2a r c ta n 1 , 3 , 5 ,20 0 , 2 , 4 , 6 ,nInnR nc ncn 图 1-4 周期方波信号波形图 0 t x(t) T02T02 0T A -A T0没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。 1-3 求指数函数 ( ) ( 0 , 0 )atx t
3、A e a t 的频谱。 解答： ( 2 )220 220 ( 2 )( ) ( ) ( 2 ) 2 ( 2 )a j f tj f t a t j f t e A A a j fX f x t e d t A e e d t Aa j f a j f a f 22() ( 2 )kXf af I m ( ) 2( ) a r c t a n a r c t a nR e ( )X f ff X f a 1-4 求符号函数 (见图 1-25a)和单位阶跃函数 (见图 1-25b)的频谱。 |cn| n /2 -/2 0 0 30 50 30 50 2A/ 2A/3 2A/5 幅频图 相频图 周
4、期方波复指数函数形式频谱图 2A/5 2A/3 2A/ -0 -30 -50 -0 -30 -50 单边指数衰减信号频谱图 f |X(f)| A/a 0 (f) f 0 /2 -/2 a)符号函数的频谱 10( ) sgn( ) tx t tt t=0 处可不予定义，或规定 sgn(0)=0。 该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。 可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号 x1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数 x(t)的 频谱。 1 0( ) sgn ( ) 0atatatetx t e t et 10( ) sgn( )
5、lim ( )ax t t x t02 2 211 2204( ) ( ) ( 2 )j f t a t j f t a t j f t fX f x t e d t e e d t e e d t j af 10 1( ) s g n ( ) l i m ( )aX f t X f j f F 1()Xf f 02()02fff 1( ) sgn( )atx t e t 符号函数 t x1(t) 0 1 -1 符号函数频谱 f (f) 0 /2 0 f |X(f)| -/2 t sgn(t) 0 1 -1 t u(t) 0 1 图 1-25 题 1-4 图 a)符号函数 b)阶跃函数 b)阶
6、跃函数频谱 10() 00tut t 在跳变点 t=0处函数值未定义，或规定 u(0)=1/2。 阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。 解法 1：利用符号函数 11( ) sgn( )22u t t 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) sg n ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2U f u t t f j f jff F F F 2 211( ) ( )2U f f f 结果表明，单位阶跃信号 u(t)的频谱在 f=0 处存在一个冲激分量，这是因为 u(t)含有直流分量，在预料之中。同时，由于 u(t)
7、不是纯直流信号，在 t=0 处有跳变， 因此在频谱中还包含其它频率分量。 解法 2：利用冲激函数 10( ) ( )d 00t tut t 时时 根据傅里叶变换的积分特性 1 1 1 1( ) ( ) d ( ) ( 0 ) ( ) ( )2 2 2tU f f f f jj f f F1-5 求被截断的余弦函数 0cost (见图 1-26)的傅里叶变换。 单位阶跃信号频谱 f |U(f)| 0 (1/2) f (f) 0 /2 -/2 0c o s()0 t t TxttT 解： 0( ) ( ) c o s( 2 )x t w t f t w(t)为矩形脉冲信号 ( ) 2 s in c
8、 ( 2 )W f T T f 00220 1c o s ( 2 ) 2 j f t j f tf t e e 所以002211( ) ( ) ( )22j f t j f tx t w t e w t e 根据频移特性和叠加性得： 000011( ) ( ) ( )22sinc 2 ( ) sinc 2 ( ) X f W f f W f fT T f f T T f f 可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f0，同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。 1-6 求指数衰减信号 0( ) sinatx t e t 的频谱 解答
9、： 指数衰减信号 x(t) f X(f) T f0 -f0 被截断的余弦函数频谱 图 1-26 被截断的余弦函数 t t T -T T -T x(t) w(t) 1 0 0 1 -1 000 1s in ( ) 2 j t j tt e ej 所以 001() 2 j t j tatx t e e ej 单边指数衰减信号 1 ( ) ( 0 , 0 )atx t e a t 的频谱密度函数为 11 220 1( ) ( ) j t a t j t ajX f x t e d t e e d t a j a 根据频移特性和叠加性得： 001 0 1 0 2 2 2 22 2 20 0 02 2
10、2 2 2 2 2 20 0 0 0( ) ( )11( ) ( ) ( )2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) a j a jX X Xj j a aaa ja a a a 1-7 设有一时间函数 f(t)及其频谱如图 1-27 所示。现乘以余弦型振荡00cos ( )m t 。在这个关系中，函数 f(t)叫做调制信号，余弦振荡 0cost 叫做载波。试求调幅信号 0( )cosft t 的傅里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若 0 m 时将会出现什么情况？ 解： 0( ) ( ) cos( )x t f t t 图 1-27 题 1-7 图 F() 0
11、 f(t) 0 t -m m 0 0 X() - () 指数衰减信号的频谱图 ( ) ( )F f t F 000 1c o s ( ) 2 j t j tt e e 所以0011( ) ( ) ( )22j t j tx t f t e f t e 根据频移特性和叠加性得： 0011( ) ( ) ( )22X f F F 可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频 0，同时谱线高度减小一半。 若 0 m 将发生 混叠。 2-2 用一个时间常数为 0.35s 的一阶装置去测量周期分别为 1s、 2s 和5s的正弦信号，问稳态响应幅值误差将是多少？ 解：设一阶系统 1()
12、 1Hs s ， 1()1H j 2 211( ) ( )21 ( ) 1 ( )AHT ， T是输入的正弦信号的周期 稳态响应相对幅值误差 1 10 0%A ，将已知周期代入得 5 8 . 6 % 1 s3 2 . 7 % 2 s8 . 5 % 5 sTTT2-3 求周 期信号 x(t)=0.5cos10t+0.2cos(100t45)通过传 递函数为H(s)=1/(0.005s+1)的装置后得到的稳态响应。 f X(f) 0 -0 矩形调幅信号频谱 解： 1()1 0.0 0 5H j ，21() 1 ( 0 .0 0 5 )A ， ( ) a rc ta n (0 .0 0 5 ) 该装
13、置是一线性定常系统，设稳态响应为 y(t)，根据线性定常系统的频率保持性、比例性和叠加性得到 y(t)=y01cos(10t+1)+y02cos(100t45+2) 其中0 1 0 1 21( 1 0 ) 0 . 5 0 . 4 9 91 (0 . 0 0 5 1 0 )y A x ，1 ( 1 0 ) a r c ta n ( 0 . 0 0 5 1 0 ) 2 . 8 6 0 2 0 2 21( 1 0 0 ) 0 . 2 0 . 1 7 91 (0 . 0 0 5 1 0 0 )y A x ，2 ( 1 0 0 ) a r c t a n ( 0 . 0 0 5 1 0 0 ) 2 6
14、. 5 7 所以稳态响应为 ( ) 0 . 4 9 9 c o s ( 1 0 2 . 8 6 ) 0 . 1 7 9 c o s ( 1 0 0 7 1 . 5 7 )y t t t 2-5 想用一个一阶系统做 100Hz 正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在 5%以内，那么时间常数应取多少？若用该系统测量 50Hz 正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？ 解：设该一阶系统的频响函数为 1()1H j ， 是时间常数 则 21() 1 ( )A 稳态响应相对幅值误差21( ) 1 1 0 0 % 1 1 0 0 %1 ( 2 )A f 令 5%， f=100Hz，解得 523s。 如果
15、f=50Hz，则 相 对 幅 值 误 差 ：2 6 2111 1 0 0 % 1 1 0 0 % 1 . 3 %1 ( 2 ) 1 ( 2 5 2 3 1 0 5 0 )f 相角差： 6( ) a r c t a n ( 2 ) a r c t a n ( 2 5 2 3 1 0 5 0 ) 9 . 3 3f 2-7 将信号 cost 输入一个传递函数为 H(s)=1/(s+1)的一阶装置后，试求其包括瞬态过程在内的输出 y(t)的 表达式。 解答：令 x(t)=cost，则22() sXs s ，所以 221( ) ( ) ( ) 1 sY s H s X s ss 利用部分分式法可得到 2
16、1 1 1 1 1 1() 11 ( ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 )Ys j s j j s js 利用逆拉普拉斯变换得到 1222/22/21 1 1( ) ( ) 1 ( ) 2( 1 ) 2( 1 )1 ( )1 ( ) 2 1 ( ) 1c os sin1 ( )11 ( ) c os( a r c ta n )1 ( )tj t j tt j t j t j t j ttty t Y s e e ejje e j e eet t ete L2-8 求频率响应函数为 3155072 / (1 + 0.01j)(1577536 + 1760j - 2)的系统对正弦输入 x(t)=10
17、sin(62.8t)的稳态响应的均值显示 。 解：该系统可以看成是一个一阶线性定常系统和一个二阶线性定常系统的串联，串联后仍然为线性定常系统。根据线性定常系统的频率保持性可知，当输入为正弦信号时，其稳态响应仍然为同频率的正弦信号，而正弦信号的平均值为 0，所以稳态响应的均值显示为 0。 2-9 试求传递函数分别为 1.5/(3.5s + 0.5)和 41n2/(s2 + 1.4ns + n2)的两环节串联后组成的系统的总灵敏度（不考虑负载效应）。 解： 11 1 . 5 3() 3 . 5 0 . 5 7 1 7 1KHs s s s ，即静态灵敏度 K1=3 22 22 2 2 2 241(
18、) 1 .4 1 .4nnn n n nKHs s s s s ，即静态灵敏度 K2=41 因为两者串联无负载效应，所以 总静态灵敏度 K = K1 K2 = 3 41 = 123 2-10 设某力传感器可作为二阶振荡系统处理。已知传感器的固有频率为800Hz，阻尼比 =0.14，问使用该传感器作频率为 400Hz 的正弦力测试时，其幅值比 A()和相角差 ()各为多少？若该装置的阻尼比改为 =0.7，问 A()和()又将如何变化？ 解：设 222() 2 n nnH ss ，则 2221()12nnA ， 22( ) a r c ta n1nn，即 2221()12nnAfff ， 22(
19、) a r c ta n1nnfffff 将 fn = 800Hz， = 0.14， f = 400Hz，代入上面的式子得到 A(400) 1.31， (400) 10.57 如果 = 0.7，则 A(400) 0.975， (400) 43.03 2-11 对一个可视为二阶系统的装置输入一单位阶跃函数后， 测得其响应的第一个超调量峰值为 1.5,振荡周期为 6.28s。设已知该装置的静态增益为 3，求该装置的传递函数和该装置在无阻尼固有频率处的频率响应。 解：22011 0. 21 511 l n( 1. 5 / 3 )l n( / )M Kx 因为 d = 6.28s，所以 d = 2/d = 1rad/s 221 1 . 0 2 4 r a d /s1 1 0 . 2 1 5dn 所以 22 2 23 3 .1 5() 2 0 .4 4 1 .0 5nnnHs s s s s 22 2 23 3 .1 5() 2 1 .0 5 0 .4 4nnnH jj 2223()1 0 . 4 4nnA 22( ) a r c ta n1nn
