1、二 次 函 数一、定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.例：已知关于x的函数）当a,b,c满足什么条件时 （1）是一次函数 （2）是正比例函数 （3）是二次函数yxO二、二次函数是常数，的性质（1）当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点.越大，开口越小。（2）顶点是，对称轴是直线（3）当时，在对称轴左边，y随x的增大而减小；在在对称轴右边，y随x的增大而增大；当时，在对称轴左边，y随x的增大而增大；在在对称轴右边，y随x的增大而减小。（4） 轴与抛物线得交点为(0,) 例：1、（2011四川重庆，7，4分）已知抛物线yax2bxc(a0)在平面直角坐标系中的
2、位置如图所示，则下列结论中正确的是( D )山东威海题图A a0 B b0 C c0 D abc0练习：1、（2011山东威海，7，3分）二次函数的图象如图所示当y0时，自变量x的取值范围是（ A ）A1x3Bx1C x3Dx1或x32、（2010湖北孝感，12，3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：ac0；a+b=0；4acb2=4a；a+b+c0.其中正确的个数是（ C ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4三、求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：，顶点是，对称轴是直线. （2）配方法：的顶点为(,)，对称轴是直线.(3)利用交点
3、式求对称轴及顶点：，对称轴为例1、求下列各抛物线的顶点和对称轴： （1） （2） （3）例2、2011江苏淮安，14，3分）抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标是 .（1，4）四、抛物线的平移方法1：计算机两条抛物线的顶点，由顶点判定平移情况方法2：将函数换成顶点式，用口决“（x）左加右减，上加下减”例1、抛物线经过怎样平移得到答案：向右平移3，再向下移5个单位得到；例2、（2011四川乐山5，3分）将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（A） A B C D例3、（ 2011重庆江津， 18，4分）将抛物线y=x22x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_.（y=(x
4、-5)2+2 或 y=x2-10x+27）练习：1、抛物线经过怎样平移得到2、抛物线向左平移2个单位，再向上移3个单位得到，求b和c。3、（2011山东滨州，7，3分）抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是( B )A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位五、用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常
5、选用交点式：. (4)一般式与顶点式的变换例：1、根据已知条件确定下列函数的解析式：（1）已知抛物线过（2）已知抛物线的顶点在x轴上，且过点（1，0）、（2，4）；（3）已知抛物线的顶点坐标为（2，0），过点（1，4）例2、将（）练习：1、将 2、（2011山东济宁，12，3分）将二次函数化为的形式，则（）七、与一元二次方程的关系000方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程没有实数根抛物物与x轴有两个交点抛物物与x轴只有一个交点抛物物与x轴没有交点韦达定理：（二者都可以用）例1、（2011台湾台北，32）如图(十四)，将二次函数的图形画在坐标平面上，判断方程式的两根，下列叙述何者正
6、确？（ A ）A两根相异，且均为正根 B两根相异，且只有一个正根 C两根相同，且为正根 D两根相同，且为负根例2、.抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，则AB的长为 4 ，三角形ABC的面积是 6 。 练习：1.已知二次函数的图象经过点（1，1）求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数（，两个交点）2.（2011湖北襄阳，12，3分）已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ B ）A.B.C.且D.且 3、（2011广东东莞，15，6分）已知抛物线与x轴有交点 (1)求c的取值范围；(2)试确定直线ycx+l经过的象限，并说明理由八、二次函数的应用1、求是常
7、数，最大值或最小值，函数有最小值为顶点的纵坐标，此时x等于顶点的横坐标；，函数有最大值为顶点的纵坐标，此时x等于顶点的横坐标。2、面积问题，主要利用各种图形的面积公式，如三角形面积底3、利润问题：利润销量（售价进价）其他4、拱桥问题例1、（2011广东肇庆，10，3分）二次函数有（ D ）A 最大值B 最小值C 最大值D 最小值例2 、一块矩形耕地大小尺寸如图所示（单位：m），要在这块土地上沿东西方向挖一条水渠，沿南北方向挖两条水渠，水渠的宽为x（m），余下的可耕地面积为y（）。（1） 请你写出y与x之间的解析式；（2） 根据你写出的函数解析式，当水渠的宽度为1m时，余下的可耕地面积为多少？（
8、3） 若余下的耕地面积为4408，求此时水渠的宽度。例3、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m（件）与每件的销售价x(元)满足一次函数：m=162-3x.（1） 写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；（2） 如果商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的定价为多少最合适？最大销售利润为多少？练习：1、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品。据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请解答下列问题:（1） 当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量
9、和月销售利润；（2） 设销售单价为每千克X元，月销售利润为Y元，求Y与X的函数关系式(不必写出X的取值范围）；（3） 商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000 元，销售单价应定为多少？ 2、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面111000的比例图上，跨度AB5 cm，拱高OC0.9 cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DEAB，如图（1）在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2） （1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域； （2）如果DE与AB的距离OM0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）3、. 如图6，一单杠高2.2m，两立柱之间的距离为1.6m，将一根绳子的两端拴于立柱与横杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线形状，一身高0.7m的小孩站在离左边立柱0.4m处，其头部刚好触到绳子，求绳子最低点到地面的距离。（答案：0.2m）图6附表.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下（轴）（0,0）（轴）(0, )(,0)(,)()6
