1、 第 1 页 共 4 页 线性代数 B 卷 复习资料 一、 单项选择题 1.若齐次线性方程组000321321321xxxxxxxxx 有非零解 ,则 ( C ) A .1或 B . 1或 2 C .1或 2 D . 1或 2. 2.已知 4 阶矩阵 A 的第三列的元素依次为 2,2,3,1 ，它们的余子式的值分别为 1,1,2,3 ，则 A ( A ) A .5 B .-5 C .-3 D .3 3.设 A、 B均为 n阶矩阵，满足 OAB ，则必有 ( D ) A . 0BA B . ） BrAr ( C . OA 或 OB D . 0A 或 0B 4. 设 21, 是非齐次线性方程组 b
2、XA 的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是 ( B ) A B 21 2351 C 21 221 D 21 5. 若二次型 323121232221 66255 xxxxxxkxxxf 的秩为 2，则 k ( C ) A . 1 B .2 C . 3 D . 4 二、 判断题 （正确的在括号内填“”，错误的在括号内填“”。） 1.设矩阵 A 的秩为 r，则 A 中所有 r-1 阶子式都不为 0。 ( ) 2.设 A是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC，则必有 |A| 0时 B=C。 ( ) 3.设 A是 s n矩阵，则齐次线性方程组 Ax 0 有 非零解的充分必要条件是 A 的列向量组线
3、性相关 。 ( ) 4.若 ， ， ， 是线性方程组 AX 0的基础解系，则 是 AX0的 A的行向量。 ( ) 5. n 阶方阵 A满足 A 3A E 0，则 A-1 A 3E。 ( ) 三、填空题 第 2 页 共 4 页 1.设 T)1,2,1( ,设 TA ，则 6A 12124212166 55 A 。 2.设 A 为 n 阶可逆矩阵， *A 为 A 的伴随矩阵，若 是矩阵 A 的一个特征值，则 *A 的一个特征值可表示为 1A 。 3. 若 3121232221 2232 xxxtxxxxf 为 正 定 二 次 型 ， 则 t 的范围是 3535 t 。 4.设向量 TT )1,2,
4、2,1(,)2,3,1,2( ，则 与 的夹角 2 。 5. 若 3 阶矩阵 A 的特征值分别为 1， 2， 3，则 EA 24 四、 计算题 1.计算 n 阶行列式abbbabbbaD n 解：abbabbbnaabbbabbbaD n111)1( 1)()1(00001)1( nbabnabababbbna2. 设 BA, 均为 3阶矩阵，且满足 BAEAB 2 ，若矩阵101020101A ，求矩阵 B 。 解： BAEAB 2 EABAB 2 )()( EAEABEA 因为001010100EA 显然可逆 第 3 页 共 4 页 则 201030102101020101EEAB 3.
5、已知线性方程组axxxxxxxxxxxx4321432143219105363132 （ 1） a为何值时方程组有解？（ 2）当方程组有解时求出它的全部解（ 用解的结构表示） . 解： 5000011210040011612602242013211910513163113211aaa当 5a 时，线性方程组有解 即 43241 21 4 xxx xx ，特解为00100 ， 其导出组的一般解为 43241 2 4xxx xx ，基础解系为1014,012021 原线性方程组的通解为 2122110 ,( kkkk 为任意常数） 4. 设矩阵 20 01,11 41 DP，矩阵 A 由关系式 D
6、APP 1 确定，试求 5A 解：由 DAPP 1 ，得 1PDPA 155 PPDA 11 4131320 0111 4111 413120 0111 415 1211 444311 41321 1 2 8131 第 4 页 共 4 页 5.将二次型 323121232221321 4222),( xxxxxxxxxxxxf 化为标准形， 并写出相应的可逆线性变换。 解：f x x x x x x x x x x x x( , , )1 2 3 12 22 32 1 2 1 3 2 32 2 2 4 =x x x x x x x x1 1 2 3 2 3 2 22 2 32 2 ( ) (
7、)=( ) ( )x x x x x1 2 3 2 2 3 2 32 令y x x xy x xy x1 1 2 32 2 33 3 即作线性变换x y yx y yx y1 1 22 2 33 3 可将二次型化成标准形f y y y 12 22 32五、证明题 已知 3阶矩阵 OB ，且矩阵 B 的列向量都是下列 齐次线性方程组的解 030202321321321xxxxxxxxx ，（ 1）求 的值；（ 2）证明： 0B 。 证明：因为 OB ，所以齐次线性方程组有非零解，故其方程组的系数行列式 0511312121 ，所以0 3 分 （ 2）000250121113012121A ， 2)( Ar ，因 此齐次线性方程组的基础解系所含解的个数为 3-2=1，故 1)( Br ，因而 0B 。
