1、,第一节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、 偏导数概念及其计算,二 、高阶偏导数,偏导数与全微分,第十二章,一、 偏导数定义及其计算法,引例:,研究气体的状态方程 PV=RT.,等温过程中体积关于压强P的变化率,在物理学中经常考虑： 等压过程下的气体体积关于温度的变化率问题,(R是普适气体常数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,将状态方程写成,其中P为常数,其中T为常数,在数学上就等价于要研究二元函数当一个变量不变时，关于另一个变量的导数问题。,在等压过程中，气体体积关于温度的导数大于0，这说明此时体积随温度的变化而单调增加，即 温度上升时体积增大，温度下降时体积减少,机动 目录
2、上页 下页 返回 结束,这些是熟悉的物理规律。,为此，我们引入偏导数的概念。,在等温压过程中，气体体积关于压强的导数小于0，这说明此时体积随压强的变化而单调减少，即 压强增大时体积收缩，压强减少时体积膨胀,定义1.,在点,存在,的偏导数，记为,的某邻域内,则称此极限为函数,极限,设函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,同样可定义对 y 的偏导数,若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x,则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数 ,记为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,或 y 偏导数存在 ,二元函数偏导数的几何意义:,是曲线,在点
3、M0 处的切线,对 x 轴的斜率.,在点M0 处的切线,斜率.,是曲线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对 y 轴的,例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,偏导数定义为,(请自己写出),因此,计算多元函数的偏导数，就可以按照一元函数的求导法则和求导公式进行。,多元函数的偏导数就是多元函数分别关于每一个自变量的导数 （不求导数的其它变量看成常数）.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1 . 求,解法1:,解法2:,在点(1 , 2) 处的偏导数.,机动
4、 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 设,证:,例3. 求,的偏导数 .,解:,求证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,从以上例子我们注意到如下事实： 若在f(x,y)的表达式中将x换为y,同时将y换为x时，表达式不变，则称函数f(x,y)对x，y时有轮换对称性。 对具有轮换对称性的函数，如果已经求得偏导数 ，则只要在 的表达式中将x 换成 y，同时将y 换成x，就可得到 。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如： 例1，例3 .,这种方法可以推广到二元以上的函数 .,“可导必连续”是一元函数中所熟悉的性质，但在多元函数来讲，类似的性质并不成立。,显然,例如,注意：,即函数偏导数存在，
5、但不一定连续.,上节例 目录 上页 下页 返回 结束,但 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!,偏导数记号是一个,例4. 已知理想气体的状态方程,求证:,证:,说明:,(R 为常数) ,不能看作,分子与分母的商 !,此例表明,机动 目录 上页 下页 返回 结束,整体记号,二、高阶偏导数,设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z = f ( x , y ),的二阶偏导数 .,按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,数:,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z = f (x , y) 关于
6、x 的三阶偏导数为,z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶,机动 目录 上页 下页 返回 结束,偏导数为,例6. 证明函数,满足拉普拉斯,证：,利用对称性 , 有,方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 求函数,解 :,注意:此处,但这一结论并不总成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的二阶偏导数及,例如,二者不等,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明 目录 上页 下页 返回 结束,我们有下面的定理：,那么一个函数具有什么条件时，它的二阶混合偏导数与求导的顺序无关呢？,则,本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.,证:令,则,则
7、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理.,令,同样,在点,连续,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明 目录 上页 下页 返回 结束,类似, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,说明:,函数在其定义区域内是连续的 ,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数,在点 (x , y , z) 连续时, 有,而初等,例6. 设,即 xy0 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7,设,方程,确定 u 是 x , y 的函数 ,连续, 且,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8,设,计算,（其中P,q为
8、正整数）。,因此，关于y用Leibniz公式得,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,关于x再用一次Leibniz公式就得：,内容小结,1. 偏导数的概念及有关结论,定义; 记号; 几何意义,函数在一点偏导数存在,函数在此点连续,混合偏导数连续,与求导顺序无关,2. 偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法,先代后求,先求后代,利用定义,求高阶偏导数的方法,逐次求导法,(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序),机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P151 1 (2), (6), (8), (11), (14); 3, 4, 18 P153 16(2)(3)(6),第三节 目录 上页 下页 返回 结束,
