第25届全国中学生物理竞赛决赛试题.DOC

1、第25届全国中学生物理竞赛决赛试题一、足球比赛，一攻方队员在图中所示的A处沿Ax方向传球，球在草地上以速度v匀速滚动，守方有一队员在图中B处，以d表示A，B间的距离，以表示AB与Ax之间的夹角，已知90。设在球离开A处的同时，位于B处的守方队员开始沿一直线在匀速运动中去抢球，以vp表示他的速率。在不考虑场地边界限制的条件下，求解以下问题（要求用题中给出的有关参量间的关系式表示所求得的结果）：1求出守方队员可以抢到球的必要条件。2如果攻方有一接球队员处在Ax线上等球，以lr表示他到A点的距离，求出球不被原在B处的守方队员抢断的条件。3如果攻方有一接球队员处在Ax线上，以L表示他离开A点的距离。在

2、球离开A处的同时，他开始匀速跑动去接球，以vr表示其速率，求在这种情况下球不被原在B处的守方队员抢断的条件。二、卫星的运动可由地面观测来确定；而知道了卫星的运动，又可以用它来确定空间飞行体或地面上物体的运动。这都涉 时间 空间 的测定。 ，不考虑地球的， 它 系。1 来考虑卫星运动的测定。设不考虑 。在卫星上 有 的 度的原。设卫星上 出的 currency1，都“currency1 出的时这一。（fi）地面观测系fl（“ 观测）可用 中接 到的这一， 所处的已知位 的时来确定卫星一时的位 ，而测定卫星的运动。这种测量系fl”要“地面观测 出可以确定卫星位 的方 。（）设有观测D1，D2， 位

3、于同一线上 （位：（）处。它 同时 到时间之卫星 出的 currency1。（i）求出 出 时卫星距地面的 度H；（ii） D1，D2处观测位 的度有的 时，求H的 ；（iii）如果上 的时间有的 ，求H的 。2在 1（）题中， 45， 0.10s。（i）问卫星 出 时卫星距地面 度H （ii） 1.0，定出的H有 （iii） 0.010s，定出的H有 设地球 R 6.38103km的球体， 速c 2.998108m/s，地面处的 速度g 9.81m/s2。3 来考虑参 卫星的运动来测定一物体的运动。设不考虑 。设卫星 出的 currency1“卫星运动 的， currency1 出的时 时卫

4、星所处的位 。 设被观测物体上有一 卫星currency1接 （设其上有时），而可知这。 了用这种来确定物体的运动 ， 物体接 到卫星currency1时物体 时所处的位 以 时的时，一来 物体”要同时接 到不同卫星 来的currency1出确定 时物体的位 时的方 。4 ，运动的比 的。 ，在 场中 。在来考虑在上 测量中 的这种 。已知 上卫星的与地面观测的 点已。设卫星在离地面h 2.00104km的道上运行，地球 R 速c 地面 速度g 2题中给的 。（fi） ， 地上的过24h后它的示数与卫星上的的示数 设在处理这一问题时，可以 匀速直线运动中时走的 式用于匀速周运动。（） ，在 场

5、中 的因 （12/c2）1/2， 所在位 的 势（ 势能与受 作用的物体质量之比； 无限远处 势 ）的。问地上的24h后，卫星上的的示数与地上的的示数 1三、致冷机 通过外界 机 功， 低温处吸 的热量连同外界 机 功所得到的能量一起送到 温处的机 ；它能使低温处的温度降低， 温处的温度升 。已知 致冷机工作在绝 温度 T1的 温处 绝 温度 T2的低温处之间时， 致冷机低温处吸 的热量 Q，外界 致冷机 的功 W，则有，式中“ ” 于理 上的理想情况。某致冷机在冬 作 热泵使用（ 暖空调机），在室外温度 5.00的情况下，使某房间内的温度保在20.00。由于室内温度 于室外，故将有热量室内传

6、递到室外。本题只考虑传导方式的传热，它服以下的规律：设一块导热层，其厚度 l，面积 S，侧温度 的 T，则位时间内通过导热层由 温处传导到低温处的热量 H kS，其中k称 热导率， 决于导热层材料的 质。1设房间向外散热 由面向室外的面积S 5.00m2 厚度l 2.00mm的玻璃板 起的。已知玻璃的热导率k 0.75W/（mK）， 费 度0.50元。求在理想情况下热泵工作12h要 费 2 将上 玻璃板换 “双层玻璃板”，层玻璃的厚度均 2.00mm，玻璃板之间夹有厚度l0 0.50mm的空气层，设空气的热导率k0 0.025W/（mK）， 费仍 度0.50元。 热泵仍然工作12h，问这时的

7、费比上一问层玻璃情节省 四、如图1所示， 件由 互紧密接触的金属层（M） 薄绝缘层（I） 金属层（M）构成。按 典物理的观点，在I层绝缘 能理想的情况下， 不可能一金属层穿过绝缘层到达另一金属层。但 ，按 量物理的原理，在一定的条件下，这种渡越 可能的习 上将这一过 称 隧穿，它 具有 动 的结果。隧穿 的过 ， 立的事件，通过绝缘层 移的 荷量只能 荷量e（e 1.6010-19C）的整数倍，因此也称 隧穿，MIM 件亦称 隧穿结或 隧穿结。本题涉 隧穿过 控制的库仑阻塞原理，由于此可望制成尺寸的 件，这 目研究得 有 用景的领域。1显示库仑阻塞原理的 的 法 将图1的 件看成一 容 C的

8、容 ，如图2所示。 容 板上的 荷来 于金属 板上导 于 荷 景的位移，可以连 。如所 ，以隧穿方式通过绝缘层的只能 立的 荷。如果隧穿过 导致体系 能量上升，则此过 不能 ，这种 称 库仑阻塞。求出 库仑阻塞的条件 容 板间的 势 VAB VAVB在 内 隧穿过 被 。2定VAB 0.10mV 能 隧穿的 。 容C的。3将图1的 件与 V的 接时，通 用图2所示的双结构 件来观 隧穿， 散 容的 。中间的金属块层称 。作 的 金属块层 S，D。 已知 中有 荷量ne，其中 数n可 整数或 ，e 荷量的，MIM 结的 容 CS CD。 双结结构 件的 能中与 上 荷量 关的 能（ 称 的 能）

9、 Un 。4在图3给出的具有 （S） （D） 双结结构的上，通过 连接的 容CG （G）构成如图4给出的 结构， 间有 隧穿事件 。在Vcurrency1定的情况下，通过 VG可控制 中的 数n。 于VG如“2控制n， 的 将VG的作用 中fi 了等 荷q0 CGVG。这时， 的能可fl Un （neq0）2/2C，式中C CSCDCG。用方图（图5），考虑库仑阻塞 ，用线出 中 数n 0开始，CGVG/e由0 到3的过 中， 的 能UnCGVG 的图线（ 表示Un， Un的位 e2/2 C； 表示CGVG ， CGVG的位 e）。要求 出关点的 ， n 0，1，2，3时CGVG/e的 ”在表

10、中。（此题只按作图 所”表（表1） ）。表1n 0 1 2 3CGVG/e 五、 率n 1.50 R的 体在空气中，其 直于 体线的面如图所示，图中O点 面与线的点。 体的面AB ，一足 的行 沿 直于 的方向以 角i ”AB整面上，其中有一 能通过 体 面 出。这 在 到AB面上时沿y方向的度用d表示。本题不考虑 线在 体内一或 后 出 体的 情。1 行 的 角i在0 90 时，求d的 dmin dmax。2在如图所示的面内，求出 与 面 的 O点的 角与 角i的关系。求在 时上 的位 。六、 ， 线在星体的 场中 ，在“ 中 的面内 一条在中 fifl 的 线。它距离 中 fl的点称 线的

11、fl星点。通过fl星点与 中 的直线 线的 称。 在 线所在面内 中 面 （r，）的原点， 线的 称 ，则 线方 （ 的 方 ） r ，G 有 量，M 星体质量，c 速，a 绝 远于1的参数。在设离地球80.0 处有一星体，在它与地球连线的中点处有一 星。如果过 星侧的星 地球上的观测所 的角 1.8010-7rad，问此 星的质量 已知G 6.67310-11m3/（kgs2）七、1设 原 用玻 ， 都在以 中 的周上运动， 同，角动量均 ： h/2，其中h 量。（I）如果 间的 互作用，原的一 离能 一 离能 其中一 移到无限远所要的能量。（II） 测得的原一 离能 24.6eV。 在上

12、玻 的上来考虑 之间的 互作用，一 设 处于通过 的一条直 的 。用此 设，求出 运动道的 r0 能量E0以 一 离能E+，与 测得的原一 离能 比。已知 质量m 0.511MeV/c2，c 速， 量c 197.3MeVfm 197.3eVnm，ke21.44MeVfm 1.44eVnm，k 量，e 本 荷量。2 图 某种穿过 室 下的 的 。 在面内，图的中间 一块与面直的板，外 定匀场的方向 直面向 。设 荷的 一本 荷量e：e 1.6010-19C，板下 的 率 rd 210mm，板上 的 率 ru 76.0mm，板内的 与板法线成 15.0，板厚度d 6.00mm， 度B31.00T，

13、质量m 9.1110-31kg 0.511MeV/c2。不考虑 室中气体 的阻 。（fi） 出运动的方向 荷的 。（）问板在穿过 间所受的 均 牛 （）设 向板的不 一，而 速 出的流量 j 5.001018/s的脉冲，一脉冲 时间 2.50ns。问板在此脉冲穿过 间所受的 均 牛 板在此 间吸 的热量又 焦 4第25届全国中学生物理竞赛决赛参考解答一、1 。解法一：设守方队员过时间 t 在 Ax 上的 C 点抢到球，用 l 表示 A 与C 之间的距离，lp 表示 B 与 C 之间的距离（如图1所示），则有l vt ，lp vpt （1）l d 2 + l2 2dlcos。 （2）解式（1），

14、（2）可得l cos （ ）2 sin2 1 / 2 。 （3）由式（3）可知，球被抢到的必要条件 式有 数解， vp vsin 。 （4）解法二：设 BA 与 BC 的夹角 （如图1）。按 弦定理有。用式（1）有。 sin 1可得必要条件（4）。2。用 lmin 表示守方队员能抢断球的地方与 A 点间的 距离。由式（3）知lmin cos （ ）2 sin2 1 / 2 。 （5）攻方接球队员到 A 点的距离于 lmin ，则他将 控制球而不被守方队员抢断。故球不被抢断的条件 lr lmin 。 （6）由（5），（6）式得lr cos （ ）2 sin2 1 / 2 （7）由式（7）可知，

15、位于 Ax 上等球的攻方球员到 A 点的距离 lr 满足式，则球不被原位于 B 处的守方球员抢断。3。解法一：如果在位于 B 处的守方球员到达 Ax 上距离 A 点 lmin 的 C1 点之，攻方接球队员能到达距 A 点于 lmin 处，球就不 被原位于 B 处的守方队员抢断（如图2所示）。 L lmin 就 于 2题。 L lmin ，设攻方接球员位于 Ax 方向上某点 E处，则他跑到 C1 点所时间trm （ Llmin ） / vr ； （8）守方队员到达 C1 处所时间 tpm （ d 2 + l 2dlmin cos ）1 / 2 / vp 。球不被守方抢断的条件 trm tpm 。

16、 （9）L （ d 2 + l 2dlmin cos ）1 / 2 + lmin ， （10）式中 lmin 由式（5）给出。解法二：守方队员到达 C1 点的时间 球到达点的时间 同，因此有tpm lmin / v 。球不被守方队员抢断的条件（9）以 式（8）可得到L （ 1 + vr / v ） lmin （11）式中lmin也由式（5）给出。易 式（11）与（10） 同。5二、1。（I） 一 系来测定卫星的运动，就 测定一时卫星的位 x ，y ，z。设卫星在t时 出的currency1 到达 i 地面的时 ti 。因 卫星currency1 以 速 c 传播，于 可以 出（x xi ）2

17、+ （y yi ）2 + （z zi ）2 c2 （t ti ）2 （ i 1 ，2 ，3 ）， （1）式中 x i ，yi ，zi i地面的位 ，可以预 测定， 已知的；ti 也可以由地面的时来测定；t 由卫星currency1 给出，也 已知的。所以，方 （1）中有未知数 x，y ，z ，要有互 独立的方 ，也就 ，”要“地面，方 于式（1）中 i 1 ，2 ，3 的情况。（II）（i）如图所示，以地 O观测 D1 ，D2 的位 顶点所构成的角 等腰角，腰 R 。题意，可知卫星 出currency1 时距离观测的距离 等，都 L c 。（2）卫星 P 处于上 角所在的面内时，距离地面的 度

18、 ，H 。以 表示 D1 ，D2 所处的度，由余弦定理可知L2 R2 + （ H + R ）2 2R （ H + R ） cos 。 （3）由（2），（3）式得H R （ 1cos ） 。 （4）式（4）也可图直接 出。（ii）按题意，如果度有的 ，则由式（3）可知，将 起H H 。这时有L2 R2 + （ H +H + R ）2 2R （ H +H + R ） cos （ + ） 。 （5）将式（5）展开，因，而H也，可去 项， 与式（3） 减，得H ， （6）其中 H 由（4）式给出。（iii）如果时间有的 ，则 L 有 L c 。 （7）由式（3）可知，这将 起 H 产 H 。这时有（

19、L +L ）2 R2 + （ H +H + R ）2 2R （ H +H + R ） cos。 （8）由式（7），（8） （3），去 项，可得H ， （9）其中 H 由式（4）给出。62。（i）在式（4）中代 数， 得 H 2.8 104 km 。（ii）在式（6）中代 数， 得H 25m 。（iii）在式（9）中代 数， 得H 3.0 m 。3。 一 系，设被测物体待定位 的 x ，y ，z ，待定时 t ， i 卫星在 ti 时的 xi ，yi ，z i 。卫星currency1 以 速传播，可以 出（x xi ）2 + （y yi ）2 + （z zi ）2 c2 （t ti ）2 （

20、i 1 ，2 ，3 ，4 ）， （10）由于方 （1）有四未知数 t ，x ，y ，z ，要四独立方 才有确定的解，故同时接 ”四不同卫星的currency1。确定 时物体的位 时所要的 式（10）中 i 1 ，2 ，3 ，4 所 的四独立方 。4。（I）由于卫星上的 因 1（ v / c ）2 1 / 2 ，地上的的示数 T 与卫星上的的示数 t 之 T t T T 1 T ， （11）这 v 卫星 地面的速度，可由下方 定出：， （12）其中 G 有 量，M 地球质量，r 道 。式（11）给出v R R ，其中 R 地球 ，h 卫星离地面的 度，g GM / R2 地面 速度；代 数 有

21、v 3.89 km / s 。于 （ v / c ）2 1.68 1010 ，这 的数。所以 11 / 2 1。后，可以 出 24 h 的时 T t T T 7.3 s 。 （13）（II）卫星上的的示数t与无限远 系中的的示数T0之 t T0 T0T0 （ 1 ）T0 。 （14）卫星上的所处的 势能的 g 。 （15）所以 ；代 数 有/ c2 1.68 1010 ，这 的数。式（14）fl t T0 T0 。 （16）类 地，地面上的的示数 T 与无限远 系的的示数之 T T0 T07T0 （ 1 ）T0 。 （17）地面上的所处的 势能的 gR 。 （18）所以 ；代 数 有/ c2

22、6.96 1010 ，这 的数。与上面的情类 ，式（17）fl T T0 T0 。 （19）（16），（19）式 减， 得卫星上的的示数与地面上的的示数之 t T T0 。 （20）式（19）中解出 T0 ，代 式（20）得t T / （1）TT T。 （21）注意，题目中的 24 h 地面的走过的时间 T 。 后， 出 24 h 卫星上的的示数与地面上的的示数之 t T 46 s 。 （22）三、1。依题意， 使室内温度保不 ，热泵向室内热的功率 与房间向室外散热的功率 等。设热泵在室内热的功率 q ，要消耗的 功率 P ，则它室外（低温处）吸热量的功率 qP 。题意有 ， （1）式中 T1

23、 室内（ 温处）的绝 温度，T2 室外的绝 温度。由（1）式得P q 。 （2）显然， 使 费 ，P ； 式（2）中的“”currency1 等currency1， 于理想情况下 P 。故 功率P min q 。 （3）又依题意，房间由玻璃板通过热传导方式向外散热，散热的功率H k S 。 （4）要保室内温度 定， 有q H 。 （5）由（3） （5）式得P min k 。 （6）设热泵工作时间 t ，度 的 费 c ，则热泵工作花费的 费C min P min tc 。 （7）8注意到 T1 20.00 K + 273.15 K 293.15 K ，T2 5.00 K + 273.15 K

24、268.15 K ，1度 1 kW h 。由（6），（7）式，代 有关数得C min Sktc 23.99 元 。 （8）所以，在理想情况下，热泵工作12 h 约24元 费。2。设中间空气层内表面的温度 Ti ，外表面的温度 T0 ，则位时间内通过内层玻璃 中间空气层 外层玻璃传导的热量 H1 k S ， （9）H2 k0 S ， （10）H3 k S 。 （11）在稳定传热的情况下，有H1 H2 H3 。 （12）由（9） （12）四式得k k0 T1Ti T0T2 。 （13）解式（13）得Ti T1 + T2 。 （14）将（14）式代 （9）式得H1 （ T1T2 ）S 。 （15）要

25、保室内温度 定， 有 q H1 。由式（3）知，在双层玻璃情况下热泵消耗的 功率P min S 。 （16）在理想情况下，热泵工作时间 t 要的 费C min Pmin tc ； （17）代 有关数得C min 2.52 元 。 （18）所以，改用所 的双层玻璃板后，热泵工作12 h 可以节约的 费Cmin C min C min 21.47 元 。 （19）四、1。 设由于隧穿 ， 能 容 的 板 A 隧穿到 板 B 。以 Q 表示 隧穿 板 A 所带的 荷量，VAB 表示 板间的 （如题目中图3所示），则有VAB Q / C 。 （1）这时 容 储能U CV2AB 。 （2） 隧穿到 板

26、B 后， 板 A 所带的 荷量 Q Q + e ， （3）式中 e 荷量的。这时， 容 板间的 容 储能 VAB ，U CV 2AB 。 （4）库仑阻塞， 隧穿过 被 ，则要求U 9U 0 。 （5）由（1） （5）五式得VAB 。 （6）设 能 容 的 板 B 隧穿到 板 A 。仍以 Q 表示 隧穿 板A 所带的 荷量，VAB 表示 板间的 。 板 B 隧穿到 板 A 时， 板A 所带的荷量 Q Q e 。过类 的 ，可得 板 B 到 板 A 的隧穿不能 的条件 VAB 。 （7）由（6），（7）式知， VAB 在e / 2C e / 2C 之间时， 隧穿受到库仑阻塞， 库仑阻塞的条件 VA

27、B 。 （8）2。依题意 式（8）可知，恰好能 隧穿时有VAB 0.10 mV 。 （9）由式（9），代 有关数得C 8.0 1016 F 。 （10）3。设题目中图3中 边的 MIM 结的 容 CS ， 边的 MIM 结的 容 CD 。双结结构体系如图a所示，以 Q1 ，Q2 表示 容 CS ，CD 所带的 荷量。题意，中间 上的 荷量 ne Q2Q1 。 （11）体系的 能 CS CD 中 能的 ， U + ； （12）V + 。 （13）由（11） （13）式解得U CV2 + 。 （14）由于 V 量，式（13）可知体系的 能中与 上 荷 关的 能 Un （ne ）2 / 2 （CS + CD ）。4。Un CGVG 的图线如图b；CGVG / e 的 如表2。表2n 0 1 2 3CGVG / e 的 0 0.5 0.5 1.5 1.5 2.5 2.5 3.0五、1。在图1中，z 直于 AB 面。考 行 中条 线 在 AB 面上 C与 C 点以角 i 时的情况，r 角，在 体中 线 达 面的10