1、1第30届全国中学生物理竞赛赛考试试题解答与评分准一、（15分）一半径为R、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上。一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为v0（v00）。求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率。重力加速度大小为g。参考解答：以滑块和地球为系统，它在整个运动过程中机械能守恒. 滑块沿半球面内侧运动时，可将其速度分解成纬线切向 （水平方向）分量及经线切向分量. 设滑块质量为，在某中间状态时，滑块位于半球面内侧处，和球心的连线与水平方向的夹角为. 由机械能守恒得（1）这里已取球心处为重力势能零点. 以过的竖直线为轴. 球面对滑块的支持力通过该轴，力矩为零；
2、重力相对于该轴的力矩也为零. 所以在整个运动过程中，滑块相对于轴的角动量守恒，故. （2）由 （1） 式，最大速率应与的最大值相对应. （3）而由 （2） 式，不可能达到. 由（1）和（2）式，的最大值应与相对应，即. （4）（4）式也可用下述方法得到：由 （1）、（2） 式得. 若，由上式得. 实际上，也 上式。由上式可 . 由（3）式 . （4）将 式（1）， 与式（2） ，得. （5）以为 量，方程（5）的一个 ，即，这 态，其速率为最小值，不 所求的解. 于 . ，方程（5） 为. （6）其解为. （7）到 中，方程（6）的 一解不 ， . 将（7）式 （1）式得， 时，, （8）到（
3、4）式 . （9）2分 ： 15分。（1）式3分，（2）式3分，（3）式1分，（4）式3分，（5）式1分，（6）式1分，（7）式1分，（9） 式2分。二、（20分）一 为2l的 质位于水平的光滑面上，的分currency1固定一质量为m的小块D和一质量为m（为“）的小块B，可通过小块B所在的竖直固定轴fifl 地动。一质量为m的小C在上（C与），可沿滑动，C与 间的fl 可。一质” 为l，度系为k，分currency1与小C和块B相连。一质量为m的小滑块A在面上以直于的速度向块D， 与 ，时间. 时滑块C在轴为r（r l）处。1若滑块A的速度为v0，求过程中轴到的用力的 量；2若 块D、C和
4、速动，求滑块A的速度v0应 的 。参考解答1. 由于时间 小， 不及 已 . 设 A、C、D的速度分currency1为、， . （1） 以A、B、C、D为系统，在过程中，系统相对于轴不 力矩用，其相对于轴的角动量守恒. （2）由于轴对系统的用力不 ，系统内 力 用，所以系统机械能守恒. 由于时间 小， 不及 已 ，所以不 势能的 . 故. （3）由 （1）、（2）、（3） 式解得（4） （3） 式，可 用点. （3）可解（4）. 设过程中D对A的用力为，对A用动量定 , （5）方向与方向相 . 于 ，A对D的用力为的 量为（6）方向与方向相. 以B、C、D为系统，设其质心 轴的 为， . （
5、7）质心在 间的速度为. （8）轴与的用时间也为，设轴对的用力为，由质心运动定 . （9）由得. （10）方向与方向相. 而，轴到的用力的 量为, （11）方向与方向相 ： 处在 状态，轴已到沿方向的用力；在过程中 与向心力 的力用于轴 大小的力在fi小的时间内的 量于零，已 （7）-（9） 式，可 用对于系统的动量定 . 也可由对质心的角动量定 （7）-（9） 式. 32. 值得 的 ，（1）、（2）、（3） 式 时间、以于 不及 的 下成 的. 的力 滑块C以速度过B的轴 速圆周运动的向心力，即（12）总保持其 度不 ，（1）、（2）、（3） 式 成 的. 由（12）式得滑块A的速度应的
6、（13）可见，为了使 系统能保持 速动，滑块A的速度大小应 （13）式. 分 ： 20分. 第1问16分，（1）式1分， （2） 式2分，（3） 式2分，（4） 式2分， （5） 式2分，（6） 式1分，（7） 式1分，（8） 式1分，（9） 式2分，（10） 式1分，（11） 式1分；第2问4分，（12） 式2分，（13） 式2分. 三、（25分）一质量为m、 为L的 质，可过其一的光滑水平轴O在竖直平面内自由动。在水平状态由 开始下摆，1令 质量线度。 以角速度过其一的光滑水平轴O在竖直平面内动时，其动动能可 为EkkL式中，k为待定的没 单位的纯“。已 在一单位制下， 量 且 其值和单位
7、都相等时相等。由求、和的值。2已 系统的动能等于系统的质量部集中在质心时随质心一 运动的动能和系统在质心系（随质心平动的参 系）中的动能 和，求“k的值。3试求 摆与水平方向成角时在上O点为r处的横截面侧部分的相互用力。重力加速度大小为g。： X（t） t的函，而Y（X（t） X（t）的函， Y（X（t）对t的导为例 ，函cos（t）对自 量t的导为参考解答：1. 以角速度过其一的光滑水平轴在竖直平面内动时，其动能 独 量、和的函，按 可 为（1）式中，为待定“（单位为1）. 令 度、质量和时间的单位分currency1为、和（它们可视为相互独 的基 单位）， 、和的单位分currency1为
8、（2）在一般情形下，若 量的单位， 量可写为（3）式中， 量在取单位时的值. 这，（1） 式可写为（4）在由（2） 的一单位制下，上式即4（5） （6）将 （2）中第四 式 （6） 式得（7）（2）式 规定基 单位、和的绝对大小， 而（7）式对于任 大小的、和均成 ，于 （8）所以（9）2. 由 ，的动能为（10）其中，（11）到，在质心系中的运动可视为 度为的过其公共（即质心）的光滑水平轴在铅直平面内动， 而，在质心系中的动能为（12）将（9）、 （11）、 （12）式 （10）式得（13）由解得（14）于 . （15）3. 以与地球为系统，下摆过程中机械能守恒（16）由（15）、（16）式
9、得. （17）以在上点为处的横截面 侧 为的那一段为研究对象，该段质量为，其质心速度为. （18）设 一段对该段的切向力为（以增大的方向为方向）， 法向（即与截面相直的方向）力为（以指向点方向为向），由质心运动定 得（19）（20）式中，为质心的切向加速度的大小（21）而为质心的法向加速度的大小. （22）由（19）、（20）、（21）、（22）式解得（23）（24）5分 ： 25分. 第1问5分， （2） 式1分， （6） 式2分，（7） 式1分，（8） 式1分；第2问7分， （10） 式1分，（11） 式2分，（12） 式2分， （14） 式2分；不依赖第1问的 ，用其他方法确得问 的，给
10、分；第3问13分，（16） 式1分，（17） 式1分，（18） 式1分，（19） 式2分，（20） 式2分，（21） 式2分，（22） 式2分，（23） 式1分，（24） 式1分；不依赖第1、2问的 ，用其他方法确得问 的，给分. 四、（20分）图中所 的 电机由一个半径为R、与境绝缘的开口（朝上）金属球壳形的容器和一个带电液滴产器G组成。质量为m、带电量为q的球形液滴从G缓慢地自由掉下（所谓缓慢， 指在G和容器口 间总 只 一滴液滴）。液滴开始下落时相对于地面的高度为h。设液滴 小，容器 够大，容器在达到最高电势 进 容器的液体尚 充 容器。G的电荷对在下落的液滴的影响。重力加速度大小为g。
11、若容器 始电势为零，求容器可达到的最高电势Vmax。参考解答：设在某一时刻球壳形容器的电量为. 以液滴和容器为体系， 从一滴液滴从带电液滴产器 G口自由下落到容器口的过程. 据能量守恒 . （1）式中，为液滴在容器口的速率， 电力“量. 由得液滴的动能为. （2）从上式可以看，随着容器电量的增加，落下的液滴在容器口的速率不断 小； 液滴在容器口的速率为零时，不能进 容器，容器的电量停增加，容器达到最高电势. 设容器的最大电量为，. （3）由得. （4）容器的最高电势为（5）由（4） 和 （5）式得 Vmax（6）分 ： 20分. （1）式6分， （2） 式2分，（3） 式4分，（4） 式2分，
12、 （5） 式3分，（6） 式3分. 五、（25分）平行板电容器板分currency1位于z的平面内，电容器 被充电. 整个装置处于均 磁场中，磁感应强度大小为B，方向沿x轴负方向， 图所 。1在电容器参 系S中只存在磁场；而在以沿y轴方向的恒定速度（0，v，0）（这里（0，v，0） 为沿x、y、z轴方向的速度分量分currency1为0、v、0，以下类似）相对于电容器运动的参 系S中，可能既 电场（Ex，Ey，Ez） 磁场（Bx，By，Bz）。试在非相对论情形下，从伽 速度 换，求在参 系S中电场6（Ex，Ey，Ez）和磁场（Bx，By，Bz）的 达式。已 电荷量和用在体上的 力在伽 换下不
13、。2现在让介电“为的电中液体（绝缘体）在平行板电容器板 间 速流动，流速大小为v，方向沿y轴方向. 在相对液体 的参 系（即相对于电容器运动的参 系）S中，由于液体处在第1问所述的电场（Ex，Ey，Ez）中，其负电荷会 电场力用而 相对移动（即所谓 效应），使得液体中现附加的 电感应电场， 而液体中总电场强度不再 （Ex，Ey，Ez），而 （Ex，Ey，Ez），这里0 真空的介电“. 这将导致在电容器参 系S中电场不再为零。试求电容器参 系S中电场的强度以及电容器上、下板 间的电势差。（ 用0、v、B （和）d 。）参考解答：1. 一个带电量为的点电荷在电容器参 系中的速度为，在运动的参 系中
14、的速度为. 在参 系中只存在磁场， 这个点电荷在参 系中所磁场的用力为（1）在参 系中可能既 电场 磁场， 点电荷在参 系中所电场和磁场的用力的 力为（2）参 系中电荷、 力和速度的 换 系为（3）由（1）、 （2）、 （3）式可 电磁场在参 系中的电场强度和磁感应强度 （4）它们对于任 的都成 ，故（5）可见参 系中的磁场相， 在运动的参 系中 现了沿z方向的 强电场。2. 现在，电中液体在平行板电容器板 间以速度 速运动. 电容器参 系中的磁场会在液体参 系中产由（5）式中第一个方程给的电场. 这个电场会 液体 ，使得液体中的电场为. （6）为了求电容器参 系中的电场， 们再 电磁场的电场
15、强度和磁感应强度在个参 系 间的 换，从液体参 系中的电场和磁场 确定电容器参 系中的电场和磁场. 一带电量为的点电荷在参 系中所的电场和磁场的用力. 在液体参 系中，这力 （2）式所 . 它在电容器参 系中的形式为（7）用参 系中电荷、 力和速度的 换 系（3）以及（6）式，可得（8）对于任 的都成 ，故（9）可见，在电容器参 系中的磁场 为” 的磁场，现由于运动液体的 ，也存在电场，电场强度 （9）中第一式所 . 到（9）式所 的电场为均 电场，由它产的电容器上、下板 间的电势差为. （10）由（9）式中第一式和（10）式得. （11）分 ： 25分. 第1问12分， （1） 式1分， （
16、2） 式3分， （3） 式3分，（4） 式3分，（5） 式2分；第2问13分， （6） 式1分，（7） 式3分，（8） 式3分， （9） 式2分， （10） 式2分，（11） 式2分. 7六、（15分）度开 用 度均为0.20mm的 和 感 ；在 度为20 时，将它们 ， 在一 ，成为等 的平直 金属 。若 和 的线 系分currency1为1.010-5/度和2.010-5/度。 度 高到120 时， 金属 将自动 成圆 形， 图所 。试求 金属的 率半径。（加 时金属 度的 。）参考解答：设 成的圆 半径为，金属 ” 为，圆 所对的圆心角为， 和 的线 系分currency1为和，和 度由
17、 高到时的 量分currency1为和. 对于 （1）（2）式中，. 对于 （3）（4）以上 式得（5）分 ： 15分. （1）式3分， （2） 式3分，（3） 式3分，（4） 式3分， （5） 式3分. 七、（20分）一 形 介质 ， 角为，高为h。 以 角 点为 ”点， 系 图（a）所 ；面实际上 由一系小组成的，在图（a）中看 ，一个小的侧面与xz平面平行，上 面与yz平面平行。 介质的currency1率n随x而 ，n（x）1“bx，其中“b 0。一 为的单平行光沿x轴方向 ； fi置一fl ，在 与fl 间fi一板，在板上刻 一系与z方向平行、沿y方向的 光 ， 图（b）所 。 光的
18、面（即与平行 光线直的平面）、 面、板平面都与x轴直， 光轴为x轴。求通过 的 光在 ”点处得到加强而形成。已 第一 位于y0处；和 间 光线的光程相等。1求其 的y ；2试 等能 上述求。h x y q l O图（a） 图（b）参考解答： 1. 到 上某值处的光线，该光线由到 间的光程. 将该光线在介质中的光程为，在空中的光程为. 介质的currency1率 不均 的，光 到介质 面时，在 处，该处介质的currency1率；到处时，该处介质的currency1率. currency1率随x线增加，光线从处到（ 上值处光线在 中的 ）处的光程与光通过currency1率等于平均currenc
19、y1率8（1）的均 介质的光程相，即（2） 过 面相小连处的光线（实上，可通过 的度和板上 的位置 开这光线的影响），光线 过 其方向保持不 ， 而 （3）于 . （4）由 系 . （5）故. （6）从介质 的光经过 平行于轴， 的值应与对应介质的值相，这平行光线会在”点处. 对于处，由上式得. （7）处与处的光线的光程差为. （8）由于 间 光线的光程相等，故平行光线 间的光程差在通过 和会在 ”点处时保持不 ； 而（8）式在 ”点处也成 . 为使光线经 会 在”点处加强，求光的光程差为 的整 ，即. （9）由得. （10）了位于处的 ，其 对应的 依 为. （11）2. 光在”点处加强，
20、不求（11）中 都存在. 将 等 可能 上述求. 实上，若依 取，其中为任 整， . （12）这 等间，且相 的间均为，光线在”点处依 相互加强而形成. 分 ： 20分. 第1问16分， （1） 式2分， （2） 式2分， （3） 式1分，（4） 式1分，（5） 式2分，（6） 式1分，（7） 式1分，（8） 式1分， （9） 式2分， （10） 式1分，（11） 式2分；第2问4分，（12） 式4分（只给任 一 确的 ， 给这4分）. 八、（20分）光 被电 时， 态电 够的动能，以于在 过程中 能量从电 移到光， 该 被 为 。 能光 与高能电 对时， 会现 。已 电 质量为me，真空中的
21、光速为c。若能量为Ee的电 与能量为E的光 相向对，1求 光 的能量； 2求 能够 的 ；93 光 能量为2.00eV，电 能量为1.00109eV，求 光 的能量。已 me0.511106eV/c2。中 时可 用 似： |x|1， 1x。参考解答：1设电 、光 的动量分currency1为（）、（）， 电 、光 的能量、动量分currency1为. 由能量守恒 . （1）由动量守恒 . （2）式中，和分currency1 的电 和光 相对于电 的夹角。光 的能量和动量 . （3）电 的能量和动量 ， （4）由（1）、（2）、（3）、（4）式解得（5）由（2）式得即动量、和 角形法 将（3）、（4）式 上式， 用（1）式，得即（5）式.时 （6）2. 为使能量从电 移到光 ，求. 由（5）式可见， 即（7）已设、. 3由于和， 而，由（ ）式可 ， . . （8）将（8）式 （6）式得. （9）据，得. （10） 分 ： 20分. 第1问10分， （1） 式2分， （2） 式2分， （3） 式2分，（4） 式2分，（5） （6）式2分；第2问5分，（7） 式5分；第3问5分，（8） 式2分， （9） 式1分， （10） 式2分.
