1、第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题2015年9月19日说明：所有解答必须写在答题纸上，写在试题纸上无效。一、（15分）在太阳内部存在两个主要的核聚变反应过程：碳循环和质子-质子循环；其中碳循环是贝蒂在1938年提出的，碳循环反应过程如图所示。图中p、e+和e分别表示质子、正电子和电子型中微子；粗箭头表示循环反应进行的先后次序。当从循环图顶端开始，质子p与12C核发生反应生成13N核，反应按粗箭头所示的次序进行，直到完成一个循环后，重新开始下一个循环。已知 e+ 、 p 和 He 核的质量分别为 0.511MeV/c2 、 1.0078u 和4.0026u（1u931.494MeV/c2
2、），电子型中微子e的质量可以忽略。（1）写出图中X和Y代表的核素；（2）写出一个碳循环所有的核反应方程式；（3）计算完成一个碳循环过程释放的核能。二、（15分）如图，在光滑水平桌面上有一长为L的轻杆，轻杆两端各固定一质量均为M的小球A和B。开始时细杆 ；有一质量为m的小球C以 直 杆的 v0 ，与A球 。 小球和细杆 为一个 。（1） 后 的 能（ 已知 和球C 后的 表出）；（2） 后 能 到 小 ， 时球C的 和 的 能。三、（20分）如图，一质量分 均 、 为r的 环到粗的水平面的， 环质 v0与currency1直方成（“），时以 0（0的正方如图中箭头所示）fifl过其质O、 直环面
3、的 。已知 环在其所在的currency1直平面内 ，在 与面无滑 ， 环与面 的 ”为k，重 小为g。忽略 。（1） 环与面 后 环质的 和 环 的 ；（2） 环在与面 后能currency1直 的 和在 下 环能上的 ；（3） 可变， 环次到 次的水平 s变的” 式、s的 以 s 时r、v0和0应 的 。四、（25分）如图， 在水平面（xz平面） 的 KA（ x正方）上，以小为v（v 小 中的光 c）的 行； 正 面上的 固定 P1/ 19（其x 为xP）发 无 电 （ 的平分 与 直）， 平面与水平面 BC（BC ， 在 量时应 P）， K在面的正 O为 。已知BC与 KA的 为R0。
4、发出的无 电 是 的 ，其率为f0。（1）已知 经过A（其x 为xA） 后朝P继发出无 电 信号，由P反后又 接收到， 接收到的回 信号的率与发出信号的率差（ ）。（2）已知BC长 为Ls，讨论上述 分别为正、零或负的 ， 出的正、负 。（3）已知R0Ls， 从C先到 P、直至B到 P过程中 与小 差（带宽）， 其表示成 的张的”。已知：当|y|1时，1。五、（20分）如图，“田”字 导 框置 光滑水平面上，其中每个小正方格每 边的长 l和电 R分别为0.10m和1.0。导 框处 磁感应强 B1.0T的均 磁场中，磁场方currency1直下，边界（如图中虚 所示）与de边平行。今 导 框从磁
5、场中 拉出，拉出 的小为v2.0m/s，方与de边 直，与ae边平行。试 导 框整体从磁场中拉出的过程中外所做的功。六、（23分）如图，一固定的currency1直长导 有恒定电流I，其旁边有一正方 导 框，导 框可围fi过边中的currency1直O1O2 ，到长直导 的 为b。已知导 框的边长为2a（a“b），总电 为R，自感可忽略。现导 框fi以 逆时针（ 从上往下看）方 ，以导 框平面与长直导 和currency1直所在平面重合时开始计时。 在t时刻：（1）导 框中的感应电 势E；（2）所需的外矩M。七、（22分）如图，1mol单 子理想体构成的 分别经历循环过程abcda和abca。
6、已知理想体在任一缓慢变过程中，压强p和体积V ” pf(V)。（1）试证明：理想体在任一缓慢变过程的摩尔热容可表示为CpCV式中，CV和R分别为定容摩尔热容和理想体常”；（2）计算 经bc直 变过程中的摩尔热容；（3）分别计算 经bc直 过程中降温的折在p-V图中的 A和吸放热的折在p-V图中的 B；2/ 19（4）定量比较 在两种循环过程的循环效率。八、（20分）如图，介质 膜 导由三层均 介质组成：中层1为 导 膜，其折率为n1，光 在其中传播；底层为衬底，其折率为n0；上层2为 层，折率为n2；n1n0n2。光在 膜层1里来回反， 锯齿 导延伸方传播。图中，ij是光 在介质j表面上的入，
7、tj是光 在介质j表面上的折。（1）入il在什么 下光 可 完全限制在 导 膜里（即光未折到衬底层和 层中）？（2）已知 导 膜的厚 为d， 能够在 膜 导中传输的光 在该介质中的长 长max。已知：两介质j与k的 界面上的反 ”（即反光的电场强 与入光的电场强 比）为rjk|rjk|e-ijk式中，ij和tk是分别是光 在介质j的表面上的入和折， 类推；正 ”和 ”在”域中可定义为sin，cos3/ 19第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答一、（15分）（1）图中X和Y代表的核素分别为15O和13C （2）一个循环所有的核反应方程式依循换次序为p12C13N 13N13Ce+e p
8、13C14 p14N15O 15O15Ne+e p15N12C4He （3）整个循环的核反应，当 4e4p He 2e 2+ n 完成一个碳循环过程释放的核能为4e2p eH(4 2 )(4 1.0078 4.0026) 931.494 2 0.511 MeV25.619 MeVE m M m cD = - -= E25.619MeV分 ：（1） 4分，X和Y正 ，各2分；（2） 6分， 式各1分；（3） 5分， 式2分， 式3分。二、（15分）（1）（解 一）B球所在 置O为 ， （如图）。 后 的量 其细杆中的 量 恒，有 0 A Bx x xm m MV MV= + +v v A By0
9、 y ym MV MV= + +v 0 A B2 2 2 2x x xL L L Lm m M V M V= + -v v式中， xv 和 yv 表示球C 后的 x方和y方的 分量。由 轻杆长 为L，按 图中 的 有 2 2 2A B A B ( ) ( ) ( ) ( )x t x t y t y t L- + - = 由上式时 导 A B A B A B A B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0x x y yx t x t V t V t y t y t V t V t- - + - - = 在 后的有A BA B( 0) ( 0),( 0) ( 0)x
10、t x ty t y t L= = = - = = 式， 式在 后的成为 A A B B( 0) ( 0)y y y yV V t V t V= = 由 式 4/ 19 A By 2y ymV VM= = - v 由 式 A 0( )x xmVM= -v v B 0xV = 式， 后 的 能为2 2 2 2 2 2A Ay Bx By2 2 2 2A Ay22 2 201 1 1( ) ( ) ( )2 2 21 1 ( ) ( 2 )2 21 1 2 ( )2 2 4x y xx y xx x yE m M V V M V Vm M V Vm M mm mM M= + + + + += +
11、+ += + - +v vv vv v v v Emvx2（v0vx）2mvy2（解 ）B球所在 置O为 ， （如图）。 后，小球C的 率为v，细杆中的 为 CV ，细杆fi中 的 为w。 后 的 量 其细杆中的 量 恒，有0 C2x xm m MV= +v v C0 2y ym MV= +v 0 22 2 2 2xL L L Lm m M w骣= + 琪桫v v 式中， xv 和 yv 表示球C 后的 x方和y方的 分量。由 式 ( )c 02x xmV M= -v v C 2y ymVM= - v ( )0 xmMLw = -v v 后 的 能为22 2 2 2C C1 1 1( ) (2
12、 )( ) 22 2 2 2x y x yLE m M V V M w骣= + + + + 琪桫v v 式， 能 式可表示成22 2 201 1 2( )2 2 4x x ym M mE m mM M+= + - +v v v v （2）解 （一）的式或 解 （）的 式即为2 22 20 01( ) 2 12 4 2x yM m m m M m mE mM M m M M m+ +骣= - +琪+ +桫v v v + v可 ，在 0,0xymM m= +=v vv 下， 后 能 到其小 5/ 19Ev02 是小球与球A做完全 后 所 有的 能。分 ：（1） 10分，（解 一） 式各1分；（解
13、） 式各1分，式2分， 各1分， 式2分， 式1分；（2） 5分，式各2分，式1分。三、（20分）（1） 环的质量为m， 在 过程中 到的面 的水平 量为 tI ； 后 环质的小为v，v与currency1直上方的 （按如图所示的 时针方计算）为b， 环的 为w。定水平 方和 时针方分别为水平 量和 的正方。在水平方，由 量定理有0sin sin tm m Ib q- =v v 由质的 量矩定理有0( ) ( ) trm r rm r rIw w- = - 按题， 环在 与面无滑 ， 时 环上与面的接的水平 为零，即sin 0rb w- =v由题知00 coscos 0 kbq- =-vv 式
14、 2 2 2 20 0 01 4 cos ( sin )2 k rq w q= + +v v v 001tan (tan )2 cosrkwb qq= - + v （r0v0sin） （2） 环与面 后能currency1直 ，其 与currency1直方的 0b =上式代入 式 ， 环在与面 后能currency1直 的 为00sin rwq = - v 在 下，在与面 后的有0w = ， 0 cosk= -v v 即 环做currency1直上currency1 。 环上的 为h2 2 2 2 2 2 220 0 0cos ( )2 2 2k k rhg g gq w-= = =v vv
15、（3）由 忽略 ， 环次 后， “ 为w变，质做以 为v的currency1。 环次到 次的水平 sq变的” 式为Sfi6/ 19200 0cossin2 ( sin )ks rg gqb q w= = - +vv vs 时，q 的 q 00 0( cos2 sin ) 0kds rd gq q w qq = - - =v v由 式 2 2 20 0 008sin4r rw wq - = vv代入式 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 01( 8 3 ) 8 2 ( 8 )16k r r r r rsgw w w w w+ + - - += v v v2 2 2 2 2 2
16、20 0 0 0 0 0 0 02( 8 3 ) 8 2 ( 8 )16k r r r r rsgw w w w w+ - - + += - v v v式中 1s 和 2s 分别应 式 端fl号 正和负号的 。由以上两式可知，s的 为2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0max( 8 3 ) 8 2 ( 8 )16k r r r r rsgw w w w w+ + - - += v v v又为1 sin 1q- 由上式 ，当s 时，r、v0和0应 v0r|0| 分 ：（1） 9分， 式各2分， 式各1分；（2） 4分， 式各1分， 式2分；（3） 7分，式各1分。四、（25分
17、）（1）解 （一）按 题 ， P的 置为 P( ,0, )x a ， 在 0t =时所在K的 置为(0, ,0)h 。在时刻 1t ， 所在 置A的 为 1 A( , ,0)x x h= ， 时发出一光信号；该信号到 P，经反后， 时刻 2t 回至 的 接 ，时 的 的 置为 2 A( , ,0)x x h= ，如图所示。由 光 变， 做 直 ，有2 2 2 20 1 P 0 2 P 2 1( ) ( ) ( )R x x R x x c t t+ - + + - = - 2 1 2 1( )x x t t- = -v 式中2 20R h a= + 。现 在时刻 1t ， 所在 置A的 为 1
18、( , ,0)x h ， 时发出一光信号；该信号到 P，经反后， 时刻 2t 回至 的 接 ， 时 的 的 置为 2( , ,0)x h 。理有7/ 192 2 2 20 1 P 0 2 P 2 1( ) ( ) ( )R x x R x x c t t + - + + - = - 2 1 2 1( )x x t t - = -v 1 1 1 1( )x x t t- = -v 2 2 2 2( )x x t t- = -v由 式和 cv 2 2 2 22 1 0 1 P 0 1 P 2 12 2 2 2 20 1 P 0 1 P 2 1 1 P 2 12 2 2 2 2 20 1 P 0 1
19、 P 2 1 1 P 2 12 20 1 P 1 P2 20 1 P1 ( ) ( )1 ( ) ( ) 2( )( ) ( )1 ( ) ( ) 2 ( )( ) ( )2 ( ) ( )t t R x x R x x x xcR x x R x x x x x x x xcR x x R x x t t x x t tcR x x x x tc cR x x轾- = + - + + - + -臌轾= + - + + - + - - + -臌轾= + - + + - + - - + -臌+ - -+ -v vv2 1)t- 上式 端已略 2( / )cv 的。由 式解 2 20 1 P2 1
20、12 20 1 P2 20 1 P 1 P2 20 1 P2 20 1 P1 P22 ( ) 1 1( )2 ( ) 1( )2 ( ) 2 ( )R x xt txcc R x xR x x x xc c R x xR x x x xc c+ -+ -+ - -骣琪 + -桫+ -= + -vvv 理，由 式和 cv 2 20 1 P2 1 1 P22 ( ) 2 ( )R x xt t x xc c+ - - v 由 式 ( )2 2 2 22 2 1 1 0 1 P 0 1 P 1 122 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t t R x x R x x x xc c -
21、- - - - + - + - v 式， 式成为( )2 2 1 122 2 2 20 1 P 1 1 0 1 P 1 121 P1 12 20 1 P( ) ( )2 2 ( ) ( ) ( )2( ) ( )( )t t t tR x x t t R x x t tc cx x t tcR x x- - - + - - + - + -+ -vvv 上式 端已略 2( / )cv 的。”1 1 0t t T- = 式中， 0T 为 在发的光信号的， 2 2t t T- = 是 接 到应的光信号的。 式可写成A P0 02 20 A P2( )( )x xT T TcR x x- =+ -v或
22、fDf8/ 19f0fif0 式中 1x 已 Ax 代，001 1,f fT T= =是应的光信号的率， Df 是接收到的回 信号的率与发出信号的率差（ ）。式可写为 D 0 02 cosf f f fc a= - v式中A P2 20 A Pcos( )x xR x xa -+ -即a为从 出的光 与 的 。解 （）KA和直 BC所构成的平面为新的 平面。K为 ， KA为x，从KBC与Z 的直 为y；在时刻 1t ， 所在 置A的 为 1 A( ,0)x x= ； P的 置 P 0( , )x R 在 个 里是固定的。时刻t发出的发信号的 为( ) 0t t= +F w j 式中 0w 和j
23、分别是应的率和 。 时刻 1t 在AA 2 A 1( ( ),0)x x t= 接收到的经P反的信号是 时刻 1t -t在A 1 A 1( ( ),0)x x t= -t 发出的，其 为( ) ( )1 0 1t t= - +F w t j 式中t 为信号往过程所需的时， 2 2 2 20 1 P 0 2 P( ) ( )R x x R x x c+ - + + - = t 2 1x x- = tv 经过时 tD ，理有 ( ) ( )1 0 1t t t t +D = +D - +F w t j 2 2 2 20 1 P 0 2 P( ) ( )R x x R x x c+ - + + -
24、= t 2 1x x- = tv外，由 的 （ 直 ），有 1 1x x t- = Dv 2 2x x t- = Dv 收到的信号的 率为w，应有 ( ) ( )1 1t t t t +D - = DF F w 9/ 19由 式和 cv 2 2 2 20 1 P 0 1 P 2 12 2 2 2 20 1 P 0 1 P 2 1 1 P 2 12 2 2 2 2 20 1 P 0 1 P 1 P2 20 1 P 1 P2 20 1 P1 ( ) ( )1 ( ) ( ) 2( )( ) ( )1 ( ) ( ) 2 ( )2 ( )( )R x x R x x x xcR x x R x x
25、x x x x x xcR x x R x x x xcR x x x xc cR x x轾= + - + + - + -臌轾= + - + + - + - - + -臌轾= + - + + - + - +臌+ - -+ -tt ttv vv 上式 端已略 2( / )cv 的。由 式解 2 20 1 P12 20 1 P2 20 1 P 1 P2 20 1 P2 20 1 P1 P22 ( ) 1 1( )2 ( ) 1( )2 ( ) 2 ( )R x xxcc R x xR x x x xc c R x xR x x x xc c+ -+ -+ - -骣琪 + -桫+ -= + -t v
26、vv 理，由 式和 cv 2 20 1 P1 P22 ( ) 2 ( )R x x x xc c+ - -t v由 式 0 0( ) ( )t tw w t w tD = D - - - 2f=w 代入式， 式，在 tD 小的 下，略 tD 的， A PD 0 02 20 A P2( )( )x xf f f fcR x x-= -+ -v或 D 0 02 cosf f f fc a= - v式中A P2 20 A Pcos( )x xR x xa -+ -即a为从 出的光 与 的 。（2）由 发的无 电 面的张的限制（ 图（b），有2 2 2 20 0/2 /22 2( /2) ( /2)s ss sL LR L R La- + + 10/ 19
