1、1（20_届）本科毕业设计数学与应用数学实数完备性定理的相互论证及应用2摘要牛顿和莱布尼兹创立了微积分，但是当时分析的基础还极其不完善，这导致了第二次数学危机，直接的结果就是大量优秀的数学家投身到了研究实数基础的行列中，这其中相当重要的一部分就是实数的完备性公理，实数完备性的七个定理从不同的角度刻画，这七个定理是等价的，到目前为止，七个定理的证明方法多种多样，本文将七个定理的相互论证分为四类构造区间套法，反证法，构造区间套与反证法相结合，寻找特殊点法。实数完备性的重要性不仅体现在生活中有广泛的应用，还体现在证明其他重要定理如DINI定理，根的存在性定理中，本文将浅谈几个重要的应用。关键词实数完
2、备性，七个定理，相互论证，构造区间套法，反证法，构造区间套与反证法相结合，寻找特殊点法。1、引言一直以来我都在想用正确的A来证明B可不可靠，我们假设A是正确的，而A的正确性是由正确的C得到的，而C的正确性是由正确的B得到的，到最后我们用正确的B来证明B的正确性，似乎是不合理的，这不禁让我想到了在很多时候我们的很多证明都有这种情况，也让我想到了实数完备性定理的循环论证。后来我想是不是由于这个原因，数学变得脆弱，如果某个人们以为的某个正确的东西错了，就会引起数学危机。循环论证虽简洁，也体现了数学的美，但我认为它至少存在以下问题其一是用正确的B来证明B的正确性，其二是以串联的形式出现，一个错了，就会
3、断路。那么实数完备性定理的循环论证是不是也会有这些问题，相互论证构建的是一个更复杂的网络，它会比循环论证更经的起推敲，因此，我选择进行实数完备性的相互论证。本文将实数完备性七个定理相互间的论证方法归为四类，即构造区间套法，反证法，构造区间套与反证法相结合，寻找特殊点法。对每种类型给出其中的一个证明，其他简略的说一下思路。本文从实际与理论两个方面浅谈了实数完备性定理的一些应用。2、实数完备性定理的概述实数完备性的基本定理有七个（1）确界定理非空有上界数集必有上确界，非空有下界数集必有下确界。（2）单调有界定理单调有界数列必收敛。（3）区间套定理设是一闭区间套则存在唯一的点,使对有。（4）致密性定
4、理任一有界数列必有收敛子列。（5）聚点定理每一个有界无穷点集必有聚点。6有限覆盖定理闭区间的任一开覆盖必有有限子覆盖。7CAUCHY收敛准则数列收敛是CAUCHY列。3其实确界定理，单调有界定理，区间套定理，致密性定理，聚点定理，CAUCHY收敛准则，他们都指出，在某种情况下便有这样的某种“点”存在。七条定理是等价的。作为分析学早期的经典定理之一，聚点定理成为了分析的基础，是研究实数的几何性质的重要工具，后来，因为它是很多拓扑空间所共有的性质，终于使数学家修正了聚点的原始定义，赋予它拓扑含义，进而建立了列紧性的概念。柯西收敛准则不仅在数列收敛，求极限，证明定理中有用，还贯穿数学的各个方面。有限
5、覆盖定理沟通了“有限”与“无限”，是一个质的变化，对于研究本生不连续却具有与连续函数相似的性质的函数，有限覆盖定理起了很大作用。除此之外，致密性定理，确界定理，单调有界定理，区间套定理在证明一些重要的定理中有广泛应用。深刻了解实数的完备性定理以及他们之间的相互关系对数学的近一步学习有十分重要的意义。3、实数完备性七个定理相互论证本文将实数完备性七个定理相互间的论证方法归为四类，即构造区间套法，反证法，构造区间套与反证法相结合，寻找特殊点法。31构造区间套法构造区间套法的基本思路找到进行分割的区间，根据特定的条件构造区间套，再利用已知条件得出结论。利用构造区间套法可以进行以下证明确界定理单调有界
6、定理单调有界定理致密性定理确界定理区间套定理致密性定理聚点定理聚点定理CAUCHY收敛准则CAUCHY收敛准则聚点定理单调有界定理致密性定理单调有界定理致密性定理CAUCHY准则CAUCHY收敛准则聚点定理确界定理4确界定理确界定理单调有界定理单调有界定理聚点定理聚点定理致密性定理致密性定理CAUCHY收敛准则CAUCHY准则311应用区间套定理证明确界定理证明我们只证有上界就一定有上确界，对于有下界一定有下确界的情况也可以类似的证明设M为集合E的上界，若E有最大值，则已证。下面证无最大值的情况对“XE，将X,M二等分若右半区间含E中的点，则将右半边记为1A,1B若右半区间不含E中的点，则将左
7、半边记为1A,1B依次下去则得区间套NA,NB,NA单调递增，NB单调递减，且NBNA0N根据区间套定理,XNA,NB根据区间套的构造可知E中的任意点都小于等于X，且对任意的AE,存在N,当NN,有NAA，故X为上确界。312应用区间套定理证致密性定理证明设的上界为M，下界为M，将M,M二等分若右半区间含E中无穷多个点，则将右半边记为1A,1B若右半区间仅含E中有限个点，则将左半边记为1A,1B依次下去，则得区间套NA,NB，由区间套定理，可得XNA,NB，且根据区间套的构造，在X的任意领域内都有无穷多的点，我们先取其中的一XX，XX,取里面的一点作为1Y，5再取（XX/2，XX/2）与X1Y
8、，X1Y小的一个作为第二个领域，在其中任取一点作为2Y，依次下去，便有了收敛子列NY。对于利用区间套定理证明单调有界定理，令NXM用同样的方法二等分1X,M便可，因为如果二等分只要右边有NX中的点，就有无穷多个点，左边就只有有限个点，一直下去，再利用极限定义的推论证明。利用区间套定理证明CAUCHY准则时，令M为上界，为M下界，对M,M进行等分，取有无限多个点为构造区间套便可。利用区间套定理证明聚点定理，也取有无限多个点为构造区间套便可。313应用单调有界定理证明确界定理证明设的上界为M，1X,M将二等分若右半区间含E中的点，则将右半边记为1A,1B若右半区间不含E中的点，则将左半边记为1A,
9、1B依次下去则得区间套NA,NBNA单调递增，NB单调递减且NBNA0N根据单调有界定理，NA,NB均收敛根据区间套NA,NB的构造及上确界的定义，极限值就是上确界。对于利用CAUCHY准则证明确界定理与上述方法一样，不同之处在于利用CAUCHY准则来证明极限存在。利用致密性定理证明确界定理时，我们在1A,1B中取1Y，在2A,2B中取2Y，依次下去，便得收敛子列NY，收敛子列X以为极限，易知X是上确界。利用聚点定理证明确界定理时,令ENANB，至少有一个聚点X，而X是E的上确界。314应用CAUCHY准则证明单调有界定理证明设的上界为M，将1X,M二等分若右半区间含NX中的点，那么根据单调性
10、，在右半边就会有无穷多个点，且左半边只有有限个点，将右半边记为1A,1B若右半区间不含NX中的点，也就是左半边有无穷多的点，将左半边记为1A,1B6依次下去则得区间套NA,NBNA单调递增，NB单调递减且NBNA0N根据CAUCHY准则，NA,NB均收敛，且对任意的N,在NA,NB外只有有限个NX的点，换句话说，在NA的极限的某领域外只有NX的有限个点，那么NA的极限就是NX的极限。对于利用聚点定理证明单调有界定理时，令ENANB至少有一个聚点X，而X就是极限。利用致密性定理证明单调有界定理时，与应用CAUCHY准则证明单调有界定理一样，不同的是取的是NA,NB的子列。315应用单调有界定理证
11、明致密性定理证明设的上界为M，下界为M，将M,M二等分若右半区间含E中无穷多个点，则将右半边记为1A,1B若右半区间仅含E中有限个点，则将左半边记为1A,1B依次下去则得区间套NA,NBNA单调递增，NB单调递减根据单调有界定理，NA,NB均收敛,且收敛于同一个数，NA,NB中取NX，那么由迫敛性NX收敛，是E的收敛子列。对于利用确界定理证明致密性定理，利用CAUCHY准则证明致密性定理，利用聚点定理证明致密性定理，均采用14的证法，所不同的是利用不同的定理构造NX，如利用确界定理证明致密性定理，我们利用确界的定义构造。316应用聚点定理证明CAUCHY准则证明设的上界M，下界为M，NX为CA
12、UCHY列，将M,M二等分若右半区间含NX中无穷多个点，则将右半边记为1A,1B若右半区间仅含NX中有限个点，则将左半边记为1A,1B依次下去则得区间套NA,NBNA单调递增，NB单调递减7且NBNA0N由聚点定理，ENANB至少有一个聚点X根据聚点的定义及区间套的构造，NX收敛于X。对于应用单调有界定理证明CAUCHY准则时，同样将M,M二等分，而NA的极限是NX的极限。应用确界定理证明CAUCHY准则时，恰为的极限。应用致密性定理证明CAUCHY准则时，以收敛子列为极限。317应用确界定理证明聚点定理证明设的上界为M，下界为M，将M,M二等分若右半区间含E中无穷多个点，则将右半边记为1A,
13、1B若右半区间仅含E中有限个点，则将左半边记为1A,1B依次下去则得区间套NA,NBNA单调递增，NB单调递减且NBNA0N由确界定理，SUPNA,INFNB均存在根据区间套的构造，SUPNA,INFNB的任意领域内均有E的无穷多个点，故SUPNA,INFNB正好为E的聚点。对于应用单调有界定理证明聚点定理，应用CAUCHY准则证明聚点定理，应用致密性定理证明聚点定理，方法类似。32反证法利用反证法可以进行以下证明聚点定理确界定理有限覆盖定理CAUCHY准则致密性定理区间套定理单调有界定理利用反证法的基本思路假设欲证结论不成立，构造开覆盖，再利用有限覆盖定理推出矛盾。8321应用有限覆盖定理证
14、明聚点定理证明反证法设E为直线上有界无限点集，存在M，M,使得EM,M假定M,M中的任何点都不是E的聚点，则对“XM,M，XD,ST,UX,XD内至多包含E的有限多个点，构造HUX,XD|XM,M则H为一个开覆盖，覆盖M,M，从而覆盖E，根据有限覆盖定理，存在子覆盖U1X,1XD，U2X,2XDUNX,XND由于每个UX,XD中只含的有限个点，这与是无限点集矛盾。322应用有限覆盖定理证明确界定理证明反证法假设E无上确界，对“XE，有XM，任取0XE考虑0X，M，对“X0XM，当X为E的上界时，1XXXD使得在U2X,XD皆不为E的上界故上每一点都存在XD，它们要么每点都为上界，要么每点都不是
15、上界，这些领域组成一个开覆盖，则根据有限覆盖定理,必有子覆盖U1X,1XD，U2X,2XDUNX,XND，覆盖0X,M根据M所在的开区间，判断应皆为E的上界，而两个相邻的开覆盖有交集，经过有限次邻接后，0X所在邻域也皆是的上界，矛盾。323应用有限覆盖定理证明区间套定理证明反证法若每一点都不是公共点，则每个X均可以找到一个开邻域UX,XD，有0NA,0NB与UX,XD不相交，当时NN0，便有NA,NB与UX,XD不相交，又构成一个开覆盖HUX,XD|XM,M，9则根据有限覆盖定理，必有子覆盖U1X,1XD，U2X,2XDUNX,NKD我们只需取每个子覆盖对应的最大的N，即NMAXN1,N2,，
16、NK这样便有NA,NB不在区间上，得出矛盾。324应用有限覆盖定理证明CAUCHY准则证明反证法设的上界为M，下界为M，NX为CAUCHY列若M,M中的任意点均不是NX的极限，则NX至少有两个收敛子列，对于这个结论，在本论文的最后我会给出解释，在此直接应用，我们可以先证只有两个收敛子的情况，设两个收敛子列分别收敛于A，B，则除了A、B外对于“XM,M，XD,STUX,XD中只有NX中的有限项，我们分别取A、B的一个领域，使这两个领域不相交，构成一个开覆盖HUX,XD|XM,M覆盖M,M，当然覆盖NX则根据有限覆盖定理，必有子覆盖U1X,1XD，U2X,2XDUNX,NKD，覆盖M,M，我们取E
17、MIN1XD,2XDNKD,存在N，当N,MN时，有NMXXEN时，所有的NX都在子覆盖其中的两个中。那么NX中有无限个不满足要求，矛盾。对于应用有限覆盖定理证明单调有界定理，应用有限覆盖定理证明致密性定理，与24的证明类似。33构造区间套与反证法相结合利用区间套与反证法相结合可以进行以下证明确界定理CAUCHY准则致密性定理区间套定理有限覆盖定理聚点定理单调有界定理331应用区间套定理证明有限覆盖定理证明反证法10假设结论不成立，即不能用中的有限个开区间来覆盖A,B，将A,B等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中的有限个开区间来覆盖，记这个子区间为1A,1B,则1A,1BA,B,
18、且1B1A12（BA）依次下去得到闭区间列NA,NB，它满足NA,NB1NA,1NB，且NBNA0N,即NA,NB为区间列，且其中每一个闭区间都不能用H中的有限个开区间来覆盖由区间套定理可知，存在唯一的一点XNA,NB，由于H是A,B的一个开覆盖，故存在开区间A,BH，STXA,B于是当N充分大时有NA,NBA,B这表明只须用一个开区间就可以覆盖A,B，得出矛盾。下面我简单说一下在应用其他定理证明有限覆盖定理的思路，对于应用确界定理证有限覆盖定理时,XSUPNA当N充分大时A,NA中的一项NA，STAEN时，有AEN时有AE，0,0NXE，0,NNXE时有0NXGE，将N固定，当00,NNNX
19、E。由于NNXFXSXG在,AB轾犏臌上连续，即然0NXGE，当0000,XXXDD时，NXGE时，更有NXGE时，对,XUXLLD恒有NXGE时恒有NXGE，0FB13反证法，倘若没有根，那么对,XAB轾“犏臌，0FX，则XD，,XSTUXD的每一点都很恒大于0，或恒小于0这样就构造了一个开覆盖，可以找出有限个1122,KKUXUXUXDDD覆盖,AB轾犏臌，而相邻的两个邻域必相交，且均同号，这与FA，FB异号矛盾。事实上，如果我们在实数完备性定理条件的基础上，再加一些条件，会得出一些更好的结论如对于有界的无穷点列，如果再加上没有极限的条件，我们可以得出至少有两个聚点。因为有界的无穷点列根据
20、聚点定理至少有一个聚点，换句话说，有子列收敛与这个聚点，将这个子列从原有的点列中去掉，若剩下的是有限个点，那么原有点列就收敛于这个聚点，这与没有极限是矛盾的，因此剩下无穷多的点，那么再根据聚点定理，剩下的点列还会有一个聚点，故我们说它至少有两个聚点。在实数完备性的定理中，若细细推敲，可以发现的不仅仅只是这些定理本身。参考文献1华东师范大学数学系，数学分析上（第三版）M北京高等教育出版社，20072武汉大学数学系，数学分析中的典型问题与方法（第二版）M北京高等教育出版社，20093PUGH，实数学分析第一版M北京高等教育出版社，20094北京大学数学系，数学分析新讲（第一版）M北京北京大学出版社
21、，19905菲赫金哥尔茨，微积分学教程（第二版）M北京高等教育出版社，19546（美）R柯朗，（美）F约翰，微积分和数学分析引论（第一版）M北京科学出版社，20057费定晖，吉米多维奇数学分析习题集精选精解（第三版）M山东山东科学技术出版社，20098周民强，数学分析习题演练（第二版）M北京科学出版社，20109吉米多维奇，数学分析习题集（第一版）M北京人民教育出版社，195810华东师范大学数学系，数学分析下（第三版）M北京高等教育出版社，200711薛春华，数学分析精选习题全解（第三版）M北京清华大学出版社，201014PROOFOFCOMPLETENESSTHEOREMANDAPPLIC
22、ATIONSABSTRACTNEWTONANDLEIBNIZCREATEDCALCULUS,BUTATTHETIMEOFTHEFOUNDATIONISSTILLVERYIMPERFECT,WHICHLEADSTOTHESECONDMATHEMATICALCRISISISADIRECTRESULTOFALARGENUMBEROFOUTSTANDINGMATHEMATICIANSTOSTUDYTOJOINTHERANKSOFTHEREALFOUNDATION,OFWHICHISAVERYIMPORTANTPARTOFTHEAXIOMOFCOMPLETENESSOFTHEREALNUMBER，REA
23、LNUMBERSEVENCOMPLETENESSTHEOREMOFCHARACTERIZATIONFROMDIFFERENTANGLES,THISTHEOREMISEQUIVALENTTOSEVEN,SOFAR,THEREAREMANYWAYSTOPROVETHETHEOREM,SEVENARGUMENTBETWEENTHETHEOREMISDIVIDEDINTOFOURCATEGORIESINTHISPAPERSTRUCTURALNESTEDINTERVALMETHOD,REDUCTIOADABSURDUM,ANDREDUCTIOADABSURDUMSTRUCTURECOMBININGINT
24、ERVALSETSTOFINDCOMMONPOINTMETHODTHEIMPORTANCEOFCOMPLETENESSOFREALNUMBERSISNOTONLYREFLECTEDINTHELIFEOFAWIDERANGEOFAPPLICATIONS,BUTALSOINTHATOTHERIMPORTANTTHEOREMSSUCHASTHEDINITHEOREM,EXISTENCETHEOREMSINTHEROOT,THEREARESEVERALIMPORTANTAPPLICATIONSINTHISARTICLEKEYWORDSREALNUMBER,SEVENTHEOREM,EACHARGUMENTISCONSTRUCTEDNESTEDINTERVALMETHOD,PROOFBYCONTRADICTION,REDUCTIOADABSURDUMSTRUCTURECOMBINEDWITHTHEINTERVALSETTOFINDASPECIALPOINTOFLAW
