1、1（20_届）本科毕业设计数学与应用数学凸函数的性质与应用2正文目录1引言12凸函数的各种定义及判别法121凸函数的定义122凸函数的判别法33凸函数的性质331凸函数的运算性质332凸函数的分析性质44凸函数的应用641凸函数在不等式中的应用642凸函数在高中数学中的应用9参考文献133摘要凸函数是数学分析中一类非常重要的函数本文主要对凸函数的定义,判别法,性质进行探究,特别是凸函数的分析性质,然后给出利用凸函数解题的一些例子关键词凸函数连续性导数不等式应用1引言凸函数是数学分析中一类非常重要的函数,其定义和性质在理论和实践中都有着极其重要的作用,而且它们的应用范围之广,价值之高也是有目共睹
2、的因此,在后来数学的发展史中对凸函数的等价定义,性质和应用的研究一直是人们研究的重点在学者们日渐深入的研究中,关于凸函数的理论越来越多,研究的方向也越来越细,学者们不单单研究凸函数在具体学科中的应用,还研究其在求解线性与非线性不等式组和线性规划中的应用,在高中数学中的应用,在不等式中的应用等等在前人研究的基础上,本文首先给出华东师范大学主编的数学分析（上册）中凸函数的定义以及几个常用的等价定义其次给出若干个凸函数的判别法,同时辅以相应的例题再次给出凸函数的一些运算性质和分析性质最后通过具体例题展示凸函数在解题中的应用,特别是在高中数学解题中的应用通过本文的研究,可以使我们更好,更清楚的看到凸函
3、数定义之间的联系和区别,以及其某些性质在解决数学问题中的重要作用,真正的感受到凸函数的魅力所在2凸函数的各种定义及判别法21凸函数的定义由于不同的教材中凸函数定义略有不同,本论文所采用的是如下的定义定义11设F为定义在区间I上的函数,若对I上的任意两点1X,2X和任意实数（0,1）总有121211FXXFXFX,则称F为I上的凸（凹）函数特别地,当上述不等式严格时,称F为I上的严格凸（凹）函数几何形状如下图所示XYBCA0X1X2XYX0ACBX1X2X凸函数凹函数4由这一基本定义出发,人们还给出了很多等价定义,如假设,IRFIR等价定义111X,2X,3XI,123XXX,32212132F
4、XFXFXFXXXXX,则称F为I上的凸函数其几何意义弦的斜率是单调递增的证明必要性记3231XXXX,则2131XXX由F的凸性知道2131311FXFXXFXFX3221133131XXXXFXFXXXXX,从而有312321213XXFXXXFXXXFX,322212321213XXFXXXFXXXFXXXFX,整理后即得32212132FXFXFXFXXXXX充分性在I上任取两点1X,3X（13XX）,在13,XX上任取一2131XXX,0,1,即3231XXXX由必要性的推导逆过程,可证得131311FXXFXFX,故F为I上的凸函数等价定义222KXI,KT,11NKKT,有11N
5、NKKKKKKFTXTFX,则称F为I上的凸函数等价定义322若F在I内存在单调递增函数,0XI,XI,有00XXFXFXTDT,则称F为凸函数等价定义422若1X,NXI,1212,NNXXXFXFXFXFNNNN,则称F为I上的凸函数等价定义522F为区间I上凸函数的充要条件是对任意的1X,2XI,函数5121FXX为0,1上的凸函数22凸函数的判别法判别法16设F为区间I上的二阶可导函数,则在I上F为凸函数的充要条件是0XF,IX判别法26函数FX在区间I可导,FX在区间I内是凸函数曲线YFX位于它们的任意一点切线的上方判别法36FX在A,B上可导,则FX为凸函数的充要条件为FX在A,B
6、上单调增,FX为严格凸函数的充要条件为FX在A,B上严格递增3凸函数的性质31凸函数的运算性质性质12若FX为凸函数,则FX为凹函数,反之亦然性质22若FX,GX为凸函数,0,0,则FXGX,MAX,FXGX亦为凸函数性质32若FX为凸函数,11RR为单调增加的凸函数,则FX亦为凸函数性质4若FX为凹函数且0FX,XR,则1/FX为凸函数反之不成立,即若0FX为凸函数,1/FX不一定为凹函数证明根据假设,要证明1/FX为凸函数,只要证明X,YR,0,1,有111FXYFXFY（1）事实上,因FX0为凹函数,故有11FXYFXFY（2）所以1111FXYFXFY从而,要证明1只要证明6111FX
7、FYFXFY（3）即可注意到222FXFYFXFY可得3式显然成立,从而1式成立这说明1/FX为凸函数另一方面,当FX0为凸函数时,1/FX不一定为凹函数,例如FX11RR,XFXE0为凸函数,但1XEFX仍为凸函数32凸函数的分析性质性质19若FX为开区间I内的凸（凹）函数,证明FX在I内任一点0X都存在左,右函数证明下面只证凸函数FX在0X存在右导数,同理可证也存在左导数和FX为凹函数的情形设120HH,则对00102XXHXH（这里取充分小的2H,使得02XHI,由引理中的313221213132FXFXFXFXFXFXXXXXXX式有01002012FXHFXFXHFXHH令00FXH
8、FXFHH,故由上式可见F为增函数任取XI且0XX,则对任何0H,只要02XHI,也有0000FXFXFXHFXFHXXH,由于上式左端是一个定数,因而函数FH在0H上有下界因此极限FH存在,即0FX存在性质29若FX是定义在区间I上的凸函数,则FX在区间I内连续证明可由性质1直接得到但需注意如果区间I为闭区间A,B,只能得出FX在（A,B）上连续,不能得出在XA与XB时左右连续例如函数2121XKXFXXFX在一1，1上凸函数,但在X士1处不连续7对二元凸函数此结果同样成立，即有设2DR是凸开区域,函数,FXY是凸函数,则,FXY在D上连续2010年全国大学生数学竞赛预赛试题性质321设FX
9、为,内的凸函数,则FX在I的任一内闭区间,AB上满足LIPSCHITZ条件其中LIPSCHITZ条件是指存在常数0L,使得对I上任意两点X,X都有|FXFXLXX证明要证明FX在,上满足LIPSCHITZ条件,即要证明L0,使得1X,2X,有1212|FXFXLXX因为,AB,故可取H0充分小,使得,HH,AB于此,1X,2X,若1X2X,取32XXH,根据定理有32212132FXFXFXFXMMXXXXH其中M,M分别表示FX在,HH上的上,下界从而2121|MMFXFXXXH,若2X1得1212SINSINSINSINNNNN,上式等号仅在12N时成立例420设01X,01A,则有111
10、1AAXXX证明111AAFXXX,那么111111AAAAFXAXXXAX,1111111AAAAFXAAXXAAXX1121111AAAAAAXXAAXX11122111111AAAAAAAXXXXXXXX1212111111AAAAAAXXAAXX于是,01X,01A,0FX由严格凸函数的定义,其中X,11X,20X得110110FXFXXXFXF,即1111AAXXX例52证明锐角ABC中恒有关系93ABCRABC,其中,ABC为三内角,ABC为其对边,R为外接圆半径证明选取函数SINXFXX,0,2X因为232SIN2COSSINXXXXXFXX,取FX分子为HX,10易知2COS0
11、HXXX,而00H,从而0FX,函数FX为上凸函数,由凸函数的性质性质有SINSIN331SINSINSIN3333233333ABCABCABCABC,则有SINSINSIN932ABCABC,再应用正弦定理有93ABCRABC证毕小结凸函数在不等式上的应用是很广泛的,它不仅在三角函数,指数函数等一些常见函数中具有广泛的应用,而且在一些较复杂的不等式中也有很大的应用（如琴声不等式等）应用凸函数的性质证明不等式可以使很多复杂的证明过程简单化,使得问题的解决变得更加的容易42凸函数在高中数学中的应用例618第一象限的两点111,PXY,222,PXY,使1,1X,2X,2成等差数列1,1Y,2Y
12、成等比数列,则1P,2P与射线L0YXX的关系A1P,2P在L上B1P在L的下方,2P在L的上方C1P,2P在L的下方D1P,2P在L的上方解略,答案是C例718如图所示,1FX,2FX,3FX,4FX是定义在0,1上的四个函数,其中满足性质“对0,1中任意12XX,1212122XXFFXFX恒成立”的只有11这是凸函数性质与图像联系的简单判断题,易知为A例818NA为各项都为正的等比数列,公比Q1,则A1845AAAAB18AA与45AA的大小关系不能判定C1845AAAAD1845AAAA解111NNNAAAQQQ在凸函数的图像上所以164545AABBAA,选C例918若LN22A,L
13、N33B,LN55C,则（）AABCBCBACCABDBAC分析简解本题若对凸函数的理解不深刻则很难入手,可构造上凸函数LNYX,取A2,LN2,B3,LN3,C4,LN4,D5,LN5,则A、B、C、D都在LNYX上,因为LN4LN242,所以C12与OA共线,由凸函数性质,有B在OA之上,D在OA之下如下图,所以LN5LN4LN2LN35423,即CNB13当1,2N或6N时,NA0又363633AADBBQ,所以3313BQD所以32235533332123BQABADBQBBQ322332311210BBQQQQ所以55AB例1218若1A,2A,NA是一组实数,且12NAAAKK为定
14、值,试求22212NAAA的最小值解2FXX在,上是凸函数,2222222121221NNAAAKAAANNK,222212NKAAAN当且仅当12NAAAK时,取等号例1318己知01,2,IXIN,2N,121NXXX,求证121111111NNNNNNNXXX证明121111111NNNNNXXX141212111111111111NNNNNXXXXXX利用结论112111NNNNNNBBBAAA112121NNNBBBAAA,11121211111111NNNNXXXXXX1211NNXXX,又12121NNNXXXXXXNN,1121111111NNNXXX,121111111NNN
15、XXX,即121111111NNNNNNNXXX得证小结凸函数是一类象形函数,在高中课程中虽然没有明确引入它的定义和概念,但因其性质具有明显的直观性,可以考查学生的观察能力和知识迁移能力,又可考查函数的各种性质,还能使平淡的题目增色,所以近年来已受高考命题人的青睐,其在高中数学中的应用也越来越广泛总结凸函数的定义及定理,性质是高中数学的边缘知识,因此,探讨和总结凸函数的性质及应用,对于深刻理解和牢固函数的概念和性质,培养学生抽象思维和创新意识具有重要作用除此之外,巧妙构造和运用凸函数性质,可以把难题简单化,还能使学生在解决问题的过程中感受到数学美和成功感而从近年的高考命题趋势看,凸函数可能成为
16、考查函数各种性质的载体而成为新热点我们应该重视凸函数在这方面的应用参考文献1华东师范大学数学分析上册（第三版）M北京高等教育出版社，20061191252雷澜凸函数的性质与不等式证明N渝州大学学报,2000,17419213裴礼文数学分析中的典型问题与方法M北京高等教育出版社,20061861914卢兴江,金蒙伟高等数学竞赛教程M杭州浙江大学出版社,201020465顾荣函数凹凸性定义的探讨J佳木斯教育学院学报，2010,10262996王庆东,侯海军RN中函数凹凸性判定的充要条件J河北理科教学研究，2003,3507张国坤多元函数的凹凸性再探J,曲靖师专学报1995,1462931158陈朝
17、晖二元函数凹凸性的判别法及最值探讨J高师理科学刊,2010,30525289白景华凸函数的性质、等价定义及应用J开封大学学报,2003,172,696410赵文彼,栗洪敏利用函数的凹凸性推导出一批积分不等式J工科数学,1994,10422722911王新奇利用函数的凹凸性证明一类三角不等式J西安文理学院学报自然科学版,2005,83374012于靖利用曲线的凹凸性证明柯西不等式J辽宁师专学报,2003,522313沈文国用泰勒公式研究函数凹凸性的一种拓广J兰州工业高等专科学校学报,2001,844814普丰山,李兆强连续函数的单调性及凸凹性研究J河南科学,2009,27889689915陈传璋
18、数学分析M北京高等教育出版社,199220320516时贞军无约束优化的超记忆梯度算法J工程数学学报,2000,1729910417孙本旺,汪浩数学分析中的典型例题和方法M长沙湖南科学技术出版社,198324626418方良秋高考题中的凸函数题型及其应用J数学教学通讯报,2007,27138419李碧荣凸函数及其性质在不等式证明中的应用N广西师范学院学报,2004,212939520邱忠文,刘瑞金函数的凹凸性及不等式的证明J工科数学,1993,19315115421陈太道凸函数判定及其应用N临沂师范学院学报,2002,243919222古小敏对凸函数定义之间等价性的进一步研究J重庆工商大学学报
19、自然科学版,2009,262172182CONVEXFUNCTIONSANDTHEIRAPPLICATIONSABSTRACTCONVEXFUNCTIONISAVERYIMPORTANTFUNCTIONINMATHEMATICALANALYSISINTHISPAPER,WEWILLEXPLORETHEDEFINITION,CRITERION,THENATUREOFCONVEXFUNCTION,ESPECIALLYTHEANALYSISPROPERTIESOFCONVEXFUNCTIONATLAST,WEWILLGIVESOMEEXAMPLESBYUSINGCONVEXFUNCTIONKEYWORDSCONVEXFUNCTIONCONTINUITYDERIVATIVEINEQUALITYAPPLICATIONS
