1、,习题课,级数的收敛、求和与展开,三、幂级数和函数的求法,四、函数的幂级数和傅式级数 展开法,一、数项级数的审敛法,二、求幂级数收敛域的方法,第十二章,(在收敛域内进行),基本问题：判别敛散；,求收敛域；,求和函数；,级数展开.,为傅里叶级数.,为傅氏系数) 时,时为数项级数;,时为幂级数;,一、数项级数的审敛法,1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2. 正项级数审敛法,必要条件,不满足,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分审敛法,部分和极限,3. 任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz审敛法: 若,且,则交错级数,收敛 ,概念
2、:,且余项,Dirichlet判别法,（1）,（2）,阿贝尔（bel）判别法,（1）,（2）,例1. 若级数,均收敛 , 且,证明级数,收敛 .,证:,则由题设,收敛,收敛,收敛,P328 题3. 判别下列级数的敛散性:,提示: (1),据比较审敛法的极限形式, 原级数发散 .,原级数发散,故原级数收敛,发散,收敛,用洛必达法则, 原级数发散,时收敛 ;,时, 为 p 级数,时收敛;,时发散.,时发散.,P328 题4. 设正项级数,和,也收敛 .,法1 由题设,根据比较审敛法的极限形式知结论正确.,都收敛, 证明级数,法2 因,故存在 N 0,当n N 时,从而,再利用比较法可得结论,P32
3、8 题5. 设级数,收敛 , 且,是否也收敛？说明理由.,但对任意项级数却不一定收敛 .,问级数,提示: 对正项级数,由比较判别法可知,级数,收敛 ,收敛,级数,发散 .,例如, 取,P328 题6.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:,提示: (1),p 1 时, 绝对收敛 ;,0 p1 时, 条件收敛 ;,p0 时, 发散 .,(2),故原级数绝对收敛.,因,单调递减, 且,但对,所以原级数仅条件收敛 .,由Leibniz审敛法知级数收敛 ;,因,所以原级数绝对收敛 .,讨论下列级数的条件收敛性与绝对收敛性.,(1) 用Abel判别法. 条件收敛.,(2) 用Dirichlet判别法.
4、条件收敛.,二、求幂级数收敛域的方法, 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R :,再讨论, 非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性 .,P328 题8. 求下列级数的敛散域:,练习:,(自证),解:,当,因此级数在端点发散 ,时,时原级数收敛 .,故收敛域为,解: 因,故收敛域为,级数收敛;,一般项,不趋于0,级数发散;,例2.,解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,极限不存在, 原级数 =, 其收敛半径,注意: 此题, 求部分和式极限,三、幂级数和函数的求法,求和, 映射变换法,逐项求导或求积分,对和函数求积或求导,直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成
5、幂级数求和, 再代值,求部分和等, 初等变换法: 分解、套用公式,（在收敛区间内）, 数项级数 求和,例3. 求幂级数,法1 易求出级数的收敛域为,法2,先求出收敛区间,则,设和函数为,练习:,解: (1),显然 x = 0 时上式也正确,故和函数为,而在,x0,P329 题9. 求下列幂级数的和函数：,级数发散,(4),x0,显然 x = 0 时, 级数收敛于0,根据和函数的连续性 , 有,x = 1 时,级数也收敛 .,即得,又,练习:,解: 原式=,的和 .,P329 题10(2). 求级数,注: 本题也可利用例3间接求和.,例3,四、函数的幂级数和傅式级数展开法, 直接展开法, 间接展
6、开法,练习:,1) 将函数,展开成 x 的幂级数., 利用已知展式的函数及幂级数性质, 利用泰勒公式,解:,1. 函数的幂级数展开法,2) 设, 将 f (x)展开成,x 的幂级数 ,的和. ( 2001考研 ),解:,于是,并求级数,2. 函数的傅式级数展开法,系数公式及计算技巧;,收敛定理;,延拓方法,练习:,上的表达式为,将其展为傅氏级数 .,P329 题12. 设 f (x)是周期为2的函数,它在,解答提示,思考: 如何利用本题结果求级数,根据傅式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有,提示:,备用题 设幂级数,满足,解: 设,内收敛, 其和函数,(1) 证明,(2) 求 y(x) 的表达式.,则由,代入微分方程得,( 2007考研 ),分析, 故得,(2) 由(1) 知,可见,助教评价网址http:/ 学号，初始密码: 学号。,
