1、1毕业论文开题报告数学与应用数学凸函数的性质与应用一、选题的意义长期以来，凸函数被认为只在一些具体学科，如机器人学，模具设计或一些数学分支（如全局优化，运筹学等）中具有重要的应用，而在具体的数学学科学习中没有应用，这种观点存在着片面性，其实凸函数在数学中也有许多重要应用。首先，它是数学中一类极其重要的函数。在我们所用的教材（华东师范大学数学系编的数学分析上册）的第六章第五节就给出了关于凸函数的有关定义和性质。它在教材中所处的地方就足以说明了其重要性。而事实上凸函数的定义和性质的应用也确实贯穿于整个数学分析的学习中。在学习凸函数后，课本就围绕凸函数展开，介绍了凸函数在很多方面的应用，如函数的极值
2、与拐点、不等式的证明等。其次，凸函数在高中数学中也有很大的作用。虽然在高中课程中没有明确引入它的定义和概念,但因其性质具有明显的直观性,可以考查学生的观察能力和知识迁移能力,又可考查函数的各种性质,还能使平淡的题目增色,所以近年来已受高考命题人的青睐而且初等函数基本都是凸函数,研究凸函数性质的纵向和横向的发散应用将大有益处。虽然关于凸函数,很多数学分析书中都已经作了介绍，但由于介绍的比较分散，且跨度也比较大，所以本文首先归纳总结了凸函数的几个不同的定义，并说明其等价性。然后主要介绍了函数凸性的一些基本的及推广的判定方法和性质，最后简单介绍了凸函数的一些应用，特别是在不等式和高考数学中的应用。二
3、、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）本文首先根据华东师范大学主编的数学分析（上册）简单介绍了凸函数的定义（包括等价定义）和性质。通过对凸函数的简单介绍后举例说明其在各个方面的应用，具体在不等式的证明和高中数学等方面的应用。除此之外，对已有的结果进行深入理解，尝试拓展凸函数的性质和应用，得到凸函数的本质属性。三、研究（工作）步骤、方法及措施（思路）步骤21聆听论文指导老师对于本课题的研究思想，经过老师的指导，利用寒假时间进行网上选题工作并交与指导老师确认，且利用假期查找文献资料，借阅相关书籍，广泛收集和整理与课题有关的知识，充分做好准备阶段的工作。2通过前期的资料收集、学习和整理
4、的准备工作，能比较切实地确立自己的论点，提炼出论文大纲，写出2000字以上的开题报告。3确立好论文的大纲，明确所论述的论点及论文的大致内容后，完成2000字以上的文献综述4阅读一定数量的外文文献，较好地完成两篇2000字以上的相关外文翻译。5在论文提纲的纲领性指导下，再一次学习相关文献资料，做好笔记，便于给论文写作提供指导与素材，并且开始着手论文的起草。6完成论文的初稿后再一次学习相关文献并对论文进行修改，再交与指导老师审查，再修改。7适时地做好中期检查，详细填写中期检查表，以便查漏补缺。8通过认真学习修改完成最终定稿的论文及其相关知识点，完成论文答辩的准备工作，并通过答辩。9做好毕业论文的总
5、结。10通过“高校毕业设计（论文）网络平台”审核，同时加强与指导老师的联系和交流，完成毕业论文。方法在自学的基础上加强与指导老师的交流，借鉴指导老师的意见，参考相关的文献，同时又要有自己的想法和主见，发挥创造创新的意识。措施（思路）充分地利用好网络资源、图书馆资源等，为论文的写作奠定好坚实的基础，根据论文题目和对相关资料的学习确定论点。而后通过对已有的结果进行深入理解，拓展凸函数的性质和应用，得到凸函数的本质属性。四、毕业论文（设计）提纲1引言2凸函数的各种定义及判别法21凸函数的原始定义322凸函数的等价定义23凸函数的判别法3凸函数的性质4凸函数的应用41凸函数在不等式中的应用42凸函数在
6、高中数学中的应用43凸函数在微观经济学中的应用5凸函数的拓展五、主要参考文献1华东师范大学数学分析上册（第三版）M北京高等教育出版社，20061191252雷澜凸函数的性质与不等式证明N渝州大学学报,2000,17419213裴礼文数学分析中的典型问题与方法M北京高等教育出版社,20061861914卢兴江，金蒙伟高等数学竞赛教程M杭州浙江大学出版社,201020465顾荣函数凹凸性定义的探讨J佳木斯教育学院学报，2010,10262996王庆东，侯海军RN中函数凹凸性判定的充要条件J河北理科教学研究，2003,3507张国坤多元函数的凹凸性再探J,曲靖师专学报1995,14629318陈朝晖
7、二元函数凹凸性的判别法及最值探讨J高师理科学刊,2010,30525289白景华凸函数的性质、等价定义及应用J开封大学学报,2003,172,696410赵文彼,栗洪敏利用函数的凹凸性推导出一批积分不等式J工科数学,1994,10422722911王新奇利用函数的凹凸性证明一类三角不等式J西安文理学院学报自然科学版,2005,83374012于靖利用曲线的凹凸性证明柯西不等式J辽宁师专学报,2003,522313沈文国用泰勒公式研究函数凹凸性的一种拓广J兰州工业高等专科学校学报,2001,844814普丰山,李兆强连续函数的单调性及凸凹性研究J河南科学,2009,278896899415陈传璋
8、数学分析M北京高等教育出版社,199220320516时贞军无约束优化的超记忆梯度算法J工程数学学报,2000,1729910417孙本旺,汪浩数学分析中的典型例题和方法M长沙湖南科学技术出版社,198324626418方良秋高考题中的凸函数题型及其应用J数学教学通讯报,2007,27138419李碧荣凸函数及其性质在不等式证明中的应用N广西师范学院学报,2004,212939520邱忠文,刘瑞金函数的凹凸性及不等式的证明J工科数学,1993,19315115421陈太道凸函数判定及其应用N临沂师范学院学报,2002,24391925毕业论文文献综述数学与应用数学凸函数的性质与应用凸函数是数学
9、分析中一类非常重要的函数,它不仅在一些具体学科,如机器人学,模具设计或一些数学分支如全局优化，运筹学等中具有重要的应用,在具体的数学学科学习中也有重要的应用我们在华东师范大学数学系编的数学分析书上册的第六章第五节学习了凸函数的有关定义和性质在该书中对凸函数的定义叙述为定义11设F为定义在区间I上的函数,若对I上的任意两点1X,2X和任意实数（0,1）总有121211FXXFXFX,则称F为I上的凸函数几何形状如下图所示根据凸函数的定义和相关引理,我们可以得出关于二阶可导凸函数的一个重要的充要条件定理21设F为区间I上的二阶可导函数,则在I上F为凸函数的充要条件是0XF,IX从凸函数的定义,图像
10、,充要条件上,我们可以看到凸函数有其本身的特殊性和直观性,而这些性质对于证明某些较复杂的不等式,解答高中里的数学题目均有很大的帮助国内外现状与研究方向由于凸函数在数学上的广泛应用,国内外越来越多的学者专注于对凸函数各个方面的研究首先,在凸函数的众多研究课题当中,对其基本定义和性质的研究最为广泛和普遍研究的主要内容包括凸函数及对其概念的理解,等价定义,判别法,它的线形性华东师范大学数6学分析上册第三版就对凸函数的概念和定义作了详细的说明除了对凸函数原有性质的研究之外,对其新性质的研究也使研究者们趋之若鹜目前越来越多的学者专注于凸函数的若干新性质在求解线性与非线性不等式组和线性规划中的应用,寻找求
11、解线性与非线性不等式组的新方法其次,在对凸函数的定义和性质有了充分研究的前提下,研究者们更加关注对凸函数的应用的研究例如研究其与不等式证明有关的下凸函数的性质邱忠文,刘瑞金函数的凹凸性及不等式的证明王新奇利用函数的凹凸性证明一类三角不等式利用JENVEN不等式证明当N取任意自然数时该性质的推广在不等式中的应用于靖利用曲线的凹凸性证明柯西不等式凸函数与极值,导数的一些关系裴礼文数学分析中的典型问题与方法孙本旺,汪浩数学分析中的典型例题和方法判断函数极值点与拐点等应用凸函数在高中数学中的研究也是一大亮点由于凸函数是一类象形函数,在高中课程中虽然没有明确引入它的定义和概念,但因其性质具有明显的直观性
12、,可以考查学生的观察能力和知识迁移能力,又可考查函数的各种性质,还能使平淡的题目增色,所以近年来已受高考命题人的青睐初等函数基本都是凸函数,研究凸函数性质的纵向和横向的发散应用方良秋高考题中凸函数的题型及应用最后,随着凸函数的凸性在数学,物理学,经济学,管理学,最优化理论等领域的广泛应用,对凸函数的凸性的进一步研究已成为众多学者密切关注的一个焦点,而由凸集和凸函数拓展延伸而产生的各类凸集和凸函数的不断出现,不仅极大地丰富了凸分析理论,而且有力地推动了数学科学的发展,特别是对数学规划,控制论,最优化等领域的发展起到巨大的作用,也引起了众多学者的密切关注和极大兴趣钟伟,周彬林凸函数的几种不同定义及
13、应用进展情况一开始时,凸函数的重要作用被认为是在一些具体学科,如机器人学,模具设计或一些数学分支如全局优化,运筹学等中的应用但随着对凸函数横向和纵向研究的逐渐深入,研究者们越来越意识到凸函数是数学分析中的一个重要概念,它涉及了许多数学命题的讨论证明和应用例如由重庆师范大学罗超群学者所写的凸函数在分析中的初探就详细得探讨了凸函数的线形性和凸函数与极值,倒数的一些关系由中国科学院计算数学与科学工程计算研究所时贞军学者和曲阜师范大学运筹与管理学院岳丽学者所写的凸函数的若干新性质及应用则详细讨论凸函数的性质在求解线性与非线性不等式组和线性规划中的应用,为线性与非线性不等式组,线性规划的求解提供了一种新
14、方法由井冈山职业技术学院的晏忠红学者所写的凸函数的应用则对用凸函数方法和凸函数詹生不等式推证几种重要的不等式作出了讨论由湖南省汨罗市第二中学的刘正良和宋加文老师则在凸函数理论及7应用策略中描述了凸函数在初高中数学学科中的具体应用总之,学者们对凸函数各方面的研究是趋之若鹜,使得凸函数在各方面的应用也越来越深入存在问题现阶段关于凸函数主要存在三个方面的问题（1）在一元微积分的教学里,函数的凹凸性的的概念却往往被忽视在一些工科类的微积分教材中,对于函数的凹凸性的判断甚至就简单地通过比较函数图像和其切线或割线的上下位置关系来描述（2）对二元凸函数的性质研究较少3对于凸函数的定义和基本性质的介绍比较分散
15、,跨度大参考文献1华东师范大学数学分析上册（第三版）M北京高等教育出版社，20061191252雷澜凸函数的性质与不等式证明N渝州大学学报,2000,17419213裴礼文数学分析中的典型问题与方法M北京高等教育出版社,20061861914卢兴江,金蒙伟高等数学竞赛教程M杭州浙江大学出版社,201020465顾荣函数凹凸性定义的探讨J佳木斯教育学院学报，2010,10262996王庆东,侯海军RN中函数凹凸性判定的充要条件J河北理科教学研究，2003,3507张国坤多元函数的凹凸性再探J,曲靖师专学报1995,14629318陈朝晖二元函数凹凸性的判别法及最值探讨J高师理科学刊,2010,3
16、0525289白景华凸函数的性质、等价定义及应用J开封大学学报,2003,172,696410赵文彼,栗洪敏利用函数的凹凸性推导出一批积分不等式J工科数学,1994,10422722911王新奇利用函数的凹凸性证明一类三角不等式J西安文理学院学报自然科学版,2005,83374012于靖利用曲线的凹凸性证明柯西不等式J辽宁师专学报,2003,522313沈文国用泰勒公式研究函数凹凸性的一种拓广J兰州工业高等专科学校学报,2001,844814普丰山,李兆强连续函数的单调性及凸凹性研究J河南科学,2009,27889689915陈传璋数学分析M北京高等教育出版社,199220320516时贞军无
17、约束优化的超记忆梯度算法J工程数学学报,2000,1729910417孙本旺,汪浩数学分析中的典型例题和方法M长沙湖南科学技术出版社,8198324626418方良秋高考题中的凸函数题型及其应用J数学教学通讯报,2007,27138419李碧荣凸函数及其性质在不等式证明中的应用N广西师范学院学报,2004,212939520邱忠文,刘瑞金函数的凹凸性及不等式的证明J工科数学,1993,19315115421陈太道凸函数判定及其应用N临沂师范学院学报,2002,243919222古小敏对凸函数定义之间等价性的进一步研究J重庆工商大学学报自然科学版,2009,2621721829（20_届）本科毕
18、业设计数学与应用数学凸函数的性质与应用10正文目录1引言12凸函数的各种定义及判别法121凸函数的定义122凸函数的判别法33凸函数的性质331凸函数的运算性质332凸函数的分析性质44凸函数的应用641凸函数在不等式中的应用642凸函数在高中数学中的应用9参考文献1311摘要凸函数是数学分析中一类非常重要的函数本文主要对凸函数的定义,判别法,性质进行探究,特别是凸函数的分析性质,然后给出利用凸函数解题的一些例子关键词凸函数连续性导数不等式应用1引言凸函数是数学分析中一类非常重要的函数,其定义和性质在理论和实践中都有着极其重要的作用,而且它们的应用范围之广,价值之高也是有目共睹的因此,在后来数
19、学的发展史中对凸函数的等价定义,性质和应用的研究一直是人们研究的重点在学者们日渐深入的研究中,关于凸函数的理论越来越多,研究的方向也越来越细,学者们不单单研究凸函数在具体学科中的应用,还研究其在求解线性与非线性不等式组和线性规划中的应用,在高中数学中的应用,在不等式中的应用等等在前人研究的基础上,本文首先给出华东师范大学主编的数学分析（上册）中凸函数的定义以及几个常用的等价定义其次给出若干个凸函数的判别法,同时辅以相应的例题再次给出凸函数的一些运算性质和分析性质最后通过具体例题展示凸函数在解题中的应用,特别是在高中数学解题中的应用通过本文的研究,可以使我们更好,更清楚的看到凸函数定义之间的联系
20、和区别,以及其某些性质在解决数学问题中的重要作用,真正的感受到凸函数的魅力所在2凸函数的各种定义及判别法21凸函数的定义由于不同的教材中凸函数定义略有不同,本论文所采用的是如下的定义定义11设F为定义在区间I上的函数,若对I上的任意两点1X,2X和任意实数（0,1）总有121211FXXFXFX,则称F为I上的凸（凹）函数特别地,当上述不等式严格时,称F为I上的严格凸（凹）函数几何形状如下图所示12XYBCA0X1X2XYX0ACBX1X2X凸函数凹函数由这一基本定义出发,人们还给出了很多等价定义,如假设,IRFIR等价定义111X,2X,3XI,123XXX,32212132FXFXFXFX
21、XXXX,则称F为I上的凸函数其几何意义弦的斜率是单调递增的证明必要性记3231XXXX,则2131XXX由F的凸性知道2131311FXFXXFXFX3221133131XXXXFXFXXXXX,从而有312321213XXFXXXFXXXFX,322212321213XXFXXXFXXXFXXXFX,整理后即得32212132FXFXFXFXXXXX充分性在I上任取两点1X,3X（13XX）,在13,XX上任取一2131XXX,0,1,即3231XXXX由必要性的推导逆过程,可证得131311FXXFXFX,故F为I上的凸函数13等价定义222KXI,KT,11NKKT,有11NNKKKK
22、KKFTXTFX,则称F为I上的凸函数等价定义322若F在I内存在单调递增函数,0XI,XI,有00XXFXFXTDT,则称F为凸函数等价定义422若1X,NXI,1212,NNXXXFXFXFXFNNNN,则称F为I上的凸函数等价定义522F为区间I上凸函数的充要条件是对任意的1X,2XI,函数121FXX为0,1上的凸函数22凸函数的判别法判别法16设F为区间I上的二阶可导函数,则在I上F为凸函数的充要条件是0XF,IX判别法26函数FX在区间I可导,FX在区间I内是凸函数曲线YFX位于它们的任意一点切线的上方判别法36FX在A,B上可导,则FX为凸函数的充要条件为FX在A,B上单调增,F
23、X为严格凸函数的充要条件为FX在A,B上严格递增3凸函数的性质31凸函数的运算性质性质12若FX为凸函数,则FX为凹函数,反之亦然性质22若FX,GX为凸函数,0,0,则FXGX,MAX,FXGX亦为凸函数性质32若FX为凸函数,11RR为单调增加的凸函数,则FX亦为凸函数性质4若FX为凹函数且0FX,XR,则1/FX为凸函数反之不成立,即14若0FX为凸函数,1/FX不一定为凹函数证明根据假设,要证明1/FX为凸函数,只要证明X,YR,0,1,有111FXYFXFY（1）事实上,因FX0为凹函数,故有11FXYFXFY（2）所以1111FXYFXFY从而,要证明1只要证明111FXFYFXF
24、Y（3）即可注意到222FXFYFXFY可得3式显然成立,从而1式成立这说明1/FX为凸函数另一方面,当FX0为凸函数时,1/FX不一定为凹函数,例如FX11RR,XFXE0为凸函数,但1XEFX仍为凸函数32凸函数的分析性质性质19若FX为开区间I内的凸（凹）函数,证明FX在I内任一点0X都存在左,右函数证明下面只证凸函数FX在0X存在右导数,同理可证也存在左导数和FX为凹函数的情形设120HH,则对00102XXHXH（这里取充分小的2H,使得02XHI,由引理中的313221213132FXFXFXFXFXFXXXXXXX式有01002012FXHFXFXHFXHH令00FXHFXFHH
25、,故由上式可见F为增函数任取XI且0XX,则对任何150H,只要02XHI,也有0000FXFXFXHFXFHXXH,由于上式左端是一个定数,因而函数FH在0H上有下界因此极限FH存在,即0FX存在性质29若FX是定义在区间I上的凸函数,则FX在区间I内连续证明可由性质1直接得到但需注意如果区间I为闭区间A,B,只能得出FX在（A,B）上连续,不能得出在XA与XB时左右连续例如函数2121XKXFXXFX在一1，1上凸函数,但在X士1处不连续对二元凸函数此结果同样成立，即有设2DR是凸开区域,函数,FXY是凸函数,则,FXY在D上连续2010年全国大学生数学竞赛预赛试题性质321设FX为,内的
26、凸函数,则FX在I的任一内闭区间,AB上满足LIPSCHITZ条件其中LIPSCHITZ条件是指存在常数0L,使得对I上任意两点X,X都有|FXFXLXX证明要证明FX在,上满足LIPSCHITZ条件,即要证明L0,使得1X,2X,有1212|FXFXLXX因为,AB,故可取H0充分小,使得,HH,AB于此,1X,2X,若1X2X,取32XXH,根据定理有32212132FXFXFXFXMMXXXXH其中M,M分别表示FX在,HH上的上,下界从而2121|MMFXFXXXH,16若2X1得1212SINSINSINSINNNNN,上式等号仅在12N时成立例420设01X,01A,则有1111A
27、AXXX证明111AAFXXX,那么111111AAAAFXAXXXAX,1111111AAAAFXAAXXAAXX18112111AAAAAAXXAAXX11122111111AAAAAAAXXXXXXXX1212111111AAAAAAXXAAXX于是,01X,01A,0FX由严格凸函数的定义,其中X,11X,20X得110110FXFXXXFXF,即1111AAXXX例52证明锐角ABC中恒有关系93ABCRABC,其中,ABC为三内角,ABC为其对边,R为外接圆半径证明选取函数SINXFXX,0,2X因为232SIN2COSSINXXXXXFXX,取FX分子为HX,易知2COS0HXX
28、X,而00H,从而0FX,函数FX为上凸函数,由凸函数的性质性质有SINSIN331SINSINSIN3333233333ABCABCABCABC,则有SINSINSIN932ABCABC,再应用正弦定理有93ABCRABC证毕小结凸函数在不等式上的应用是很广泛的,它不仅在三角函数,指数函数等一些常见函数中具有广泛的应用,而且在一些较复杂的不等式中也有很大的应用（如琴声不等式等）应用凸函数的性质证明不等式可以使很多复杂的证明过程简单化,使得问题的解决变得更加的容易1942凸函数在高中数学中的应用例618第一象限的两点111,PXY,222,PXY,使1,1X,2X,2成等差数列1,1Y,2Y成
29、等比数列,则1P,2P与射线L0YXX的关系A1P,2P在L上B1P在L的下方,2P在L的上方C1P,2P在L的下方D1P,2P在L的上方解略,答案是C例718如图所示,1FX,2FX,3FX,4FX是定义在0,1上的四个函数,其中满足性质“对0,1中任意12XX,1212122XXFFXFX恒成立”的只有这是凸函数性质与图像联系的简单判断题,易知为A例818NA为各项都为正的等比数列,公比Q1,则A1845AAAAB18AA与45AA的大小关系不能判定C1845AAAAD1845AAAA解111NNNAAAQQQ在凸函数的图像上20所以164545AABBAA,选C例918若LN22A,LN
30、33B,LN55C,则（）AABCBCBACCABDBAC分析简解本题若对凸函数的理解不深刻则很难入手,可构造上凸函数LNYX,取A2,LN2,B3,LN3,C4,LN4,D5,LN5,则A、B、C、D都在LNYX上,因为LN4LN242,所以C与OA共线,由凸函数性质,有B在OA之上,D在OA之下如下图,所以LN5LN4LN2LN35423,即CNB当1,2N或6N时,NA0又363633AADBBQ,所以3313BQD所以32235533332123BQABADBQBBQ322332311210BBQQQQ所以55AB例1218若1A,2A,NA是一组实数,且12NAAAKK为定值,试求2
31、2212NAAA的最小值22解2FXX在,上是凸函数,2222222121221NNAAAKAAANNK,222212NKAAAN当且仅当12NAAAK时,取等号例1318己知01,2,IXIN,2N,121NXXX,求证121111111NNNNNNNXXX证明121111111NNNNNXXX1212111111111111NNNNNXXXXXX利用结论112111NNNNNNBBBAAA112121NNNBBBAAA,11121211111111NNNNXXXXXX1211NNXXX,又12121NNNXXXXXXNN,1121111111NNNXXX,121111111NNNXXX,即
32、121111111NNNNNNNXXX得证小结凸函数是一类象形函数,在高中课程中虽然没有明确引入它的定义和概念,但因其性质具有明显的直观性,可以考查学生的观察能力和知识迁移能力,又可考查函数的各种性质,还能使平淡的题目增色,所以近年来已受高考命题人的青睐,其在高中数学中的应用也越来越广泛23总结凸函数的定义及定理,性质是高中数学的边缘知识,因此,探讨和总结凸函数的性质及应用,对于深刻理解和牢固函数的概念和性质,培养学生抽象思维和创新意识具有重要作用除此之外,巧妙构造和运用凸函数性质,可以把难题简单化,还能使学生在解决问题的过程中感受到数学美和成功感而从近年的高考命题趋势看,凸函数可能成为考查函
33、数各种性质的载体而成为新热点我们应该重视凸函数在这方面的应用参考文献1华东师范大学数学分析上册（第三版）M北京高等教育出版社，20061191252雷澜凸函数的性质与不等式证明N渝州大学学报,2000,17419213裴礼文数学分析中的典型问题与方法M北京高等教育出版社,20061861914卢兴江,金蒙伟高等数学竞赛教程M杭州浙江大学出版社,201020465顾荣函数凹凸性定义的探讨J佳木斯教育学院学报，2010,10262996王庆东,侯海军RN中函数凹凸性判定的充要条件J河北理科教学研究，2003,3507张国坤多元函数的凹凸性再探J,曲靖师专学报1995,14629318陈朝晖二元函数
34、凹凸性的判别法及最值探讨J高师理科学刊,2010,30525289白景华凸函数的性质、等价定义及应用J开封大学学报,2003,172,696410赵文彼,栗洪敏利用函数的凹凸性推导出一批积分不等式J工科数学,1994,10422722911王新奇利用函数的凹凸性证明一类三角不等式J西安文理学院学报自然科学版,2005,83374012于靖利用曲线的凹凸性证明柯西不等式J辽宁师专学报,2003,522313沈文国用泰勒公式研究函数凹凸性的一种拓广J兰州工业高等专科学校学报,2001,844814普丰山,李兆强连续函数的单调性及凸凹性研究J河南科学,2009,27889689915陈传璋数学分析M
35、北京高等教育出版社,199220320516时贞军无约束优化的超记忆梯度算法J工程数学学报,2000,1729910417孙本旺,汪浩数学分析中的典型例题和方法M长沙湖南科学技术出版社,198324626418方良秋高考题中的凸函数题型及其应用J数学教学通讯报,2007,27138419李碧荣凸函数及其性质在不等式证明中的应用N广西师范学院学报,2004,212939520邱忠文,刘瑞金函数的凹凸性及不等式的证明J工科数学,1993,1931511542421陈太道凸函数判定及其应用N临沂师范学院学报,2002,243919222古小敏对凸函数定义之间等价性的进一步研究J重庆工商大学学报自然科
36、学版,2009,262172182CONVEXFUNCTIONSANDTHEIRAPPLICATIONSABSTRACTCONVEXFUNCTIONISAVERYIMPORTANTFUNCTIONINMATHEMATICALANALYSISINTHISPAPER,WEWILLEXPLORETHEDEFINITION,CRITERION,THENATUREOFCONVEXFUNCTION,ESPECIALLYTHEANALYSISPROPERTIESOFCONVEXFUNCTIONATLAST,WEWILLGIVESOMEEXAMPLESBYUSINGCONVEXFUNCTIONKEYWORDSCONVEXFUNCTIONCONTINUITYDERIVATIVEINEQUALITYAPPLICATIONS
