1、第九章 列联分析,第九章 列联分析,第一节 列联表 第二节 分布与 检验第三节 列联表中的相关测量,学习目标,1.解释列联表进行 c2 检验一致性检验独立性检验3.测度列联表中的相关性,数据的类型与列联分析,品质数据,品质随机变量的结果表现为类别例如：性别 (男, 女)各类别用符号或数字代码来测度使用定类或定序尺度你吸烟吗? 1.是；2.否你赞成还是反对这一改革方案?1.赞成；2.反对对品质数据的描述和分析通常使用列联表可使用检验,第一节 列联表,一. 列联表的构造二. 列联表的分布,列联表的构造,列联表（概念要点）,由两个以上的变量进行交叉分类的频数分布表行变量的类别用 r 表示， ri 表
2、示第 i 个类别列变量的类别用 c 表示， cj 表示第 j 个类别每种组合的观察频数用 fij 表示表中列出了行变量和列变量的所有可能的组合，所以称为列联表一个 r 行 c 列的列联表称为 r c 列联表,列联表的结构（2 列联表）,列(cj),行 (ri),一个2 列联表,列联表的结构（r c 列联表的一般表示）,列(cj),行(ri),r 行 c 列的列联表,fij 表示第 i 行第 j 列的观察频数,列联表（一个实际例子）,【例】一个集团公司在四个不同的地区设有分公司，现该集团公司欲进行一项改革，此项改革可能涉及到各分公司的利益，故采用抽样调查方式，从四个分公司共抽取420个样本单位(
3、人)，了解职工对此项改革的看法，调查结果如下表,列联表的分布,观察值的分布（概念要点）,边缘分布行边缘分布行观察值的合计数的分布例如，赞成改革方案的共有279人，反对改革方案的141人列边缘分布列观察值的合计数的分布例如，四个分公司接受调查的人数分别为100人，120人，90人，110人条件分布与条件频数变量 X 条件下变量 Y 的分布，或在变量 Y 条件下变量 X 的分布每个具体的观察值称为条件频数,观察值的分布（图示）,行边缘分布,列边缘分布,条件频数,百分比分布（概念要点）,条件频数反映了数据的分布，但不适合进行对比为在相同的基数上进行比较，可以计算相应的百分比，称为百分比分布行百分比：
4、行的每一个观察频数除以相应的行合计数（fij / ri）列百分比：列的每一个观察频数除以相应的列合计数（ fij / cj ）总百分比：每一个观察值除以观察值的总个数（ fij / n ）,百分比分布（图示）,总百分比,列百分比,行百分比,行百分比分布（图示）,列百分比分布（图示）,总百分比,期望频数的分布（概念要点 一致检验）,在全部420个样本中，赞成改革方案的有279 个，占到总数的 r_1/n=279/420=66.4%， 即从总体上看，约有2/3的调查对象对这项改革方案表示赞同。在全部420个样本中，反对改革方案的有141个，占到总数的 r_2/n=141/420=33.6%，,期望
5、频数的分布（概念要点 一致检验）,如果我们希望进一步了解各分公司对这项改革方案的是否存在差异，。我们可以先假设各分公司对这项改革方案的看法相同，也就是说，各分公司赞成该项改革方案的人数的比例相同，i.e. P1 = P2 = P2 = P4 这个比例可用 279/420=66.4%（= P1 = P2 = P2 = P4 ） 来估计。,期望频数的分布（概念要点 一致检验）,因此， (如果看法一致)第一分公司赞成这项改革方案的期望人数为第一份公司被调查的总人数*赞成的比例=100* P1=100*66.4%=66=C_1* (R_1/n )=C_1*R_1/n,期望频数的分布（概念要点 一致检验
6、）,因此， (如果看法一致)第一分公司反对这项改革方案的期望人数为第一份公司被调查的总人数*反对的比例=100* （1-P1 ）=100*33.6%=34=C_1* (R_2/n )=C_1*R_2/n,期望频数的分布（概念要点 一致检验）,因此， (如果看法一致)第二分公司赞成这项改革方案的期望人数为第二分公司被调查的总人数*赞成的比例=120* P1=120*66.4%=34=C_2* (R_1/n )=C_2*R_1/n,期望频数的分布（概念要点 一致检验）,第i行j列的期望频数,期望频数的分布（算例）,根据上述公式计算的前例的期望频数,第二节 分布与 检验,一. 统计量 检验, 统计量
7、, 统计量（要点）,用于检验列联表中变量之间是否存在显著性差异，或者用于检验变量之间是否独立计算公式为, 统计量（算例）,合计：3.0319, 检验,品质数据的假设检验,一致性检验（要点）,检验列联表中目标变量之间是否存在显著性差异检验的步骤为提出假设H0：P1 = P2 = = Pj (目标变量的各个比例一致)H1：P1 , P2 , , Pj 不全相等 (各个比例不一致)计算检验的统计量,进行决策根据显著性水平和自由度(r-1)(c-1)查出临界值2若22，拒绝H0；若22，接受H0,自由度计算说明表,一致性检验（实例）,提出假设H0：P1 = P2 = P2 = P4 (赞成比例一致)H
8、1：P1 , P2 , P3 , P4不全相等 (赞成比例不一致)计算检验的统计量,【例】续前例，检验职工的态度是否与所在单位有关？( 0.1),根据显著性水平0.1和自由度(2-1)(4-1)=3查出相应的临界值2=6.251。由于2=3.03192=6.251，接受H0,独立性检验（要点）,检验列联表中的行变量与列变量之间是否独立检验的步骤为提出假设H0：行变量与列变量独立H1：行变量与列变量不独立计算检验的统计量,进行决策根据显著性水平和自由度(r-1)(c-1)查出临界值2若22，拒绝H0；若229.448，拒绝H0,期望频数的分布（概念要点）,假定行变量和列变量是独立的一个实际频数
9、fij 的期望频数 eij ，是总频数的个数 n 乘以该实际频数 fij 落入第 i 行 和第j列的概率，即,期望频数的分布（算例）,例如，第1行和第1列的实际频数为 f11 ,它落在第1行的概率估计值为该行的频数之和r1除以总频数的个数 n ，即：r1/n；它落在第1列的概率的估计值为该列的频数之和c1除以总频数的个数 n ，即：c1/n 。根据概率的乘法公式，该频数落在第1行和第1列的概率应为,由于观察频数的总数为n ，所以f11 的期望频数 e11 应为,第三节 列联表中的相关测量,一. 相关系数 列联相关系数 V 相关系数,列联表中的相关测量（一般问题）,品质相关对品质数据(定类和定序
10、数据)之间相关程度的测度列联表变量的相关属于品质相关列联表相关测量的指标主要有 相关系数列联相关系数V 相关系数, 相关系数（要点）,测度 22列联表中数据相关程度的一个量对于22 列联表， 系数的值在01之间 相关系数计算公式为, 相关系数（原理分析）,一个简化的 22 列联表, 相关系数（原理分析）,列联表中每个单元格的期望频数分别为,将各期望频数代入 的计算公式得, 相关系数（原理分析）,将入 相关系数的计算公式得,ad 等于 bc ， = 0，表明变量X 与 Y 之间独立若 b=0 ，c=0，或a=0 ，d=0，意味着各观察频数全部落在对角线上，此时| =1,表明变量X 与 Y 之间完
11、全相关,列联表中变量的位置可以互换，的符号没有实际意义，故取绝对值即可,列完全相关的两种情形,列完全相关的两种情形,列联相关系数（要点）,用于测度大于22列联表中数据的相关程度计算公式为,C 的取值范围是 0C1C = 0表明列联表中的两个变量独立C 的数值大小取决于列联表的行数和列数，并随行数和列数的增大而增大根据不同行和列的列联表计算的列联系数不便于比较,V 相关系数（要点）,计算公式为,V 的取值范围是 0V1 V = 0表明列联表中的两个变量独立 V=1表明列联表中的两个变量完全相关不同行和列的列联表计算的列联系数不便于比较当列联表中有一维为2，min(r-1),(c-1)=1,此时V
12、=,、C、V 的比较,同一个列联表，、C、V 的结果会不同不同的列联表，、C、V 的结果也不同在对不同列联表变量之间的相关程度进行比较时，不同列联表中的行与行、列与列的个数要相同，并且采用同一种系数,列联表中的相关测量（一个实例）,【例】一种原料来自三个不同地区，原料质量被分成三个不同等级。从这批原料中随机抽取500件进行检验，结果如下表。分别计算系数、C系数和V系数，并分析相关程度,列联表中的相关测量（一个实例）,解：已知n=500，根据前面的计算19.82，列联表为33,结论：三个系数均不高，表明产地和原料等级之 间的相关程度不高,第四节 列联分析中应注意的问题,一. 条件百分表的方向 c
13、2 分布的期望值准则,条件百分表的方向,一般，列联表中变量的位置是任意的。即变量X既可放在列的位置，也可放在行的位置。如果变量X与变量Y存在因果关系，令X为自变量（原因），Y为因变量（结果），那么一般的做法是把自变量X放在列的位置，条件百分表也多按自变量的方向计算，因为这样便于更好地表现原因对结果的影响。如下例：,职业背景与工作价值观取向,例外情形,如果因变量在样本内的分布不能代表其在总体内的分布，例如，为了分析的需要，抽样时扩大了因变量的某项内容的样本容量， 这时如果仍以自变量的方向计算百分比就会歪曲实际情况。,实例,社会学家欲研究家庭状况（自变量）对青少年犯罪（因变量）的影响。该地区有未犯
14、罪的纪录的青少年10 000名，有犯罪记录的青少年150名。如果从未犯罪青少年中抽取1%，即100名进行研究，则用相同比例从犯罪青少年中抽取的样本量仅为1.5人。显然这样少的数量无法满足对比研究的需要。因此，对犯罪青少年的抽样必要扩大，譬如扩大到1/2，即抽取75人。数据如下：,家庭状况与青少年犯罪,家庭状况与青少年犯罪（条件百分表）,歪曲的比例：完整家庭中，犯罪青少年占的比例 是29%，原因时抽样事扩大了对犯罪青少年抽取的数量,家庭状况与青少年犯罪（按因变量方向计算条件百分表）,从上表可见：完整家庭中，未犯罪青少年占的比例是92%，而在离异家庭中这个比例进为8%,c2 分布的期望值准则,用c
15、2 分布进行独立性检验，要求样本容量必须足够大，特别使每个单元中的期望频数（理论频数）不能过小，否则应用c2 检验可能会得出错误的结论。关于小单元次数通常有两个准则：,如果只有两个单元，每个单元的期望频数必须是5或5以上。如果有两个以上的单元，如果20%的单元期望频数f_e小于5，则不能应用c2 检验。,c2 检验 只有两个单元的情形,每个单元的期望频数必须是5或5以上可以使用c2 检验,c2 检验 两个以上的单元情形,如果20%的单元期望频数f_e小于5，则不能应用c2 检验,可以应用c2 检验,6个单元中只有1个单元的期望频数51/6 12.592=c2 _0.05（6） ，拒绝原假设。但实际上，期望值与观察值拟合得很好,上例的修改,将这个例子中的某些类合并，使得f_e=5,麻烦就会。将E，F，G合并:,c2 =7.269.448=c2 _0.05（4） ，接受原假设。由此可知：f_e过大，造成（f_o-f_e）2/f_e不适当地增大，造成对c2 的高估，从而导致不适当地拒绝原假设,本章小结,解释列联表计算期望频数进行 c2 检验一致性检验独立性检验对列联表进行相关分析用Excel进行c2 检验,结 束,
