1、一、问题的提出,二、导数的定义,四、函数可导性与连续性的关系,五、小结 思考题,三、导数的几何意义,第一节 导数概念,一、问题的提出,1.变速直线运动的瞬时速度问题,考虑最简单的变速直线运动自由落体运动，如图,取极限得,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,播放,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线
2、位置,如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,极限位置即,3.经济问题,二、导数的定义(derivative),定义,1. 函数在一点处的导数与导函数,其它形式,即,关于导数的说明：,注意:,在上式中虽然 x 可以取区间 I 内的任何数值 , 但在取极限的过程中, x 是常量 , x 是变量.,播放,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的极限函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的极限函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的极限函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的极限函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变
3、化率的极限函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的极限函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的极限函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的极限函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的极限函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的极限函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的极限函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的极限函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的极限函数.,2. 求导数举例,步骤:,例1,解,例2,解,例3,解,更一般地,例如,例4,解,例5,解,2.右导数:(right-hand derivatives
4、),3. 单侧导数,1.左导数:(left-hand derivatives),题型,解题思路,例6,解,三、导数的几何意义,切线方程为,法线方程为,例7,解,由导数的几何意义, 得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,四、函数可导性与连续性的关系,定理 凡可导函数都是连续函数.,证,连续函数不一定存在导数.,例如,注意: 该定理的逆定理不成立.,例如,例如,例8,解,五、小结 思考题,1. 导数的实质: 增量比的极限,即瞬时变化率;,3. 导数的几何意义: 切线的斜率;,4. 可导的函数一定连续，但连续的函数不一定可导;,5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.,6. 判断可导性,不连续,一定不可导.,连续,直接用定义;,看左右导数是否存在且相等.,思考题,思考题解答,三、 证明：若 为偶函数且 存在，则 .,七、证明：双曲线 上任一点处的切线与两坐标 轴构成的三角形面积都等于 .,练习题答案,
