1、 本科毕业论文（设计） （ 201 届） 浅析分块矩阵的应用 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要 ： 分块矩阵可以用来降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的结构更清晰明朗，从而使一些矩阵的相关计算简单化，而且还可以用于证明一些 与矩阵有关的问题，本文重点就分块矩阵应用于矩阵的秩和一些相关矩阵方面的证明问题，以及求逆矩阵和方阵行列式的计算问题上进行了分析，通过引用了大量的实例说明了对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解，所以分块矩阵作为高等代数中的一个重要概念，我们需要透彻的了解分块矩阵并能很好学会在何时应用矩阵分块，从而
2、研究它的性质及应用是非常必要的。 关键词 ： 分块矩阵；应用；运算；线性方程组 The application of shallow partitioned matrix problems Abstract: The partitioned matrix can be used to reduce the matrix series, higher series of structure that matrix, thus make more wide-awake some matrix calculations simplification, but also can be used to
3、prove some and matrix relevant question, this paper will block matrix used in matrix rank and some related matrix, and the proof in inverse matrix and the calculation problem of the determinant phalanx was analyzed, and through the quotes lots of examples of matrix of the proper higher algebra parti
4、tioned can make many of the calculation and proof solved the problem, so the partitioned matrix as one of the important concept of higher algebra, we need to thoroughly understand the partitioned matrix and can very good learn when application matrix, thus the partitioned properties and application
5、is very necessary. Key words: The partitioned matrix; Applications. Calculations; Linear equations 目 录 1 绪 论 . 1 1.1 问题的背景 . 1 1.2 问题的意义 . 1 2 分块矩阵概念介绍 . 3 2.1 分块矩阵概念介绍 . 3 2.1.1 分块矩阵概况 . 3 2.2 矩阵产生的历史背景 . 3 2.3 分块矩阵发展现状及其基本功能 . 5 3 分块矩阵的类型及运算规则 . 7 3.1 分块矩阵的分法 . 7 3.1.1 列向量分法 . 7 3.1.2 行向量分法 . 7 3.
6、1.3 分成两块 . 7 3.1.4 分成四块 . 7 3.2 分块矩阵的基本运算规则 . 8 3.2.1 分块矩阵的加法 . 8 3.2.2 分块矩阵的数量乘法 . 8 3.2.3 分块矩阵的乘法 . 8 3.2.4 分块矩阵的转置 . 8 3.2.5 分块对角矩阵 . 9 3.2.6 可逆分块矩阵的逆矩阵 . 9 4 分块矩阵的主要应用 . 11 4.1 分块矩阵在线性代数中的应用 . 11 4.1.1 用分块矩阵计算行列式 . 11 4.2 分块矩阵在解线性方程组的应用 . 15 4.3 用分块矩阵求可逆矩阵的逆矩阵 . 19 4.4 利用分块矩阵证明矩阵秩的不等式 . 21 4.5 分
7、块阵的其他应用 . 23 5 结论 . 24 参考文献 . 25 1 1 绪 论 1.1 问题的背景 矩阵 :英文名 Matrix。在数学名词中，矩阵用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据。这个定义很好地解释了 Matrix 代码制造世界的数学逻辑基础。矩阵是数学中最重要的基本概念之一，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究及应用的一个重要工具。 矩阵（ Matrix）本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方。在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由 19 世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵概念在生产实践中也有许多应用，比如矩阵 图法以
8、及保护个人帐号的矩阵卡系统（有深圳网域提出）等等。“矩阵”的本意也常被应用，比如监控系统中负责对前端视频源与控制线切换控制的模拟设备也叫矩阵。 4 矩阵理论是经典数学的基础，也是实用性最强的数学分支之一，是处理大量有限维空间形式与数学关系的强有力的工具 .矩阵理论在系统科学、优化方法、控制论、图论、稳定性理论等众多领域中都有广泛的应用 .计算机的普及进一步促进了矩阵理论的发展 . 为了便于分析和计算，根据矩阵的特点和实际运算的需要，用若干条位于行与行之间的横 线及若干条位于列与列之间的纵线将矩阵分成若干小矩阵，以子块为元素形式的矩阵称为分块矩阵。对于分块矩阵可以定义类似于普通矩阵的运算。这些运
9、算会使许多问题化繁为简。2 1.2 问题的意义 矩阵理论是经典数学的基础，也是实用性最强的数学分支之一，是处理大量有限维空间形式与数学关系的强有力的工具 .矩阵理论在系统科学、优化方法、控制论、图论、稳定性理论等众多领域中都有广泛的应用 .计算机的普及进一步促进了矩阵理论的发展 . 为了便于分析和计算，根据矩阵的特点和实际 运算的需要，用若干条位于行与行之间的横线及若干条位于列与列之间的纵线将矩阵分成若干小矩阵，以子块为元素形式的矩阵称为分块矩阵。对于分块矩阵可以定义类似于普通矩阵的运算。这些运算会使许多问题化繁为简。2 分块矩阵是一个矩阵，它是把矩阵分别按照横竖分割成一些小的子矩阵。然后把每
10、个小矩阵看成一个元素。由矩阵 A 的若干行、若干列的交叉位置元素按原来顺序排成的矩阵称为 A 的一个 子2 矩阵 。把一个矩阵 A 的行分成若干组，列也分成若干组，从而 A 被分成若干个子矩阵，把 A 看成是由这些子矩阵组成的，这称为矩阵的 分块 ，这种由子矩阵组成的矩阵称为 分块矩阵 。 4 3 2 分块矩阵概念介绍 2.1 分块矩阵概念介绍 2.1.1 分块矩阵概况 矩阵分块的方法是矩阵理论中基本方法之一 ,分块矩阵的初等变换则是处理分块矩阵有关问题的重要工具。 把一个大型矩阵分成若干小块，构成一个分块矩阵，这是矩阵运算中的一个重要技巧，它可以把大型矩阵的运算化为若干小型矩阵的运算，使运算
11、更为简明。 首先通过例子说明矩阵分块的基本思想。 对于一个 mn 矩阵 A ，在 A 的行之间加入 1s 条横线 (1 )sm ，在 A 的列之间加入 1t 条竖线 (1 )tn ，则 A 被分成 st 个小矩阵，一次记为： ( 1 , 2 , , ; 1 , 2 , , )ijA i s j t。此时 A 可写成 1 1 1 2 12 1 2 2 212tns s stA A AA A AAA A A。 把 A 视作以 ijA 为元素的形式上的 st 矩阵，称之为分块矩阵，或称为对 A 的分块，每个小块 ijA 称为 A 的子块。 12 2.2 矩阵产生的历史背景 矩阵概念和线性代数学科的引
12、进和发展是源于研究线性方程组系数而产生的行列式的发展 .莱布尼兹 ,微积分学的两个奠基者之一 ,在 1693 年使用了行列式 ,克莱姆于 1750 年提出了用行列式求解线性方程组的公式 (即今天著名的克莱姆法则 ).相对比地 ,行列式的隐含使用最早出现在 18 世纪晚期拉格郎日关于双线性型的著作里 .拉格郎日希望刻画多变量函数的极大值与极小值 .他的方法今天以拉格郎日乘数法闻名 .为此 ,他首先要求第一个偏导数为 0,再需要关于第二个偏导数的矩阵成立一个条件 .这个条件今天称之为正定或负定 ,尽管拉格郎日没有明显地使用矩阵 . 在 1800 年左右 ,高斯发现了高斯消去法 ,他用此方法解决了天
13、体计算和后来大地测量 (关于测量或确定地球形状或定位地球表面一个点的应用数学分支 ,称之为大地测量学 )计算中的最小平方问题 .尽管高斯的名字相伴随从线性方程组逐次逍去变量的这项技术 ,但从发现的早在几个世纪前4 的中文手稿中解释了如何用 “高斯的 “消去法解带有三个未知量的三个方程构成的线性方程组 .多年来 ,高斯消去法被认为是大地测量学 ,而非数学 ,发展的一部分 .首次印刷出来的高斯 约当消去法是在 W. 约 当写的关于大地测量学的手册里 .许多人错误地认为著名数学家 C.约当是 “高斯 约当 “消去法中的约当 .为了矩阵代数的丰富发展 ,人们既需要适当的概念 ,还需要适当的矩阵乘法 .
14、 这两种需要在同一时间和同一地点交汇了 .在 1814 年于英格兰 ,J.J.西勒维斯特 首先引进了术语 “Matrix“,作为一列数的名称 ,这是拉丁语胚胎的意思 .詹姆斯约瑟夫西尔维斯特（ J.J.Sylvester， 1814-1897）出生于英国伦敦的一个犹太人家庭。 1 西尔维斯特一生致力于纯数学的研 究，他在不同领域里孕育了丰富的矩阵思想。他引进了有关矩阵的许多数学名词，给出了举着你的一些重要概念与结论。 1850 年，西尔维斯特在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程组时，由于无法使用行列式，所以引入了“矩阵”（ Martix）一词来表示“一项由 m 行 n 列元素组成的矩
15、形阵列”，这是矩阵一词最早使用。 在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。 1858 年，凯莱发表了重要文章矩阵论的研究报告（ A Memoir on the Theory of Matrices），系统的阐述了矩阵的基本理论。在该文中，他用单个的字母表示矩阵，定义了零矩阵、单位矩阵等特殊矩阵，定义了两个矩阵相等、相加以及数乘矩阵，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性，数与矩阵的数乘等运算和算律。在该文中，凯莱冲两个变换的复合给出两个矩
16、阵乘积的定义，得出矩阵乘法满足结合律一般不满足交换率，推广了矩阵乘积的转置的一般性质。 凯莱的 矩阵论的研究报告的公开发表标志着矩阵理论作为一个独立 数学分支的诞生。作为矩阵理论的创立者，凯莱的矩阵理论的创立与发展中做出了开创性的工作，他是第一个把矩阵作为独立的概念提出来，并作为独立的理论加以研究的数学家。从矩阵概念的引入、相关概念的定义、运算的定性与求法到矩阵一些重要结论的建立，凯莱关于这个课题发表了一系列研究成果，使得矩阵从零散的知识发展为系统完善的理论体系。 凯莱创立矩阵理论之后，数学家们并没有停止对矩阵的研究，在 19 世纪下半叶，许多数学家在不痛的数学领域进一步研究和发展着矩阵理论。
17、 1884 年，西尔维斯特提出了对角矩阵（ Diagonal matrix）和数量矩阵（ Scalar matrix）的概念，并且由矩阵加法定义和乘法定义得出对角矩阵和数量矩阵的加法与乘法运算规则。 在矩阵论的发展史上，弗洛玻纽斯的贡献是不可磨灭的。他在矩阵的特征方程、特征根、矩阵5 的秩、正交矩阵、矩阵方程等方面做了大量的工作。 1878 年，弗洛玻纽斯引进了西尔维斯特矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子等概念，给出了正交矩阵、相似矩阵、合同矩阵等概念，指出了各种不痛类型的矩阵的关系，讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要的性质。 20 世纪初，矩阵理论得到了进一步的发展，矩阵本身所具有 的性质
18、依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支 矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。 2.3 分块矩阵发展现状及其基本功能 因为行列式要求行数等于列数，排成的表总是正方形的，通过对它的研究又发现了矩阵的理论。矩阵也是由数排成行和列的数表，可以行数和烈数相等也可以不等。 矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而 矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样
19、对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由 西尔维斯特 首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是 否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。 矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成
20、为独立的一门数学分支 矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域。分块矩阵可用于简化运算，简化数学证明，以及一些电脑应用如 VLSI 芯片设计等。 4 分块矩阵可以用来降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的 结构更清晰明朗，从而使一些矩阵的相关计算简单化，而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题，本文重点就分块矩阵应用于矩阵的秩和一些相关矩阵方面的证明问题，以及求逆矩阵和方阵行列式的计算问题上进行了分析，通过引用了大量的实例说明了对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解，所以6 分块矩阵作为高等代数中的一个重要概念，我们需要透彻的了解分块矩阵并能很好学会在何时应用矩阵分块，从而研究它的性质及应用是非常必要的。
