1、 本科毕业论文（设计） （ 20 届） 数学建模中数学模型方法的研究 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要 ： 数学模型方法是数学的一种重要方法，是应用数学解决其他学科问题的主要方法 。 相对于现实来说，数学中 的数、式、方程、函数、统计量等都可视为数学模型，它是实际问题的数学化 。本文中，我们首先介绍了数学建模的背景、基本概念和国内外的数学建模竞赛，接着总结了在数学建模竞赛中常用的建模方法和步骤以及几类典型的数学模型。最后通过分析一个具体的数学建模竞赛题来说明数学模型方法的思想和应用。 关键词： 模型；数学模型；数学模型方法；数学建模竞赛
2、 Study of the Methods of Mathematical Model In Mathematical Modeling Abstract： The method of mathematical model is one of the important methods in the fields of mathematics. Also， it is the main method to solve other discipline problems in Applied Mathematics. Relatively to the real speaking, in mat
3、hematics, such as number, type, equation, function, statistics, etc, they can be regarded as mathematical model. In other words, it transforms the practical problems in our real life into mathematical model. In this thesis, we firstly introduce the background of mathematical modeling, the basic conc
4、epts and Mathematical Modeling Competition at home and abroad, and then summarize some common modeling methods and steps in Mathematical Modeling Competition, and several typical kinds of mathematical models. Finally, we will analysis a specific Mathematical Modeling Contest question to illustrate t
5、he thought and application in the mathematical model method. Key words： model; mathematical model; mathematical model method; mathematical modeling contest 目录 1 绪论 . 1 1.1 课题背景及意义 . 1 1.2 数学建模的基本概念 . 1 1.3 国内外的数学建模竞赛 . 2 1.4 数学模型的应用 . 2 2 数学建模中模型建立的基本方法 . 4 2.1 数 学建模的基本方法 . 4 2.2 建立数学模型的基本步骤 . 5 2.3
6、 数学模型的特点 . 5 2.4 数学模型的分类 . 6 3 生活中的数学模型举例 . 9 3.1 动物身长和体重的关系 . 9 3.2 最优价格的选取 . 10 4 应用实例 . 12 4.1 问题叙述 . 12 4.2 模型假设 . 13 4.3 符号说明 . 13 4.4 模型分析和建立及求解 . 14 4.4.1 问题一的建模与求解 . 14 4.4.2 问题二的建模与求解 . 19 4.5 模型的评价和改进 . 24 5 结论与展望 . 26 致 谢 . 错误 !未定义书签。 参考文献 . 27 1 1 绪论 1.1 课题背景及意义 数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产
7、生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的 。 进入 20 世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种 问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入 。 近年来，随着我国数学教育的蓬勃发展，人们的数学教育观已经发生了深刻的变化，不仅“大众数学”与“问题解决”等崭新的教育观念开始确立，而且包括“数学建模”在内的各种教学实验也相继展开。 一个有应用价值的数学模型必须符合以下七个标准 1 ： 1、相关性：数学模型所要解决的问题必须被认为是重要的。 2、有效性：从数学模型所得出的结论必须具有相当高的置信 度。 3、非无效性：由数学模型所描述出的实际状况不是由
8、人们所能直接观察到的。 4、有用性：数学模型必须可解的，并能付诸实施。 5、弹性：数学模型要能解答“如果怎么办”，一类问题。 6、精巧性：数学模型结构简单易懂。 7、及时性：数学模型所提供的答案具有时效。 纵观数学的发展历史，数千年来人类对于数学的研究一直是沿着纵横两个方向进行的。在纵向上，探讨客观世界在量的方面的本质和规律，发现并积累数学知识，然后运用公理化等方法构建数学的理论体系，这是对数学科学自身的研究。 在横向上，则运用数学的知识去解决各门科学和人类社会生产与生活中的实际问题，这里首先要运用数学模型方法构建实际问题的数学模型，然后运用数学的理论和方法导出其结果，再返回原问题实现实际问题
9、的解决，这是对数学科学应用的研究。 由此可见，数学建模既是各门科学研究的经常性活动，具有方法论的重要价值，又是数学与生产实际相联系的中介和桥梁，对于发挥数学的社会功能具有重要的作用。（参见文献 12） 1.2 数学建模的基本概念 先介绍一下什么是数学建模。 数学建模 3 （ Mathematical Modeling）把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。简而言之，数学建模是利用各种数学方法解决生产生活中实际问题的一种方法。 2 数学建模是一门新兴的学科， 20 世纪
10、70 年代初诞生于英美等现代化工业国家。由于新技术特别是计算机技术的迅速发展，大量的实际问题需要用计算机来解决，而计算机与实际问题之间需要数学模型来沟通，所以这门学 科在短短几十年的时间迅速辐射至全球大部分国家和地区。（参见文献 34） 1.3 国内外的数学建模竞赛 说起数学模型方法，不得不提及现如今受到全球重视的数学模型竞赛。数学模型竞赛 3 起源于美国。由美国数学及应用协会（ COMAP）主办、美国工业与应用数学学会（ SIAM）、美国运筹学会（ ORSA）和几所大学支持的美国大学生数学模型竞赛（ MCM）自 1985 年起每年举办一次。第一届有 90 个队参加，到 1990 年已增至 2
11、36 个队。除了美国外，加拿大、中国、荷兰和香港地区的大学也相继参赛。我国于 1989 年开始组队参加， 1990 年我国派出 6 个队，共获得 4 个一等奖和1 个二等奖。 1993 年有 18 所院校的 38 个队参加，有 5 个队获得一等奖，我国自己举办数学模型竞赛是 90 年代的事。 1990 年 12 月 7 日到 9 日，上海市工业与应用数学学会主持举办了上海市大学生数学模型竞赛，当时只是在上海有数学专业七所高校中举行，有六所学校的 22 个队参赛。 1992年，中国工业与应用数学学会（ CSIAM），委托该学会的数学模型专业委员会和上海市工业与应用数学学会试 办了 1992 年中
12、国大学生数学模型联赛，竞赛已经不只局限于数学专业的学生。有 74所院校的 314 个队，近千名学生在北京、上海、西安、武汉等九个赛区参加了比赛。中国工业与应用数学学会决定从 1993 年起正式在全国开展这一活动，并且每年举行一次比赛， 1993 年参赛的有来自全国 101 所高校理工、经管等专业的 1300 多名学生组成的 420 个队。云南省的高校从 1994年开始参赛，有七所院校 54 个队参加，并获得一个一等奖，三个二等奖的好成绩， 1995 年参赛队增加到 57 个，参赛学校扩大到地州的高校。近年来在北京、上海等一些地区， 已经开始实行中学生数学模型竞赛，并取得了成功的经验。 随着数学
13、模型比赛规模的日益扩大，影响逐渐增加，人们希望对数学模型和数学模型竞赛有更加深入的了解。但目前专门论述数学模型竞赛的文章尚不多见，这一领域的研究有待深入。（参见文献 3-5） 1.4 数学模型的应用 数学建模应用实例很多，可以利用微积分的理论和方法，用数学的语言解释一些日常现象的成因。例如：在讲拉格朗日乘子法求多元函数条件极值时，可以介绍“蜂巢结构”例子 6 。 （ 1）问题背景介绍：蜂房的形状特征是每一个巢的正面是六边形，但六面柱的底是由 3 个全等的菱形组成的。著名天文学家马拉尔第（ Maraldi）揭示了作为蜂房底的 3 个菱形，其钝角等于，。 28109 ，锐角等于 ，。 3270 。
14、法国物理学家雷奥姆（ Reaumur）大胆断言：“用这样的角度来建造蜂房，在相同的容积下材料最省”。对于雷奥姆的猜测的正确性，可用数学 的知识给以解答。 3 （ 2）问题的提出：在相同的容积下，一个六面柱由怎样 3 个全等的菱形作底，其表面积才能最小。 （ 3）问题的建立： 设六面柱边长为 a2 ，则菱形的 个对角线长为 3a2 ，另一个对角线长为 y2 ，由问题的提出条件，建立拉格朗日函数，用拉格朗日乘子法得到 a26y ，这部分可以构想如何将蜂巢和一个六面柱（体积和蜂巢相等）联系起来。 （ 4）问题的解答：由三角函数正切值算得菱形其锐角等于 ，。 3270 ，则钝角等于 ，。 28109
15、。 （ 5）问题的应用：蜂房的结构使材料工艺师特别是飞机结构工艺师得到启发。为节省材料，减轻飞机质量，设计了“蜂窝式夹层”结构 ，不仅隔音效果好，而且质量只有实心的几分之一。 数学建模还可应用于我国城市污水处理 7 ，我国城市污水处理厂的建设起步晚，资金需求大。目前工业废水和城市生活污水运行中的主要问题是经费不足，污水处理厂的总投资主要可分为两个部分，建设费用和运行费用。建设费用是一次性固定投入，因其成为地方政府经济社会发展的制约瓶颈、主要的政绩考核指标而备受关注，而运行费用，是保证处理效率、环境指标和环境质量实现的决定因素，处于微观层面，直接受制于技 术的经济性和财政可承受性。重点分析影响污
16、水处理厂运行效益的能耗因素，建立基于现有实用技术、实际运行参数、运行费用的优化模型，对现有污水处理厂的优化运行、新厂的建设都具有现实意义，有利于城市、城镇污水处理节能减排目标的实现。 4 2 数学建模中模型建立的基本方法 2.1 数学建模的基本方法 数学建模过程中常常涉及多种建模方法，这里主要谈一下运用所学数学知识通过机理分析来建立数学模型，一般有以下四种 : 1、直接建模法：有些信息原型可以直接抽象为数学结构。也 就是说，当信息原型比较简单，其属性明显时，我们通常使用直接建模法。该方法可以说是将信息原型的明显的属性按数学方法综合起来得出模型。但是，由于这个得到的数学模型针对性强，因此一般不具
17、有普遍意义。这种方法经常在解一些中学数学题时会使用上。 2、套用已知模型法：当有些信息原型直接建立模型有困难时，我们可以模仿已知的模型来建模。建模时，我们抽象数学模型的方向往往向已知的常用模型上靠拢，而且一旦符合，就直接建立已知的模型，并且完全套用其算法。 当我们遇到与“夫妻过河”类似的问题，例如“传教士与野蛮人过 河”。其中“传教士与野蛮人过河”问题是这样叙述的 :三个传教士与三个野蛮人要过河，小船最多可载二人。传教士以为只要野蛮人多于他们的人数，他们就会被害，问如何设计渡河方案。从前面讨论过的“夫妻过河”问题中“女子不得在其丈夫不在场时与其他男人在一起”这一条件实际上是限定了在任何情况下，
18、女子的数量不得多于男子，这样就与“野蛮人的人数不得多于传教士的人数”相似了。于是这两个问题所抽象出来的数学模型其实是一样的，解法自然也是相同的。这时候，我们就可以采用以上的分析方法来进行建模，也即模仿上述建模的方法。 3、修 改已知模型法：一个信息原型一定有它独特的属性。所以，我们要适当修改套用的已知模型，将独特的属性加入，以试图优化模型和算法。实际上，可以说是，把原来的经典模型的常量以及参数根据现在获取的信息属性进行修改，使其满足现在的信息原型。这也是一种模仿建模的方法。 4、综合创造法：有很多问题我们很难用模仿的方法解决。这时，就要运用综合创造法了。综合创造法是根据数学理论知识，运用已知模
19、型或方法来分析信息原型的属性，在此基础上创造出具有新意的模型或方法。建立完模型，我们任务才完成了一半。其实，经过以上方法建立的初步 模型，并不是建模的完结，而是真正建模的开始，说明已经有了一种通过数学抽象解决问题的方法。这种方法是否实用，切合实际，需要借助计算机对模型求解进行检验，根据检验结果分析所假设的量或参数对问题的影响，修改模型，减少假设条件，增加某些未考虑的因素，使模型更加完善，实用价值更高，能比较准确地反映所要解决的实际问题。（参见文献 8） 5 2.2 建立数学模型的基本步骤 知道了数学建模的方法，还需要了解数学建模的基本步骤。 数学建模的基本步骤如下： 1、建模准备：数学建模是一
20、项创新活动，它所面临的课题是人们 在生产和科研中为了使认识和实践进一步发展必须解决的问题。“什么是问题？问题就是事物的矛盾，哪里有没解决的矛盾，哪里就有问题。” 因此，发现课题的过程就是分析矛盾的过程。贯穿生产和科技中的根本矛盾是认识和实践的矛盾，分析这些矛盾，从中发现尚未解决的矛盾，就是找到需要解决的实际问题。如果这些实际问题需要给出定量的分析和解答，那么就可以把这些实际问题确立为数学建模的课题。 2、建模假设：模型假设就是根据建模的目的对原型进行抽象、简化。 3、构造模型：构造模型的方法各有其优点和缺点，在构造模型时，可 以同时采用，以取长补短，达到建模的目的。 4、模型求解：构造数学模型
21、之后，根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学方法和算法，然后编写计算机程序或运用与算法相适应的软件包，并借助计算机完成对模型求解。 5、模型分析：通过分析，如果不符合要求，就修改或增减建模假设条款，重新建模，直到符合要求。如果通过分析符合要求，还可以对模型进行评价、预测、优化等方面的分析和探讨。 6、模型检验：模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验。 7、模型应用：模型应用是对模型的最客观、最公正的检验。 (参见文献 9) 2.3 数学模型的特点 数学模型的八个基本特点： 1）模型的逼真性和可行性； 2）模型的渐进性； 3）模型的强健性
22、；4）模型的可转移性； 5）模型的非预测性； 6）模型的条理性； 7）模型的技艺性； 8）模型的局限性。 下面详细介绍一下数学模型的八个基本特点。 模型的逼真性和可行性：一般说来总是希望模型尽可能逼近研究对象，但是一个非常逼真的模型在数学上常常是难于处理的，因而不容易达到通过建模对现实对象进行分析、预报、决策或者控制的目的 ，即实用上不可行。另一方面，越逼真的模型常常越复杂，即使数学上能处理，这样的模型应用时所需要的“费用”也相当高，而高“费用”不一定与复杂模型取得的“效益”相匹配。所以建模时往往需要在模型的逼真性与可行性，“费用”与“效益”之间作出折中和抉择。 模型的渐进性：稍微复杂一些的实
23、际问题的建模通常不可能一次成功，要经过上一节描述的建模过程的反复迭代，包括由简到繁，也包括删繁就简，以获得越来越满意的模型。在科学发展过程中随着人们认识和实践能力的提高，各门学科中的数学模型也存在着一个不断完善或者推陈6 出新的过程。 模型的强健性：模型的结构和参数常常是由模型假设及对象的信息如观测数据确定的，而假设不可能太准确，观测数据也是允许有误差的。一个好的模型应该具有下述意义的强健性：当模型假设改变时，可以导出模型结构的相应变化；当观测数据有微小改变时模型参数也只有相应的微小变化。 模型的可转移性：模型是现实对象抽象化、理想化的产物，它不为对象的所属领域所独有，可以转移到另外的领域。在
24、生态、经济、社会等领域内建模就常常借用物理领域中的模型。模型的这种性质显示了它的应用的极端广泛性。 模型的非预测性：虽然已 经发展了许多应用广泛的模型，但是实际问题是各种各样、变化万千的，不可能要求把各种模型做成预制品供你在建模时使用。模型的这种非预测性使得建模本身常常是事先没有答案的问题（ Open-end problem）。在建立新的模型的过程中甚至会伴随着新的数学方法或数学概念的产生。 模型的条理性：从建模的角度考虑问题可以促使人们对现实对象的分析更全面、更深入、更具条理性，这样即使建立的模型由于种种原因尚未达到实用的程度，对问题的研究也是有利的。 模型的技艺性：建模的方法与其他一些数学
25、方法如方程解法、规划问 题解法等是根本不同的，无法归纳出若干条普遍实用的建模准则和技巧。有人说，建模目前与其说是一门技术，不如说是一种艺术，是技艺性强的技巧。经验、想象力、洞察力、判断力以及直觉、灵感等在建模过程中起的作用往往比一些具体的数学知识更大。 模型的局限性：这里有几方面的含义。第一，由数学模型得到的结论虽然具有通用性和精确性，但是因为模型是现实对象简化、理想化的产物，所以一旦将模型的结论应用于实际问题，就回到了现实世界，那些被忽略的、简化的因素必须考虑，于是结论的通用性和精确性只是相对的和近似的；第二，由于人们认 识能力和科学 技术包括数学本身发展水平的限制，还有不少实际问题很难得到
26、有着使用价值的数学模型；第三，还有些领域中的问题今天尚未发展到用建模方法寻求数量规律的阶段，如中医诊断过程，目前所谓计算机辅助诊断也是属于总结著名中医的丰富临床经验的专家系统。（参见文献 10） 2.4 数学模型的分类 数学模型是对现实原型数量关系的一种摹写，而现实原型是非常复杂的，千差万别，在抽象数学模型时，根据问题的属性进行具体分析，可以得到不同类型的数学模型。客观事物一般分为三类现象：一类是必然现象，另一类是随机现象，还有一类 是模糊现象。对这三类现象进行量的研究，相应地形成了三类数学模型，即确定性数学模型、随机性数学模型和模糊性数学模型。 确定性数学模型，就是现实原型的变化规律服从确定的因果关系，从某时刻的运动状态可以推断出以后各个时刻的运动状态，抽象出的模型是方程式、逻辑关系式等等。 例 1：人口发展的数学模型，据从 1700 年到 1961 年人口增长纪录知道世界人口大约每年增加
