道正高中数学解题思维.DOC_文客久久网wenke99.com

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1、道正高中数学解题思维 (3) 1.在立体几何中有一个 cos cos cos 的公式（求夹角公式），另外还有一个 sin sin sin 两个式子中字母代表的量不同，请问，在 sin 的公式中字母代表什么量？如图。三棱锥 A-BCD 中， AB面 BCD， BCD 90，则设 ABD ， ABC ， ACD ， CBD ，则 s in c o ss in , c o ss in c o s2.四面体 P-ABC 中， CPA 60， BPC 45， PA=1, PB=2, PC=3, 求此四面体体积。解：作 BO面 PAC 于 O ，设 BPO ，则 c o s 3c o s c o s

2、2 c o sAPBAPO o c o s 2c o s ( 6 0 ) c o s 2 c o sBPCAPO 即 1 3 2c o s sin2 2 2 c o sA P O A P O 把代入得 23 3 2312 c o s 4 c o s c o s ，解得 225 6 6 2c o s , sin33 62s in 2 3B O B P o1 1 6 2 9 2 6 3s in 1 3 s in 6 0 23 3 3 3B P A CV P A P C A P B B O 3、已知全集 U = R , 2 2 2 | 1 9 0 , | 5 6 0 A x x a x a B

4、 0 A x x p x B x x x q ，若 5AB ，求 AB 解： 5AB ， 5 , 5AB 且， 225 1 0 1 5 0 , 5 2 5 01 , 0pqpq 且22 | 2 1 5 0 5 , 3 | 5 0 5 , 0 5 , 3 , 0 A x x p xB x x x qAB 6.已知 S=a,b,A 包含于 S，则 A 与全集 S 中的 A 的补集的所有有序组对共有 A.1 组 B.2 组 C.3 组 D.4 组这题什么意思啊有序组对什么意思啊解答（ 1）有序组对什么意思啊例如 A=a，则 CS A=b 故 A 与全集 S 中的 A 的补集的所有有序组

5、对有（ a， b）和（ b， a）（ 2）解本题只要列举就行了因为 A 是 S 的子集所以 A 或 A=a或 A=b或 A=a,b 当 A 时有序组对有（， a,b） , （ a,b,）当 A a时有序组对有（ a， b） ,（ b， a）当 A b时有序组对有（ b， a） ,（ a， b）当 A a,b时有序组对有（ a,b,） ,（， a,b） , 所有有序组对有 4 组 7.在 ABC 中， C 60，则 ?abb c c a 解：由余弦定理 2 2 2 2 2 2c a b a b a b c a b 2 2 2 ( ) ( ) 1( ) ( ) ( ) ( ) (

6、 ) ( )a b a a c b b c c a c b c a b c a c bb c c a b c c a b c c a b c c a 8.已知 2() 1xfx x ，求和 1 2 3 1 0 0( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 1 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0f f f f f f f ff f f f f f f f 解：22 1 2( ) , ( )1111x xf x

7、fx x xx 1 2 2( ) ( ) 211xf x f x x x ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 1 0 0 )1 2 3 1 0 0( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 3 1 0 0( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0f f f ff f f ff f f f 关于对角线对称的两数的和是 1( ) ( ) 2f x f x，对角线上由 100 个 (1) 1f ，故这一万个数的和为 10000 9.设集合 1, 2 , 3, ,1 0 0 0 ,M 对 M 的任一非空子集 Z，令 Z 表示 Z 中最大数与最小数之和，那

8、么所有这样的 Z 的算术平均值是多少？解：以 1 为最小值是集合有 9992 个，以 2 为最小值的集合有 9982 ，以 1000 为最小值的集合有 02 个，因此所有 M 的非空子集的最小值的和为 9 9 9 9 9 8 01 2 2 2 1 0 0 0 2 同理，所有 M 的非空子集的所有最大值的和为 9 9 9 9 9 8 01 0 0 0 2 9 9 9 2 1 2 故所有的 Z 的和为 9 9 9 9 9 8 0 1 0 0 01 0 0 1 ( 2 2 2 ) 1 0 0 1 ( 2 1 ) M 的非空子集有（ 100021 ）个，故所有的 Z 的算术平均数为 1 0 0 0

9、1 0 0 01 0 0 1 ( 2 1 ) / ( 2 1 ) 1 0 0 1 10.设在 ABC 中， t a n t a n 3 3 t a n t a nA B A B ，且 3sin cos 4AA，则此三角形是什么三角形？解： t a n t a n 3 3 t a n t a nA B A B t a n t a nt a n t a n 3 ( t a n t a n 1 ) 3 t a n ( ) 31 t a n t a nABA B A B A BAB 120AB 33s in c o s s in 2 2 1 2 0 2 6 042A A A A A 或 6 0 3

10、0 9 0 6 0A B C A B C 或，， 11 已知 a、 b 均为正数， *nN ，求证： ( ) ( ) 2 ( 1 )a b a n b n a n b n 证明： 2 ( 1 ) ( ) ( ) 1 1a n b n a b a n b n a n b n a b n b a n ( ) ( ) ( ) ( )a n a b b n b a a b a n b n a、 b 均为正数， *nN ， ( ) ( )a b an bn与同号或都为 0，即 ( )( ) 0a b an bn 故原式成立 12 设实数 x、 y 满足 2 0,yx且 01a，求证： 1lo g

11、( ) lo g 28xyaaaa 证： 22 2 2x y x y x y x xa a a a a a 01a 221 1 1 1 1l o g ( ) ( ) l o g 2 ( ) l o g 2 l o g 22 2 2 8 8xya a a aa a x x x 13.已知 s i n s i n 1 , c o s c o s 1 , c o s ( ) _ _ _ _ , c o s ( ) _ _ _ _ .A B A B A B A B 求解： sin sin 1AB cos cos 1AB 由 22 得， 2 2 c o s ( ) 2 c o s ( ) 0A B

12、A B 由得， tan 12AB ，221 ta n 2c o s( ) 01 ta n 2ABAB AB 14.若锐角 A、 B、 C 满足 222s i n s i n s i n 1 2 s i n s i n s i n2 2 2 2 2 2A B C A B C 试证： A B C 证明： 222s i n s i n s i n 1 2 s i n s i n s i n2 2 2 2 2 2A B C A B C 21 c o s 1 c o s s i n 1 2 s i n s i n s i n2 2 2 2 2 2A B C A B C 2c o s c o s s

13、i n 2 s i n s i n s i n2 2 2 2 2A B C A B C 2c o s c o s s i n ( c o s c o s ) s i n2 2 2 2 2 2A B A B C A B A B C 2s i n ( c o s c o s ) s i n c o s c o s 02 2 2 2 2 2C A B A B C A B A B ( s i n c o s ) ( s i n c o s ) 02 2 2 2C A B C A B A、 B、 C 均为锐角 sin cos22C A B 2 2 2A B C ，故 A B C 15.计算 22231

14、6 4 s i n 2 0s i n 2 0 c o s 2 0解：2 2 2 222 2 23 1 3 c o s 2 0 s i n 2 0 6 4 s i n 2 0 s i n 2 0 c o s 2 06 4 s i n 2 0i n 2 0 c o s 2 0 s i n 2 0 c o s 2222( 3 c o s 2 0 s in 2 0 ) ( 3 c o s 2 0 s in 2 0 ) 1 6 s in 2 0 s in 4 0s in 2 0 c o s 2 0 224 c o s 1 0 c o s 5 0 4 ( 1 c o s 4 0 ) ( 1 c o s 8

15、 0 )s i n 2 0 c o s 2 0 224 ( c o s 1 0 c o s 5 0 s i n 1 0 s i n 5 0 ) 4 ( 1 c o s 4 0 c o s 8 0 )s i n 2 0 c o s 2 0 22 2 24 c o s 4 0 4 ( 1 c o s 4 0 c o s 8 0 ) 4 ( 1 c o s 8 0 ) 8 sin 4 0 321 1 1sin 4 0 sin 4 0 sin 4 04 4 4 16. | 1 2 8 , , , | 2 0 1 6 , , M x x m n m n Z N x x p q p q Z , 求 M ,

16、 N 的关系解： N 中的任意元素 x = 20p +16q = 4(5P+4q) = 43P+2(P+2q) = 12P + 8(P+2q)是 M 的元素 ,但 M 中的元素 x = 121 + 82 28 201 + 8 不在 N 中，故 N 是 M 的真子集。 17.已知 a， b 0, a + b =1, 求证： 1 1 25( )( ) 4abab 证明： 1 1 1 1( ) ( ) 2aba b a b a ba b a b b a a b 由于 1()f x x x 在 1(0, 4 上递减， 2 1()24abab ，故 1 1 1 7444ab ab 1 1 1 7 2

17、 5( ) ( ) 244abab 18、三角形 ABC 中， 22( ) ,S a b c 则 tan _.A 解： 2 2 2 2 21 s i n ( ) 2 c o s ( )2S b c A a b c b c b c A b c 1 1 8s i n 2 ( 1 c o s ) t a n t a n2 2 4 1 5Ab c A b c A A 19.已知 22( ) ( 1 ) 2 0 , 0a b a b a b 且，求证： 2ab 证法 1：反证法：假设 2ab ，则 2 2 2 211( ) ( 1 ) ( ) ( ) 1 2 ( 2 1 ) 222a b a b a

18、b a b 与已知矛盾证法 2：设 a b x ，则 2 2 2 22 2 2 2 222( ) ( 1 ) 2 11 2 1( ) 1 ( 2 ) ( 2 2 ) 0222 2 0 2 0 2a b a b a bxa b a b x x x xxx x x a b 即即20.设 a、 b 均为正数，求证： 2 在 ab 和 2abab 之间。证明： 22 2 2 2 2 ( 1 2 ) ( 2 )( 2 ) ( 2 ) 0()a a b b a a b a b b ab a b b a b b a b 2 在 ab 和 2abab 之间。 21.已知 1a ，求证： 11a a a a

19、证明： 11( 1 ) ( 1 )a a a aa a a a 1 1 2 0( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 1 )aaa a a a a a a a a a 故原式成立。 22、某厂值第二年比第一年增长 P%，第三年比第二年增长 q%，又这两年的平均增长率为S%，则 S 与 (p+q)/2 的大小关系。解： 22 11( 1 % ) ( 1 % ) ( 1 ) ( 1 % ) ( 1 % ) ( )2pqp q s p q + 22 % % % %( 1 % ) ( 1 ) 1 % 12 2 2p q p q p qs s s 23、已知 x 小于 54 ，求函

20、数 142 45yx x 的最大值。解：由 54x ，得 5 4 0x 1 1 14 2 4 5 3 ( 5 4 ) 34 5 4 5 5 4y x y x xx x x 12 ( 5 4 ) ( ) 3 154x x 当且仅当 1x 时上式取等号，故当 1x 时 y 取最大值 1. 24、先证明一个有用的定理。已知 1 ,nna A a B A B C 是常数，且 1, 0,A AB求证：数列 1n Ba A 是等比数列。证明： 111 1 11 1 11 1 1n n nn n nB B A Ba A a B A aA A A AB B Ba a aA A A 1n Ba A 是等比

21、数列，公比为 A，首项为 1 1Ba A 由于课本没有给出这个结论，因此我们常用待定系数法来求常数 1BA ，已知 113 4, 1,nna a a 求： na 证明：设 1 3( )nna k a k ，则 1 32nna a k 与对照得 2k 1 2 3( 2 )nnaa 是等比数列，公比为 3，首项为 1 23a 12 3 3 3 2nnnnaa 25 直线 x + y 1= 0 到直线 xsin+ ycos 1= 0(45 90 )的角是多少？解：因为，直线 xsin+ ycos 1= 0 (45 90 )的倾斜角为 180 135 直线 x + y 1=0 的倾斜角为 135

22、。所以直线 x + y 1= 0 到直线 x sin+ ycos 1= 0 的角为 135 (180 )的补角即 135 26.在某两个正数 x、 y 之间，若插入一个正数 a,使 x, a, y 成等比数列，若另插入两个正数 b, c，使 x, b, c, y 成等差数列。求证： 2( 1) ( 1)( 1)a b c . 证明： , , ,x bc y 成等差数列，可设 , 2 , 3 ,b x d c x d y x d d 为公差 ,xay 成等比数列， ( 3 )a x y x x d 2 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 1 ) ( ( 3 ) 1

23、 ) ( 3 ) 2 ( 3 )b c a x d x d x x d d x x d x x d 2 2 ( 3 ) 2 ( 3 ) 0d x x d x x d 27.一个袋子有大小相同的 2 个白球，和 3 个黑球，一共摸 2 次，摸一次后放入袋子再摸第二次，求两次摸到不同颜色的球的概率。答案是 1225（估计是 23255 )，我认为是 1/2，不知道哪个真确答： 1225对方法 1：可以分为第一次摸白第二次摸黑 2355与第一次黑第二次白两类 3255方法 2：把两次白，两次黑减掉 22231 ( ) ( )55 28.2004 年北京卷理科第 8 题函数 ,() x

24、x Pfxx x M 其中 P, M 为上式集 R 的两个非空子集，又规定 ( ) | ( ) , , ( ) | ( ) , f p y y f x x P f M y y f x x M ，给出下列四个判断：若 ,PM 则 ( ) ( ) ;f P f M 若 ,PM 则 ( ) ( ) ;f P f M 若 ,P M R 则 ( ) ( ) ;f P f M R 若 ,P M R 则 ( ) ( ) .f P f M R 其中正确判断有 (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个解：的反例：取 1 , 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) ( ) 1 P

25、 M f P f M f P f m 的反例：取 (0 , ) , ( , 0 ) , ( ) 0 , ) , ( ) ( , 0 ) , ( ) ( ) 0 , )P M f P f M f P f m R 的证明：若 ,PM 设 ,a P M 则 ( ) ,f a a 故 0.a 0 ( ), 0 ( ),f P f M ( ) ( )f P f M 的证明： ,P M R 故存在实数 ,a P M 假设 ( ) ( ) ,f P f M R则 ( ) ( ),a f P f M 若 ( ),a f P 则 aP 与 a P M 矛盾。故 ( ),a f M 因此 aM , 由于 ,a P

26、 M 故 0a , 又由于 PM的元素只能是 0, 故()a P a f P a M 与 a P M 矛盾 .综上正确，选 B 29、 322 7 5x x x 有三次的怎么算来着？忘记了，哪位好心人告诉我呀！谢谢拉！解： 3 2 2 22 2 0 ( 2 ) ( 2 ) 0 ( 2 ) ( 1 ) 0x x x x x x x x 2x或 1x 30.函数 f (x)的定义域为 D，若存在 x0 D，使 f (x0) = x0，则称以 (x0, x0)为坐标的点为函数 f(x)图象上的不动点。若 D = R，则 “f (x)为奇函数，且有有限个不动点 ”是 “f (x)有不

27、动点，且个数为奇数个 ”的 (A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件选 B，函数的不动点既是该函数图象与 y = x 的交点因为 f (x)为奇函数且定义域为 R，所以 f (x)必过 (0,0)点因为 f (x)为奇函数所以说如果它在第一象限与 y = x 有交点则有在第三象限的交点所以 “f (x)为奇函数且定义域为 R 且有有限个不动点 ”说明了 f (x)有奇数个不动点而 “f (x)有不动点，且个数为奇数个 ”可以很容易地画出一个与 y = x 交点只有一个的直线（例如 y = 2）所以说 “f (x)为奇函数，且有有限个不

28、动点 ”是 “f (x)有不动点，且个数为奇数个 ”的充分不必要条件。 31.2004 年某省高考理工报考学生有 20 万人，考试的成绩服从正态 N(360, 2802 ).若规定本科学生投档名额为 8 万人。那么可以估计本科投档成绩为多少分？已知 (0.25)=0.6 解：设本科投档成绩为 x 分，则 3 6 0 8( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )2 8 0 2 0xP x P x F x 3 6 0 3 6 0 1( ) 0 . 6 4 3 02 8 0 2 8 0 4xx x 32.无穷数列的前 n 项和 Sn = npAn(n 属于自然数 ).并且 A1 不等于 A2. 1

29、. 求 p 的值 ; 2.求的通项公式 . 解 :(1)由 nnS npa ,得 11a pa ,所以 110pa或若 1p ,则 1 2 2 1 2, + 2 = ,nnS n a a a a a a 与题设 12aa 矛盾 !故 1p ,从而 1 0a ，于是 1 2 2 22a a S pa ，得 22 1 0pa或 .但若 2 0a ,则 120aa,这又与题设 21aa矛盾 !故 2 0a , 12p . (2) 由 (1)知 12nnS n a111 ( 1 )2nnS n a得11122n n n n nnna S S a a , 即 1( 2 ) ( 1 ) ( 2 )nnn a n a n 当 2n 时也成立 . 当 3n 时 , 在中取 3,4, ,nn , 并将各式相乘可得 2( 1) ( 3 )na n a n , 其对 1,2n 也适合 .故 *2( 1) ( )na n a n N

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