1、 本科 毕业论文 （ 设计 ） （ 20 届） 次正交矩阵及其性质 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘要： 本文中叙述了矩阵的来由，并给出了矩阵的概念。最开始对正交矩阵的基本性质以及它的一些定理做出介绍是必不可少的。然后，结合对称矩阵 、转置矩阵、特征向量等相关知识， 深入了解并得出次正交矩阵的性质以及一些相关命题。其中，研究了它与次对称矩阵、反对称矩阵间的联系。 在此基础上，根据“次正交”的定义拓展开，给出 J -次正交矩阵的性质。同时，进一步提出了 J -拟次正交矩阵的性质。充分体现次正交矩阵的概念以及应用。 关键词： 矩阵；对称矩
2、阵；次正交矩阵；转置； J -次正交矩阵； J -拟次正交矩阵 II Sub-orthogonal Matrix and Their Properties Abstract： In this paper, the matrix of arises are introduced, and the matrix of concepts are given. And it is necessary to study the orthogonal Matrix of concepts. Combining symmetric matrices, transposed matrices, eigenve
3、ctor and so on related knowledge, reader through understanding to learn sub-orthogonal Matrix of properties and some proposition. The relation between sub-symmetric Matrix and sub-antysymmetrix Matrix is studied. On the basis, according the definition of “sub-orthogonal “, J-sub-orthogonal Matrix of
4、 properties is given. At the same time, the properties of J-Anti-sub-orthogonal Matrix are given. Key words： Matrix; Symmetric matrices; sub-orthogonal matrix; transpose J of sub-orthogonal matrix; J-Anti-sub-orthogonal III 目 录 1 绪 论 1 1 问题的 背景 . 1 1 2 问题的 意义 . 1 2 矩阵的介绍 3 2.1 矩阵简史 . 3 2.2 矩阵的概念 . 3
5、 2.3 正交变换以及正交矩阵 . 4 3 次正 交矩阵及其性质 6 3.1 预备知识 . 6 3.2 次正交矩阵的定义及其性质 . 7 3.2.1 次正交矩阵的性质 . 7 3.2.2 次正交矩阵的判定 . 8 3.3 J -次 正交矩阵的定义及其性质 . 9 4 次正交矩阵性质的开拓以及延伸 12 4.1 次正交矩阵与次对称矩阵的联系 . 12 4.2 J -拟 次正交矩阵及其性质 . 16 5 结 论 21 致 谢 22 参考文献 23 1 绪论 1.1 问题的背景 数学学科是人们在学习中必不可少的一门学科。任何一门学科或多或少都牵涉到数 学。其中，矩阵是数学中的一项非常重要的环节。矩阵
6、不仅是各种数学学科，而且也是许多理工学科的重要数学工具。就其本身的研究而言，矩阵理论和线性代数也是极富创造性的领域。它们的创造性又极大的推动和丰富了其他众多学科的发展：许多新的理论、方法和技术的诞生于发展就是矩阵理论和线性代数的创造性应用于推广的结果。可以毫不夸张地说，矩阵理论和线性代数在物理、土木、电机、航空、和航天等众多学科中是最富创造性和灵活性，并起着不可代替作用的数学工具。 作为数学的一个重要的分支，矩阵理论具有极其丰富的内容。在解决许多数学难 题时，它起到了化腐朽为神奇或者化简为易的功能。得到许多数学家的青睐。作为一种基本的工具，矩阵理论在数学学科以及其他科学技术领域，如数值分析、最
7、优化理论、概率统计、运筹学、控制理论、力学、电学、信息科学与技术、管理科学与工程等学科都有十分重要的应用。因此，学习和掌握矩阵的理论和应用对于工程研究生来说是必不可少的 1。 由于矩阵论既是一门发展完善、理论严谨、方法独特的数学基础课，又广泛应用于工程科学的各个领域，故下面的基本内容在硕士研究生的培养过程中是不可缺少的组成部分，对培养学生的逻辑能力、推理能力及解决实 际问题的能力等方面具有极其重要的地位和作用。学习矩阵应脚踏实地的学习，一点一点的学习他的性质。首先要了解它的概念，了解一些基本的矩阵比如单位矩阵，三角形矩阵等等。同时了解一些矩阵中常见的转化方法，比如矩阵转置，矩阵的逆等等。然后，
8、因为在矩阵中有着很多特殊矩阵，它们能帮助我们更好的了解矩阵的性质及其应用。所以由必要一个一个的都去学习。在矩阵中有着许多特殊矩阵，例如对称矩阵，正交矩阵，对角矩阵等等，学习它们的性质可以帮助我们更好的了解矩阵的作用。但仅仅是这样是远远不够的，因此为了能更加体现矩阵的作用，我们应研究 更多特殊矩阵的性质及其应用。其中正交矩阵是特殊矩阵很重要的矩阵，学习研究正交矩阵的性质与定理对我们能更好的了解矩阵有着很大的帮助。为了能了解更多的特殊矩阵。我们对正交矩阵进行进一步的研究，提出次正交矩阵的定义以及性质，还有与它相近的矩阵概念： J-次正交矩阵。 1.2 问题的意义 分析并了解矩阵性质及应用的一个意图
9、是，它要包括由于数学分析（例如，多元元微积分、复变量、微分方程、最优化和逼近理论等）的需要而产生的线性代数中的论题。矩阵分析的另一个意图是，它是解决实的和复的线性代数问题的一种方法， 这种方法果断地采用诸如极限、连续和幂级数这些来自分析的概念，这些概念有时比纯代数方法更为有效或更为自然。矩阵分析的这两个出发点影响下面的讨论和分析。我们认为采用术语矩阵分析比线性代数更能准确地反映该领域的广泛内容和研究方法。 矩阵是数学中一个极其重要的、应用广泛的概念，是代数学的一个主要研究对象和重要工具。 它广泛应用于数学、物理学、经济学等多个领域，因而也就使矩阵成为代数，特别是线性代数的一个主要研究对象。近年
10、来，人们对次对角线方向的矩阵理论（如次对称性、次正交性）展开的研究正日益增多，有关次对角线 方向的矩阵理论在信息论、线性系统论、现代经济数学、矩阵方程论、物理学等众多学科中均有应用，因此研究次正交矩阵及其性质有重要的意义。 下面将给出次正交矩阵的概念及其性质，并在此基础上给出 J-次正交矩阵的概念及其性质和 K-次正交矩阵的概念及其性质 3。 在其中，次正交矩阵是一种很特殊的矩阵，它类似于正交矩阵。因此研究次正交矩阵的前提，必须先学习正交矩阵的一些性质及定理。同时，对于次正交矩阵的判定进行了详细的开展和研究。在此基础上，为了更好的学习次正交的概念，分别引用了 J-次正交矩阵，并在此论文中，研究
11、并给出了 J-拟次正交矩阵的一些相关性质。这里我们所给出的次正交矩阵等的性质都是其基础且极为重要的性质，能充分的表现了它们在矩阵中的重要性。所以，通过这些特殊矩阵的学习，我相信对于矩阵在数学中的重要性，我们能理解的更加透彻和明白。数学的学习是永无止境的，对于次正交矩阵的性质的学习，我们要秉着不断创新的精神，不断挖掘矩阵的性质以及其定理，让它们更好的为我们解决实际问题提供方便。 2 矩阵的介绍 2.1 矩阵简史 在最开始，矩阵并非如同一种容易产生的猜想那样直接源自线性方程组系数的研究。系数阵列导致数学家们发展了行列式而不是矩阵。微积分创建者 Leibniz 在 1963 年使用了行列式，先于矩阵
12、成为独立研究对象约 150年。 Cramer在 1750年建立线性方程组的行列式基本公式， Guass在 1820年左右提出了消去法。这些事件都出现在矩阵概念存在之前。 随着行列式的逐渐被人们认知，数学家开始不断深入对行列式的研究。为了满足更容易的应用行列式。数学家确定了矩阵概念和产生“矩阵”一词，动机是试图为研究行列式提供 适当的代数语言。 1848年 J.JSylvester引进术语“矩阵”，作为数的阵列的名称。它用“ womb”是因为他视矩阵为行列式的生成体。 在围绕行列式研究而寻求好的记号期间， Sylvester 在 1851年提提议把方形矩阵写成如下形式： nnnnnnaaaaaa
13、aaaaaaaaaaaa212221212111。 随着无数数学家的不断研究和创新。人们不仅定义了矩阵的概念，还分类了许多不用的特殊矩阵比如单位矩阵、三角形矩阵、正交矩 阵、正定矩阵等等。这些矩阵都有它们自己独特的性质。它们能帮助我们解决许多数学难题。 现在的矩阵的研究处于火热状态，为了能挖掘更多特殊矩阵的性质以及定理。学者纷纷都在报刊上发表了自己的研究成果或者自己的宝贵建议。这为矩阵的发展提供了强大的动力。 2.2 矩阵的概念 定义 2.2.1： 由 mn 个数 ),2,1,2,1( njmiPa ij 排成的 行、 n 列的长方形表 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称
14、为数域 P上的一个 mn 矩阵（ matrix）。其中的 ija 称为这个矩阵的元。 矩阵通常用一个大写字母 A 表示，如果矩阵 的行数 m 与列数 n 相等，则称它为 n 阶方阵。数域 P 上的所有 mn 矩阵的集合记为 )(, PMnm ，所有 n 阶方阵的集合记为 )(PMn ，元全为零的 矩阵称为零矩阵，记为 0。矩阵 A的位于第 I 行、第 J列的元简称为 A 的 ),( ji 元，记为 ),( jiA 。如果矩阵 A 的 ),( ji 元是 ),2,1,2,1( njmia ij ，则可以写成 A )(ija 8。 对于对角线以外的元都等于 0 的矩阵我们称为对角矩阵。特别的对于对
15、角线上的元素都为 1的对角矩阵我们称为单位矩阵。 其中，单位矩阵的行列式等于 1。 设 A )(ija 是一个 mn 矩阵。则 A 的转置矩阵为 )( jiT aA 。 从这可以看出转置矩阵就是把原矩阵的行列对调而得到的矩阵。上（或下）三角形矩阵的转置矩阵是下（或上）三角形矩阵。特别地，行向量 =（ naaa , 21 ）被看成一个 1n 矩阵，它的转置矩阵是一个 1n 的矩阵，可以被看作一个列向量。类似地，列向量的转置可以被看作一个行向量。 2.3 正交变换以及正交矩阵 定义 2.3.1：设 W EndR （ V ）是欧几里得空间 V 的线性变换，如果 W 保持内积，也就是说，对任意的 ,
16、V ,有下面 （ W ( ）， W （ ） =（ , ）。 则称 W 是正交变换。 从上述定义 可以看出正交变换的乘积仍然是正交变换。 正交变换把规范正交基变成规范正交基。因为正交变换是保持内积的，所以正交变换也保持向量的长度以及向量的夹角不变。从而它把正交的向量仍变成正交的向量。这就是“正交”名称的由来。但是反过来，把正交的向量仍变成正交的向量的线性变换不一定是正交变换。不过一个线性变换只要保持向量的长度不变，它就能保持内积不变，从而是正交变换，就是说得到下面的命题。 命题 2.3.1：如果欧几里得空间 V 的线性变换 W 保持所有的向量的长度不变，即 （ W （ ）， W （ ） =（ ，
17、 ），对所有的 V 。 那么 W 一定就是正交变换了。 （ 1）正交变换的特征值为 1或 -1； （ 2）正交矩阵的实特征值为 1或 -1； （ 3）正交矩阵的特征值的模等于 1。 设 W（ i ） =ni iija1 ,1,2, ,jn 。那么正交变换 W关于取定的规范正交基的矩阵 A =（ ija ）。我们 把正交变换关于规范正交基的矩阵称为正交矩阵。 定理 2.3.1：矩阵 A 是正交变换 W关于规范正交基的矩阵的充分必要条件是 EAAT 。 因此下面得出正交的定义。 定义 2.3.2：如果有矩阵 A ，满足条件 EAAT ，则称矩阵 A 为正交矩阵。 推论 2.3.1：正交变换一定是可
18、逆的，而且他的逆变换仍然是正交变换。 推论 2.3.2：设 A 是一个 n 阶实数方阵，那么下面条件都是等价的： （ 1） A 是正交矩阵； （ 2） EAAT ； （ 3） 1AAT 。 A 的每个列的元素的平方和等于 1，不同列的对应元素的乘积之和等于 0。 （ 1） A 的每个行的元素的平方和等于 1，不同行的对应元素的乘积之和等于 0。 （ 2）推论：正交矩阵的行列式等于 1。 对应正交矩阵的行列式等于 1的正交变换称为第一类正交变换，行列式等于 -1的正交变换称为第二类正交变换。 还有对于正交矩阵有这几种运算性质： （ 1）正交矩阵之积为正交矩阵； （ 2）正交矩阵的转置为正交矩阵；
19、 （ 3）正交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵。 3 次正交矩阵及其性质 3.1 预备知识 在学习次正交矩阵前。首先先介绍次正交矩阵中用到了相关知识。帮助读者更容易的学习次正交矩阵。 在下面，用 E 表示单位矩阵，用 J 表示次单位矩阵，即次对角线上的元素都是 1，其余位置上的数字都是 0的方阵；用 AAA STT , ， detA 和 trA 分别表示方阵 A 的转置矩阵、次转置矩阵、伴随矩阵、行列式和的迹。 定义 3.1.1：设 mn 矩阵 mnnmmmnmnmmmnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaA1,21,11,12,11,121,2221211,11211。 则称如下的 mn 矩阵 1
20、1211,1112222,121,11,21,11,12,1aaaaaaaaaaaaaaaammmmnnnmnmnnnmmn。 为矩阵 A 的次转置，记为 STA 。如果记 )( ijST bA ，则 ),2,1;,2,1(1,1 mjniab injmij 。 定义 3.1.2：一个 n 阶方阵 )( ijaA 叫做次对称矩阵：假若 ),2,1,(1,1 njiab injnij ；一个 n 阶方阵 )( ijaA 叫做反次对称矩阵，假若 ),2,1,(1,1 njiab injnij 。 显然，一个 n 阶反次对称矩阵 A )(ija 中，有 ),2,1(01,1 nia in 。 例如： 32/1457/42/1753A是一个三阶次对称矩阵。 430503054B 是一个三阶反次对称矩阵。 显然，设 E 是 n 阶单位矩阵，则 EEST 7。 次转置矩阵的一些重要性质： （ 1） STSTA )( A ； （ 2） STSTST BABA )( （ A 与 B 是同级矩阵 ）；
