1、 本科 毕业论文 （ 设计 ） （ 20 届） 椭圆型偏微分方程的求解及其应用 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘要： 本文叙述了椭圆型偏微分方程的历史背景，阐述了相关概念，如什么是偏微分方程，椭圆型偏微分方程以及几种定解问题的概念。 弹性力学中的平衡问题，位势场问题，热传导中的温度分布等实际应用问题都可用椭圆型方程的定解问题来描述。本文还讨论了求解椭圆型偏微分方程的定解问题的几种基本方法，如分离变量法、积分变换法、差分法，最后综述了这三种方法的适用性和特点。 关键字： 偏微分方程；椭圆型；分离变量法；积分变换法；差分法 II Solu
2、tion of Elliptic Partial Differential Equation and Its Application Abstract: This thesis describes the historical background of elliptic partial differential equation and the related concepts, such as what partial differential equation and elliptic partial differential equation are and several conce
3、pts of the solution of problems. The balance of elasticity, the potential field problems and the temperature distribution of heat conduction in the practical application are available to the solution of elliptic equation to describe the practical problems. This thesis also discusses several basic wa
4、ys to solve the solution of problems of the elliptic partial differential equation, for instance, the method of separation of variables, integral transformation method and difference method. And at the end of this thesis, it summarizes the applicability and features of the three methods above. Key W
5、ords: partial differential equation; elliptic; the method of separation of variables; integral transformation method; difference method III 目录 1 引言 . 1 2 基本概念的介绍 . 2 2.1 偏微分方程的基本概念 . 2 2.1.2 定解条件和定解问题 . 3 2.2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与化简 . 3 2.3 典型方程 . 5 3 椭 圆型偏微分定解问题的几种基本解法 . 6 3.1 分离变量法 . 6 3.1.1 预备知识 .
6、6 3.1.2 分离变量法求解定解问题 的具体步骤 . 7 3.1.3 具体应用（用分离变量法求解） . 7 3.2 积分变换法 . 9 3.2.1 傅里叶积分变换 . 9 3.2.2 具体应用（用积分变换法求解） . 11 3.3 差分法 . 13 3.3.1 化微分方程为差分方程 . 13 3.3.2 边值问题的差分逼近 . 16 3.3.3 差分解的存在、唯一性和收敛性 . 18 3.3.4 椭圆型差分方程的求解 逐次超松弛法 . 19 3.4 总结 . 21 4 致谢 . 错误 !未定义书签。 参考文献 . 22 1 1 引言 数学物理方程主要指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所
7、产生的偏微分方程（有时也包括积分方程、微分积分方程等），它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系 1。连续介质力学、电磁学、量子力学等等方面的基本方程都属于数学物理方程的范围 2。 早期建立的数学物理方程有根据牛顿引力理论而推导出的描述引力势的拉普拉斯方程和泊松方程 3。对于建立的数学物理方程，需要做出各种附有具体条件而构成典型问题的解，然后根据实际测量结果来检验和修正相应的物理理论。通过求解数理方程 ，使人们对自然现象获得更深刻的认识，并能预见新的现象 4。 椭圆型方程描述了常定态物理现象。例如，弹性力学中的平衡问题，无粘性流体的无旋运动、亚声速流及渗流问题，
8、位势场（静电磁场和引力场等）问题，热传导中的温度分布，扩散中的浓度分布及导体中的电子密度分布问题等都可用椭圆型方程的定解问题来描述 5。本文主要介绍了椭圆型偏微分方程的概念及两种最典型、最重要的椭圆型偏微分方程 泊松方程和拉普拉斯方程。叙述了求解椭圆型偏微分方程定解问题的几种基本解法，分离变量法、积分变换法、差分法，同时列举了实际问题的应用。 2 2 基本概念的介绍 2.1 偏微分方程的基本概念 许多复杂的自然现象，其运动规律、过程和状态都是通过微分方程这种数学形式来描述的。当我们研究只有一个自变量的运动过程时出现的微分方程称为常微分方程。当一个微分方程除了含有几个自变量和未知数外，还含有未知
9、数的偏导数时，称为偏微分方程 67。在偏微分方程中，偏导数自然是不可缺少的。例如： ,uua x y f x yxy（ 2.1.1） 拉普拉斯方程 2223 2 2 2 0uuuu x y z （ 2.1.2） 热传导方程 222 ,uua f x t utx（ 2.1.3） 波动方程 2 222 ,u a u f t x yt （ 2.1.4） 等都是偏微分方程。其中， u 为未知数， a 为常数， ,axy 、 f 为已知函数。 偏微分方程的一般形式为 112, , , , , , , , 0nn x xF x x x u u u （ 2.1.5） 其中： F 为已知函数； 12, , ,
10、 nx x x 为自变量； u 是关于这些自变量的未知数。应注意 F 中必须含有未知函数 u 的偏导数。 偏导数方程（ 2.1.5）中所含有偏导数的最高阶数为该偏微分方程的阶。如（ 2.1.1）是一阶偏微分方程，方程（ 2.1.2） （ 2.1.4） 是二阶偏微分方程。 如果一个偏微分方程对于未知函数及其所有偏导数都是线性的，则称之为线性偏微分方程，否则称为非线性方程。如（ 2.1.1）、（ 2.1.2）、（ 2.1.4）都是线性方程。 我们将主要研究二阶线性偏微分方程，因为它们在物理、力学和其它自然科学以及工程技术3 中经常出现，常称为数学物理方程。 n 个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形
11、式为 , 1 1i j innij x x i xi j ia u b u cu f （ 2.1.6） 不失一般性，可以假设 ij jiaa ，且 ija ， ib ， c 及 f 是空间 nR 中某区域 内的函数，如果方程（ 2.1.6）中的自由项 0f ，则称方程为齐次方程，否则称为非齐次方程。 设方程（ 2.1.5）的阶数为 m ，函数 12, , , nu u x x x 在区域 nR 中具有 m 阶连续偏导数，且代入方程（ 2.1.5）后成为恒等式，则称 u 为区域 内方程 (2.1.5)的一个解。容易验证函数 2u x y ， sinv x y都是方程 222 0uuu xy （
12、2.1.7） 的一个解。称方程（ 2.1.7）为二维拉普拉斯（ Laplace）方程或二维调和方程。由复变函数理论知，任何一个解析函数 fz的实部和虚部都是方程（ 2.1.7）的解 7。 2.1.2 定解条件和定解问题 给定一个常微分方程，有通解和特解的概念。对于偏微分方程也一样。换句话说，为了完全确定一个物理状态，只有相应的偏微分方程是不够的，必须给出它的初始状态和边界状态，即给出外加的特定条件，这种特定条件称为定解条件。描述初始时刻物理状态的定解条件称为初值条件或初始条件，描述边界上物理状态的条件称为边界条件或边值条件。一个方程匹配上定解条件就构成定解问题 2。 2.2 两个自变量的二阶线
13、性偏微分方程的分类与化简 考察两个自变量的二阶线性偏微分方程 1 1 1 2 2 2 1 22x x x y y y x ya u a u a u b u b u c u f ， （ 2.2.1） 其中 ija ， ib ， c ， f 都是 x ， y 的连续可微实值函数，并且 11a ， 12a ， 22a 不同时为零。 在任一点 00( , )xy 的一个领域内考察自变量变换 ( , ), ( , )x y x y （ 2.2.2） 4 假设它的 Jacobi 行列式 00( , )( , ) 0( , ) xyxx xyDJ D x y ， 由隐函数存在定理知该变换是可逆的，即存在逆变
14、换 ( , )xx ， ( , )yy 。直接计算，有x x xu u u， y y yu u u，将其代入方程 (2.2.1)，得 * * * * * * *1 1 1 2 2 2 1 22a u a u a u b u b u c u f ， （ 2.2.3） 其中 *cc ， *ff ， *ija ， *ib 可以分别用 ija ， ib 以及 和 的各阶偏导数表示。特别地 * 2 21 1 1 1 1 2 2 22xyxya a a a ， * 2 22 2 1 1 1 2 2 22xyxya a a a （ 2.2.4） 希望选取一个变换（ 2.2.2），使方程（ 2.2.3）有比方
15、程（ 2.2.1）更简单的形式。注意到（ 2.2.4）式中的 *11a 与 *22a 有相同的形式，如果我们能够解出方程 221 1 1 2 2 220x x y ya a a （ 2.2.5） 的两个线性无关的解 1( , )xy ， 2( , )xy ，那么取 1( , )xy ， 2( , )xy ，就能保证*11 22 0aa。这样，（ 2.2.5）式就较（ 2.2.1）式大为化简。现在考察这种选取的可能性。 我们知道关于 的一阶偏微分方程（ 2.2.5）的求解问题可以化为求下述 常微分方程在 ,xy平面上的积分曲线问题： 2211 12 2220a d y a d x d y a d
16、 x . （ 2.2.6） 设 1( , )x y c 是方程（ 2.2.6）的一簇积分曲线且 220xy，则 1( , )z x y 就是方程（ 2.2.5）的一个解。称方程（ 2.2.6）的积分曲线为 方程（ 2.2.1）的特征线，方程（ 2.2.6）有时亦称为特征方程 2。 偏微分方程可根据它的数学特征分为三大类型，即抛物型、双曲型、椭圆型。这三类偏微分方程描述了不同本质的物理现象，其应用是极其广泛的。 我们可以看到，两个自变量的二阶线性方程通过自变量的可逆变换能够化成哪种标准形，要看二次型 221 1 1 2 2 2,2Q l m a l a lm a m 的代数性质如何让来定，或者说
17、，由于 ,lm平面上的二次曲线 ,1Q l m 的性质而定。由于这个5 曲线可以是一个椭圆、一个双曲线或者一个抛物线，故我们相应地定义方程在一点的类型如下： 若方程（ 2.2.1）中二阶偏导数项的系数 11 12 22,a a a 在区域 中某点 00,xy 满足 122 11 22 0a a a ， 则称方程在 00,xy 为双曲型的；若在点 00,xy 满足 122 11 22 0a a a ， 则称方程在点 00,xy 为抛物型；若在点 00,xy 满足 122 11 22 0a a a ， 则称方程在点 00,xy 为椭圆型的 1。 2.3 典型方程 常见的椭圆型偏微分方程包括拉普拉斯
18、方程、泊松方程等。函数 ),( yxu 的拉普拉斯表示为 yyxx uuu 2 （ 2.3.1） 用这个符号可表示拉普拉斯方程、泊松方程如下： 02 u 拉普拉斯方程 （ 2.3.2） ),(2 yxgu 泊松方程 （ 2.3.3） 在通常情况下，函数 u 中平面矩阵形区域 R 的边界值是已知的。通过有限差分法技术可求出上述方程的数值解 8。 6 3 椭圆型偏微分定解问题的几种基本解法 3.1 分离变量法 分离变量法是求解有界区域的初值问题最常用和最基本的一种解法。分离变量法的理论基础 是Fourier 级数展开（一个函数按照某个具体地完备正交函数系展开）。因此，分离变量法有时也称为 Four
19、ier 级数方法。 3.1.1 预备知识 Fourier 级数展开 下面的定理是 Fourier 技术展开的一个基本结论。 定理 3.1.1 设 ()fx是以 2l 为周期的函数，在 ,ll 上满足 Dirichlet 条件，即在 ,ll 上只有有限多个第一类间断点和有限多个极值点，则在 ,ll 上 f 可以展成 Fourier 级数 01( ) ( c o s si n )2 nnna n x n xf x a bll（ 3.1.1） 上式的含义是：在 f 的连续点处取等号，在 f 的间断点处取其左、右极限的平 均，其中 1 ( ) c o sln l na f dll ， 0,1,2,.n ， 1 ( ) s inln l nb f dll ， 0,1,2,.n 。 同时， Parseval 等式成立，即 22 2 2011 ( ) ( )2l nnl naf x d x a bl 特别地，当 f 是偶函数时， 01( ) c os2 nna nxf x a l ， 其中 02 ( ) c o sln na f dll ， 0,1,2,.n ； 当 f 是奇函数时，
