1、毕业论文文献综述 信息与计算科学 矩阵逆的推广及应用 一、前言部分 （说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点） 矩阵理论在数值计算、线性规划、数据分析、科学实验、信号传输等重大领域有着极其广泛的应用。随着科技日异月新的进步，人类社会开始步入信息化、数字化时代，矩阵在生活实践中的应用越来越广泛，矩阵理论的研究也就越来越重要。 在生产实践和科学实验中，人们经常碰到一类线性系统： bAx ， （ 1） 其中， nmCA ， nCx ， mCb 。 当 rbAra n kAra n k ),()( 时，该方程组有解，且 nr 时，有唯一解， nr 时，有无穷多组解，当 ),(
2、)( bArankArank 时，该方程组无解。 无解的线性方程组好像是最为乏味并且没有 实际意义。但事实相反，在某些实际问题中，如数据处理、多元分析、最优化理论、现代控制理论、网络理论等学科中，所遇到的方程组往往是不相容方程组，没有一个 nCx 能使方程精确相等。因此在实际应用中，需要找一个 nCx ，使得 Ax 尽可能的逼近 b ，如何去找这样的 x ？为了解决这一问题，数学家们做了大量的工作。高斯最先引 入了最小二乘法，并从统计方面证明它的合理性。所谓最小二乘，就是找出一个 nCx ，使得系统的残差 Axbr 的 2 范数最小，即2|min rnCx。如何计算最小二乘问题，成了一个重要的
3、课题。但人们总希望能像 A 可逆时那样显式地写出其解 x 的表达式，为适应这种需要，广义逆应运而生。 由文献 1 的结果，我们知道了广义逆的确是逆矩阵的推广， 本文首先对矩阵的广义逆进行定义、分类，然后详细讨论每一类广义逆矩阵的性质及其求解方法，其中包括减号逆的性质与求解，自反减号逆的性质与求解以及加号逆的唯一性证明与求解。通过对每一类广义逆矩阵的求解方法的研究，最后探讨矩阵的广义逆在解线性方程组中的应用。 二、主题部分 （阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述） 1903 年， Fredholm 最早提出了广义逆的概念 32 ，他给出了 Fredholm 积分算子的广义
4、逆 ，并称为“伪逆”， 1920 年，在美国数学通报上， Moore 首先提出了矩阵的广义逆，他利用投影矩阵定理定义了矩阵唯一的 Moore 广义逆 4 ，即： 设 nmCA ，则满足 )(ARPAX ， )(XRPXA (2) 的矩阵 nmCX 称为 矩阵 A 的广义逆，记作 A ，其中 )()( XRAR PP 和 分别是 )()( XRAR 和 上的正交投影算子。 在这之后的 30 多年中，广义逆很少被人注意，直到 1955 年，英国学者 Penrose 在剑桥哲学学会学报上发表了广义逆矩阵论文，以非常简单、直观的形式叙述了广义逆矩阵 A 满足的四个条件（也称 Penrose 条件）：设
5、 nmCA ，则满足 XAXAAXAXXX A XAA X A HH )(4(;)(3(;)2(;)1( (3) 的矩阵 nmCX 称为矩阵 A 的广义逆（其中 的共轭转置表示 AA H ）。可以证明，以上两个广义逆的定义是等价的 5 。为了纪念 E.H.Moore 和 R.Penrose 对广义逆研究所作的贡献，人们称这唯一的矩阵广义逆为 Moore-Penrose 广义逆，简称 M-P 逆，记为 A 。 在 M-P 逆的基础上，又衍生了其他许多类型的广义逆，设 , kjiJ 是上面（ 3）式中 1,2,3,4的非空子集合，则所有满足 J 中条件的矩阵集合称为 A 的 J 逆。若 1J ，则
6、 A 的 J 逆通 常称为减号逆，记为 A 或 )1(A 。若 2,1J ，则 A 的 J 逆通常称为自反广义逆，记为 rA 或 )2,1(A ,若 3,1J ，则 A 的 J 逆通常称为最小二乘广义逆，记作)3,1(AAl或 。若 4,1J ，则 A 的 J 逆通常称为极小范数广义逆，记为 )4,1(AAm或 。 M-P逆及其所衍生出的上述类型的广义逆彻底地解决了线性系统： mnnm CbCxCAbAx , 的求解问题。 2.1 几种常用的广义逆矩阵的性质及求解方法 2.1.1 减号逆 A 的性质与求解 1减号逆 A 的定义 6 ： 定义 2.1.1 对 nmCA ，若 nmCG 满足 AA
7、GA ， 则称 G 为 A 的 1-逆（或称为 A 的 g 逆），记为 )1(A （或 A ）。 2 减号逆 A 的性质 6 ： 定理 2.1.1 设 nmCA ， C ，则有 （ 1） )()( HH AA ； (2) AA )( ，其中 ；若若 00 01 (3) )()( ArankArank ； （ 4） AAAA 与 都是幂等阵，且满足 )()()( Ara n kAAra n kAAra n k 。 3减号逆 A 的求解 7 对于任意的 nm 矩阵 A ,它的减号逆 A 是存在的但不唯一，这一结论在文献 98 上已有证明或进行了说明。 接下来我们介绍一种常用的求 A 的公式： 1）
8、设矩阵 A 的秩为 r ，且 A 的左上角的 r 阶子块为满秩，即 ）（ rnrmrrmrnrrr AA AAA)()( 其中 rrA 的行列式 0| rrA ，则有 00 01rrAA （ 4） 将上式直接代入（ 4）式验证即可。 2）若矩阵 A 的秩为 r ，但其左上角的 r 阶子块 rrA 不满秩。这时若有初等列变换（ P 为相应的初等矩阵）使得 AAP ,而 A 的左上角 r 阶子块 rrA 为满秩的，则有 000)()()( 1 rrAAPA 再由 APAP 1)( 即可求得 000)()( 1 rrAPAPA （ 5） 这意味着，当 A 的左上角无满秩的 r 阶子块时，需先对 A
9、实行某种列变换，使其左上角 r 阶子块变为满秩的，再由（ 5）式对 )( A 施行相同的初等变换 行变换，即可得到 A 。同理，对 A 先做行变换变形，再作相应的列变换还原，也可得到 A 。 2.1.2 自反广义逆 rA 的性质与求解 众所周知，对于普通的逆矩阵 1A ，有 AA 11)( ，但这一事实对于减号逆 A 一般不成立，例如： 010 001,010101AA 但 AAAA 001 001即 AA )( ，为了使 A 与 A 能互为减号逆，我们不妨对前面的定义的减号逆 A 给予某种限制条件，使 A 具有这种“自反”的性质。 1 自反广义逆 rA 的定义 10 定义 2.1.2 设 n
10、mCA ，若存在 mnCB ，使 BBABAABA ， 则称 B 为 A 的自反广义逆矩阵，记为 rA ，即 rAB ，这时 A 与 B 互为自反广义逆矩阵。早在 50 年代，统计学家 C.R.Rao 11 就对半正定方阵使用了这种广义逆。 2 自反广义逆 rA 的性质 10 显然，自反广义逆是减号逆的一个子集，于是它具有前面讨论过减号逆 A 的所有性质。 定理 2.1.2 设 nmmn CACYX , ，且 YX, 均为 A 的广义逆矩阵，即 AAYAAAX A , 则 XAYZ （ 6） 为 A 的自反广义逆矩阵。 定理 2.1.3 设 mnCA 是 nmCA 的广义逆矩阵，则 A 是 A
11、 的自反广义逆的充要条件是 )()( ArankArank . 3 自反广义逆 rA 的求解 12 对于任意的 nm 矩阵 A ,它的自反广义逆 rA 是存在的，这一结论在文献 13 上已有证明。为了得到自反广义逆的计算方法，我 们先引进所谓“矩阵的右逆，左逆” 14 的概念。 定义 2.1.3 设 A 是 nm 的矩阵，若有 mn 的矩阵 G ，满足 mIAG （或 nIGA ） 则称 G 为 A 的右逆（或左逆），记为 1RA （或 1LA ）。 在一般情况下， 11 LR AA ，若 11 LR AA ，则 1A 存在，且 111 LR AAA 。 下面给出左逆，右逆存在的充要条件： 定
12、理 2.1.4 设 A 是 nm 的矩阵， A 有右逆 1RA 的充要条件是 mArank )( 若 A 有右逆，则其中一个右逆是 11 )( HHR AAAA , （ 7） 通式为 11 )( HHR AVAVAA (8) 其中 V 是任意一个满足 )()( HAV Ara n kAra n k 的矩阵。 定理 2.1.5 设 A 是 nm 的矩阵， A 有左逆 1LA 的充要条件是 nArank )( 若 A 有左逆，则其中一个左逆是 HHL AAAA 11 )( , （ 9） 通式为 VAVAAA HHL 11 )( （ 10） 其中 V 是任意一个满足 )()( VAArankAran
13、k H 的矩阵。 另外，由式（ 7） (或（式 9） )所定义的右逆（或左逆）满足 M-P 方程的四个条件，即 （ 1） )( 11 AAAAAAAA LR ； （ 2） )( 111111 LLLRRR AAAAAAAA ； (3) AAAAAAAA LHLRHR 1111 )()( ； (4) 1111 )()( LTLRHR AAAAAAAA ； 有了上面的定理，接下来我们讨论自反广义逆具有相当普遍性的计算方法： 设 nmCA ，分两种情况讨论： (1) 若 A 是行（或列）满秩矩阵，即 )()( mnAranknmArank 或，则 ；或 )()( 1111 HHLrHHRr AAAA
14、AAAAAA (2) 若 A 既不是行满秩也不是列满秩，即 )0(.m in )( rnmrAra n k ，则 A 进行一系列初等变换，可成标准形 00 0rIPAQ， 其中 rI 为 r 阶单位矩阵，即 1111 0000 0 QIIPQIPA rrr. 然后令 01 rIPB, 10 QIC r ， 从而有 BCA (11) 计算 1111 )(,)( HHRHHL CCCCBBBB 于是 11 LRr BCA （ 12） 值得 指出的是，由式（ 12）确定的自反广义逆 rA 并不唯一。这是因为用 11 )( HHR AAAA来计算右逆 1RC 和用 HHL AAAA 11 )( 来计算
15、左逆 1LB 并非唯一。 2.1.3 加号逆 A 的唯一性证明与求解 1加号逆 A 的唯一性证明 14 在自反广义逆矩阵中，还有一种更特殊的也更为重要的广义逆矩阵，这就是 MP 广义逆矩阵，记为 A 。它有很多重要的性质，在应用上特别重要。其定义在上面我们已经讲过了，接下来我们介绍 A 的存在性与唯一性。 存在性： A 的奇异值分解 15 为 Hr VUA 00 0,其中 r ird ia g ),( 21 （ ri ,2,1 ）是 A 的非零奇异值， VU与 是酉矩阵，令 Hr UVG 00 01 （ 13） 容易验证 G 满足四个 Penrose 方程，因此 A 存在。 下面证明 A 的唯
16、一性。假定矩阵 Y 也满足 4 个 Penrose 方程，则 YY A YYYAYYAGAG A Y A Y G A YG A G A YAYAGGAGGG A GG HHHHHHHHHHHH 因此 YG ，说明 A 是唯一的，且 Hr UVA 00 01 2 加号逆 A 的性质 4 陶玉娟 16 在文中详细介绍了加号逆 A 与逆矩阵的性质比较，指出了两者相似与相异的性质。接下来我们介绍加号逆 A 的基本性质：对任意的矩阵 A （ 1） 若 A 可逆，则 AA1 . （ 2） AA )( . （ 3） HHTT AAAA )()()()( ，. （ 4） 记 00 0,1 若 ，若 则 .)(
17、 AA (5) 若 ),( 1 ndddiagD ，则 ),( 1 ndddiagD . (6) )()( TTTT AAAAAAA 3加号逆 A 的求解 12 加号逆 A 的计算方法在文献 1817 皆有介绍， 为了得到加号逆的计算方法，我们先引进一个定理： 定理 2.1.6 若 nmCA ，且 BCA 是最大秩分解，则 TTTT BBBCCCX 11 )()( 是 A 的加号逆。 现在我们综述下 加号逆 A 的各种计算方法，如下： （ 1）如果 A 为满秩方阵，则 1 AA ； （ 2）如果 ),( 21 nddddiagA ， ).,2,1( niRd i ，则 ),( 21 ndddd
18、 ia gA 其中 时；当 时，当 01 0,0iiii dddd （ 3）如果 A 为行满秩矩阵，则 11 )( HHR AAAAA ； （ 14） （ 4）如果 A 为列满秩矩阵，则 HHL AAAAA 11 )( ； （ 15） （ 5）如果 A 非满秩的 nm 矩阵，可用满秩分解求 A ，即将 A 满秩分解成 BCA ,其中 B列满秩， C 行满秩，且 ,m in nmr a n k Arr a n k Cr a n k B ， 则有 BCBCA LR 11 ， （ 16） 这里 HHLHHR BBBBCCCC 1111 )(,)( 定理 2.1.6 说明了 11 LRBC 满足 MP
19、 的 4 个方程，是加号逆，即式（ 16）成立，必须注意的是，这里的 11 LR BC 与 只能按公式（ 7）和（ 9）求出，（记作 CCBB RL 11 , ），如果按左、右逆的通式写出别的形式作为 11 LR BC 与 ，就不能保证 A 是唯一的。 2.2 矩阵的广义逆 在解线性方程组中的应用 2.2.1 线性方程组求解问题 考虑非齐次线性方程组 bAx （ 17） 其中 nmCA ， mCb 给定，而 nCx 为待定向量。 若 ),()( bArankArank ，则方程组（ 17）有解，或称方程组相容；否则，若),()( bArankArank ，则方程组无解，或称方程组不相容或矛盾方程组。 关于线性方程组的求解问题，常见的有以下几种情形： （ 1）当方程组（ 17）相容时，若系数矩阵 nnCA ，且非奇异（即 0det A ），则有唯一
