1、毕业论文文献综述 信息与计算科学 浅析分块矩阵的应用 一、 前言部分 矩阵（ Matrix）本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方。在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由 19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵概念在生产实践中也有许多应用，比如矩阵图法以及保护个人帐号的矩阵卡系统（有深圳网域提出）等等。“矩阵”的本意也常被应用，比如监控系统中负责对前端视频源与控制线切换控制的模拟设备也叫矩阵。 4 矩阵理论是经典数学的基础，也是实用性最强的数学分支之一，是处理大量有限维空间形式与数学关系的强有力的工具 .矩阵理论在系统科学、优化方法、控
2、制论、图论、稳定性理论等众多领域中都有广泛的应用 .计算机的普及进一步促进了矩阵理论的发展 . 为了便于分析和计算，根据矩阵的特点和实际运算的需要，用若干条位于行与行之间的横线及若干条位于列与列之间的纵线将矩阵分成若干小矩阵，以子块为元素形式的矩阵称为分块矩阵。对于分块矩阵可以定义类似于普通矩阵的运算。这些运算会使许多问题化繁为简。 2 二 主题部分 2.1 分块矩阵概念介绍 2.1.1 分块矩阵概况 分块矩阵是一个矩阵，它是把矩阵分别按照横竖分割成一些小的子矩阵。然后把每个小矩阵看成一个元素。 由矩阵 A的若干行、若干列的交叉位置元素按原来顺序排成的矩阵称为 A的一个 子矩阵 。 把一个矩阵
3、 A 的行分成若干组，列也分成若干组，从而 A 被分成若干个子矩阵，把 A 看成是由这些子矩阵组成的，这称为矩阵的 分块 ，这种由子矩阵组成的矩阵称为 分块矩阵 。 4 矩阵分块的好处是：使得矩阵的结构变 得更明显清楚，而且使得矩阵的运算可以通过他们的分块矩阵形式来进行，从而可以使有关矩阵的理论问题和实际问题变得较容易解决。 1 从矩阵的加法和数量乘法的定义立即看出，两个具有相同分法的 sn 矩阵相加，只要把对应的子矩阵相加；数 k 乘一个分块矩阵，即用 k 去乘每一个子矩阵。 通过本文可以求证利用分块矩阵可以简化很多有关矩阵性质的证明。 2.2 分块矩阵产生的历史背景 矩阵概念和线性代数学科
4、的引进和发展是源于研究线性方程组系数而产生的行列式的发展 .莱布尼兹 ,微积分学的两个奠 基者之一 ,在 1693年使用了行列式 ,克莱姆于 1750年提出了用行列式求解线性方程组的公式 (即今天著名的克莱姆法则 ).相对比地 ,行列式的隐含使用最早出现在 18 世纪晚期拉格郎日关于双线性型的著作里 .拉格郎日希望刻画多变量函数的极大值与极小值 .他的方法今天以拉格郎日乘数法闻名 .为此 ,他首先要求第一个偏导数为0,再需要关于第二个偏导数的矩阵成立一个条件 .这个条件今天称之为正定或负定 ,尽管拉格郎日没有明显地使用矩阵 . 英国数学家凯莱 (A.Cayley,1821-1895) 一般被公
5、认为是矩阵论的创立者，因为他首先把 矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。 1855 年，埃米特 (C.Hermite,1822-1901) 证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根 的 特 殊 性 质 ， 如 现 在 称 为 埃 米 特 矩 阵 的 特 征 根 性 质 等 。 后 来 ，克莱伯施 (A.Clebsch,1831-1872) 、布克海姆 (A.Buchheim) 等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯 (H.Taber) 引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。 1 2.3 分块矩阵发展
6、现状及其基本功能 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由 西尔维斯特 首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的 矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最 初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支 矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵
7、的现代理论。矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领2 域。 分块矩阵可用于简化运算，简化数学证明，以及一些电脑应用如 VLSI 芯片设计等。 4 2.4 分块矩阵的运算规则 1分块矩阵的加法 设矩阵 A 与 B 的行数相同，列数相同（即为同型矩阵），采用相同的分块法有 1 1 1 2 12 1 2 2 212rrs s srA A AA A AAA A A，1 1 1 2 12 1 2 2 212rrs s srB B BB B BBB B B其中 ijA 与 ijB 是同型矩阵。 那么 1 1 1 1 1 2 1 2 1 12 1 2 1 2 2 2 2 2 21 1 2 2rrrrs
8、 s s s s r s rA B A B A BA B A B A BABA B A B A B 。 2 分块矩阵的数量乘法 设分块矩阵ij stAA， k 是常数，则ij stkA kA 。这里 ijkA 是数 k 与 ijA 的数量乘法。由分块矩阵的加法与分块矩阵的数乘可得出分块矩阵的减法如下。 若分块矩阵ij stAA与分块矩阵ij stBB中对应的子块 ijA 与 ijB 都是同型矩阵，则有ij ij stA B A B ，这里 ij ijAB 就是矩阵 ijA 与 ijB 的减法运算。 3. 分块矩阵的乘法 设 A是 mn 矩阵， B是 np 矩阵。如果 A分块为 rs 分块矩阵i
9、j rsA ， B分块为 st分块矩阵ij stB ，且 A 的列的分块法和 B 的行的分块法完全相同，则 121 1 1 2 11 1 1 2 1 12 1 2 2 22 1 2 2 2 11212( ) ( ) ( )()()()stst ijs rts s s tr r r s sj j jB B BA A A jA B B B B CA A A jB B BA A A j 列 列 列行行行这里， 1 1 2 2ij i j i j is sjC A B A B A B ， il ljAB 是矩阵 ilA 与 ljB 的积。 3 4. 分块矩阵的转置 将 A 任意分块为 1 1 1 2
10、12 1 2 2 212tts s stA A AA A AAA A A， 则 1 1 1 2 11 2 2 2 212T T TsT T TT sT T Tt t stA A AA A AAA A A， 其中， TijA 是矩阵 ijA 的转置。 5. 可逆分块矩阵的逆矩阵 利用矩阵分块，可给出某些矩阵的逆矩阵的求解方法。例如，准对角矩阵 12mAAAA的行列式为 1 mA A A 。因此，准对角矩阵 A 可逆等价于 0 ( 1, 2, )iA i m 。 若 A 可逆，根据准对角矩阵的乘法，容易求得它的逆矩阵为 1111 21mAAAA。 3 2.5 分块矩阵在线性代数中的应用 在线性代数
11、中，分块矩阵是一个十分重要的概念，他可以使矩阵的表示简单明了，是矩阵的运算得以简化。而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题，而事实上，利用分块矩阵方法计算行列式，时常会使行列式的计算变得简单，并能收到意想不到的效果。本文给出利 用分块矩阵计算行列式的几种方法。 10 2.5.1 用分块矩阵计算行列式 4 定理 1 设 1234AAH AA是一个四分块 n 阶矩阵，其中 1 2 3 4A A A A、 、 、 分别为(r r r n 、 r(n-r) 、 (n-r) 、 ( n - r ) - r )矩阵， （ 1）若 1A 可逆，则 11 4 3 1 2H A A A A A ； （
12、2）若 4A 可逆，则 14 1 2 4 3H A A A A A 。 证明 现在只对（ 1）进行证明，（ 2）可类似于（ 1）的方法证明由分块矩阵的乘法，有11 2 112113 1 3 4 4 3 1 200 00I A A AI A AA A I A A A A A AI ， 两边取行列式，由于 1121310 10I I A AA A I I ， 所以 1 2 1 11 4 3 1 213 4 4 3 1 200A A AH A A A A AA A A A A A 。 推论 1 设 1234AAH AA是一个四分块 n 阶矩阵，若 1A 可逆，且 1 3 3 1AA AA ,则 1
13、4 3 2H A A A A； 若 4A 可逆，且 2 4 4 2A A A A ，则 4 1 2 3H A A A A。 推论 2 设 1234AAH AA是 一 个 四 分 块 n 阶矩阵，若 1A 可 逆 ， 且 1 2 2 2 1 2 2 1,A A A A A A A A ，则 1 2 1 2H A A A A 。 5 例 1 计算1 2 2 31 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 1n n nxxxHxa a a a a。 解 令11 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 10 0 0 0xxxAxx ， 20001A3 1 2 4 1( , , , )
14、 ,nnA a a a A x a ，那么 2111 2111 1 1110,100nn nx x xA x A xxx 所以 11 4 3 1 2H A A A A A 1 1 21 12( ) ( )n nnaa ax x a x x x 121 2 1n n n nnx a x a x a x a 6 类似定理 1 的证明可得。 定理 2 设 1234AAH AA是一个四分块 n 阶矩阵，其中 1 2 3 4A A A A、 、 、 分别为(r r r n (n-r) 、 、 ( n - r ) - r ) 、 r(n-r)矩阵。 （ 1）若 2A 可逆，则 ( 1 ) 12 3 4 2
15、 1( 1 ) rnH A A A A A ； （ 2）若 3A 可逆，则 ( 1 ) 13 2 3 4( 1 ) rnH A A A A 。 6 推论 3 设 1234AAH AA是一个四分块 n 阶矩阵，若 2A 可逆，且 2 4 4 2A A A A ，则 ( 1 ) 2 3 4 1( 1 ) rnH A A A A ； 若 3A 可逆，且 3 1 1 3AA AA ，则 ( 1 ) 3 2 1 4( 1 ) rnH A A A A 。 推论 4 设 1234AAH AA是 一 个 四 分 块 n 阶 矩 阵 ， 若 2A 可 逆 ， 且2 3 4 1 2 2 1,A A A A A A
16、 A A ，则 ( 1 ) 2 1 2 1( 1 ) rnH A A A A 。 例 2 求矩阵121 1 11 1 11 1 1 naaGa的行列式。其中 0,1, 2, ,ian 解： 先对121 1 11 1 11 1 1 naaGa进行加边，然后将加边的行列式的第一行乘以-1 加到其余各行得 21 1 1 10 1 1 10 1 1 10 1 1inaGaa21 1 1 11 0 01 0 01 0 0inaaa令120 0 010 0 01( 1 ) , ( 1 1 1 ) , ,0 0 00 0 01 naaA D C Ba 由于 0ia ，所以 B 可逆，由结7 论（ 2）有 1
17、121 11nni iADG A D B C B a a aCB a 。 6 2.5.2 分块矩阵在解线性方程组的应用 引理 线性方程组 AX=b 可以写成向量方程 1 1 2 2 nnx a x a x a b 的形式其中12, , , na a a 是 A 的各列。 证明 :由分块矩阵的乘法是显然的。 定理 1 齐次线性方程组 AZ=0 有非零解的充要条件是系数阵的秩小于未知量的个数n。 证明：由引理显然成立。 定理 2 非齐次线性方程组 AX=b 有解的充要条件是系数矩阵 A 与增广矩阵 B=（ A、 b）的秩相同。 证明：由于 AB=b 有解，设为 0 0 012()nZ x x x
18、由引理 有 0 0 01 1 1 1 nnx a x a x a b ，说明 b 是系数阵各列的线性组合，即 12 raa a 与12 naa a 等价，因此 rank（ A） =rank（ B） 由于 rank（ A） =rank（ B） =r 不妨设 12 raa a 是 12 naa a 的极大线性无关组。则 12 raa a 也是 12 naa ab 的极大无关组，即 b 可由 12 raa a 线性表示，更有 b 可经 A 的各列 12 naa a 线性表示。 所以 AX=b 有解。 定理 3 若线性方程组 AX=b 对任意 b 都有解的充要条件是 0A 证明：假设的 0A 。说明
19、A 的各 12 raa a 线性相关。设 12 naa a 的极大无关组()rn，此时 12 raa a 不是 nV 的基底，则一定存在向量 不能被 12 raa a 线性表示，显然 12 raa a 对此方程组无解，与任意 b 方程 AZ=b 都有解矛盾，因此 0A 由于 0A ，说明 A 的各列 12 naa a 是 nV 的基底。所以，对任意的 b 都可经 1 2 11aa a线性表示，设 1 1 2 2 nnb c a c a c a 即 AX=b 有解。 用分块矩阵求矩阵的秩 8 定理 4 设 1234AAA AA是一个 mn 矩阵，其中2 1 2 2 23 1 3 2 31 1 1
20、 2 1 2 1 3 1 3 412( ) 0 , ( , , , ) ,nnnm m m na a aa a aA a A a a a A Aa a a 分别为1 1 , 1 ( 1 ) , ( 1 ) 1 , ( 1 ) ( 1 )n m m n ，则 1 1 4 3 2( ) 1 ( )r A r a A A A 证明 因为 1 1 1 2 12 1 2 2 2 122412nnm m m na a aa a a AAAAAa a a 其中 2 1 2 2 21 1 1 2 1 2 1 3 1 3 412( ) , , , , , ,nnm m m na a aA a A a a a A
21、 Aa a a 由分块 矩阵的乘法有， 11 2 112113 1 3 4 4 3 1 200 00I A A AI A AA A I A A A A A AI 即 111 2 1111 21111 3 1 3 4 11 11 2 3 21 0 ( )0m nI a A aI a AA A I A A a a A A AI 而111 3 10mIA A I 与 111 210 nI a AI分别是 m 阶、 n 阶可逆矩阵，所以 1 1 2 1 1 13 4 1 1 1 1 4 3 20() 0 ( )a A ar A r A A a a A A A 11 1 1 1 1 1 4 3 2( )
22、 ( ) r a r a a A A A 1 1 4 3 21 ( )r a A A A 定理 5 把求 MXN 矩阵 A 的指数的问题转化为求 ( 1) ( 1)mn 矩阵 11 4 3 2()a A A A的秩数问题，而后面这个矩阵 11 4 3 2()a A A A 的元素可通过 A 元素很有规则的用 2 阶行列式表示。即 9 11 4 3 2()a A A A 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 11 1 3 2 1 1 3 3 1 1 2 3 1 11 1 2 1 1 1 1 2 1 1nnm m n m m na a a a a a a aa a a a a a a
23、 aa a a a a a a a 1 1 1 3 1 1 11 1 1 22 1 2 3 2 1 22 1 2 21 1 1 2 1 1 1 3 1 1 13 1 3 2 3 1 3 3 3 1 31 1 1 2 1 1 1 3 1 1 11 2 1 3 1nnnnnm m m m m m na a a aaaa a a aaaa a a a a aa a a a a aa a a a a aa a a a a a2 2 2 3 23 2 3 3 322nnm m m nb b bb b b Bb b b其中 11 11 ( 2 , 3 , , , 2 , 3 , , )jiji ijaab
24、 i m j naa 如果 22 0b 而求矩阵 B 的秩又由定理 3 得 2 2 4 2 3( ) 1 ( )r B r b B B B 其中 3 2 3 3 31 2 2 2 2 3 2 3 432( ) , ( ) , ,nnm m m nb b bB b B b b B Bb b b 矩阵 22 4 2 3()b B B B 的元素又可通过矩阵 B 的元素很有规则地用 2 阶行列式表示成一个( 2) ( 2)mn 矩阵。如此继续下去，经过 2m 次计算矩阵的秩，最后剩下 一个2 ( 2 )nm 矩阵而求其秩就是很显然的了，这样矩阵 A 的秩通过有规则地心算，很迅速地求出。、 例 1 求矩阵
