1、一、二阶常系数线性差分方程的应用张芳平 指导老师 魏平摘要 本文介绍一、二阶差分方程的基本概念、解的几种应用以及这些解在计算几种特殊行列式的值和概率论中的应用.关键词 差分方程 特征值 特征方程 行列式 全概率公式1.差分方程的概念含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，称为差分方程.由于差分方程中必须含有未知函数的差分（自变量、未知函数可以不显含），因此差分方程也可称为含有未知函数差分的函数方程.差分方程中实际所含差分的最高阶数，称为差分方程的阶数.或者说，差分方程中未知函数下标的最大差数，称为差分方程的阶数.n阶差分方程的一般形式可表示为0),( 2 tnttt yyyyt ， （
2、1）或 0),( 1 nttt yyytF ， （2）由于经常遇到是形如（2）式的差分方程，所以以后我们只讨论由（2）式的差分方程.若把一个函数 )(tyt 代入差分方程中，使其成为恒等式，则称 )(tyt 为差分方程的解.含有任意常数的个数等于差分方程的阶数的解，称为差分方程得通解；任意常数以 值的解，称为差分方程得特解.用以 通解中任意常数的 称为 . 1t ，称为一阶差分方程， 2t ，称为二阶差分方程1.1一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为)(1 tfayy tt （ ）其中常数 0a ， )(tf 为t的 知函数， )(tf 不恒为 ，（ ）称为一阶 差分方程；
3、 0)( tf ，差分方程01 tt ayy . 称为 线性差分方程差分方程的通解形式为tt aCy )( （C为任意常数）.差分方程的通解形式 baCy tt )( （C， 为任意常数）.（ ）下 函数 )(tf 为几种常 形式用 系数 线性差分方程（ ）的特解. )(tf 的形式， 下表 特解的形式， 方程的系数，可得到特解)(* ty .)(tf 的形式 特征的特解的形式 通解的形式)()( tptf mt)(tQm 为 )(tPm 数的currency1式)k不是特征( )t mQ tk ( ) ( )t t mC a A Q tk- +A、C为 系数k是特征( )t mtQ tk (
4、 ) ( )t t mC a A tQ tk- +A、C为 常数( ) ( cos sin )tf t a t b tk q q= +“ (cos sin )t t i td k q q= +d不是特征( cos sin )t A t B tk q q+ ( ) ( cos sin )t tC a A A t B tk q q- + +A、C为 常数d是特征( cos sin )tt A t B tk q q+ ( ) ( cos sin )t tC a A t A t B tk q q- + +A、C为 常数1.2二阶常系数线性差分方程标形式 012 ttt byayy （fi）)(12 t
5、fbyayy ttt . （fl）1 若函数 )(1 ty ， )(2 ty 是二阶 线性差分方程（fi）的线性关特解，则)()()( 2211 tyCtyCtyC 是方程的通解，其中 1C 、 2C 是任意常数.2 若 )(* ty 是二阶 线性差分方程（fi）的一个特解， )(tyC 是 线性差分方程（fl）的通解，则差分方程（fi）的通解为)()( * tytyy Ct .1. 解的形式1. .1二阶常系数 二阶常系数 差分方程（ ）的解其特征方程 2 0a bl l+ + = 的式2 4a b- 的 有关. 2 4 0a b- ，差分方程（ ）有特解 ttt tytytyty )()(
6、)(,)(,)(2112211 常数，的通解是 1 1 2 2( )t tcy t C Cl l= + ；2 4 0a b- = ，有个的特征 ， a2121 ，差分方程（ ）有特解tt attyaty )21()(,)21()(21 ，的通解是tc atCCty )21)()(21 2 4 0a b- ，特征方程有个”特征 il a b= ，差分方程（ ）有特 解 2221 ,sin)(,cos)( brtrtytrty tt ， 由 241tan aba ),0( ， 的 通 解 是)sincos()( 21 tCtCrty tc ，二阶常系数 差分方程（fi）的解一阶常系数线性差分方程，
7、如下表)(tf 的形式 特征 的 特解的形式)()( tptf mt)(tQm 为 )(tPm 数的currency1式)k不是特征 ( )t mQ tkk是 特征 ( )t mtQ tkk是二特征 2 ( )t mt Q tk( ) ( cos sin )tf t a t b tk q q= +“ (cos sin )t t i td k q q= +d不是特征 ( cos sin )t A t B tk q q+d是 特征 ( cos sin )tt A t B tk q q+d是二特征 2( cos sin )tt A t B tk q q+2、差分方程在行列式方 的应用（1）形如( )
8、na b b b a b b b b bc a b b c a b bD c c a b c c a bc c c a c c c a- += =L LL LL LM M M O M M M M O ML L000a b b b b b b b ba b b c a b bc a b c c a bc c a c c c a-= +L LL LL LM M M O M M M M O ML L1 11 1 1 1 0 00 0( ) ( ) 0 0 00 0 0n na c b ac a b b a c b aa b D b a b D bc c a b a cc c c a a c- - -
9、 -= - + = - + -L LL LL LM M M O M M M M O ML L11( ) ( )nna b D b a c-= - + -由 11 )()( nnn cabDbaD 知1 ( ) ( )nn nD a b D b a c+ - - = -式是一个一阶常系数 线性差分方程差分方程应的特征方程为0)( ba 解 得 ， 方 程 通 解 为 nnn caAbbaCD )()( 由bcaDxD 21 , 知2 2( ) ( )( ) ( )a C a b Ab a ca bc C a b Ab a c= - + - = - + -解得1Ab ccCb c= -=- -cb
10、baccabD nnn )()(（2）acbacacbacbaDn000000000000000000 21 nn bcDaD特征方程 02 bca 042 bca ，方程有特解 2 4,2 422 bcaabcaa ，通解为nnnbcaaCbcaaCD )24()24( 2221由 bcaDaD 221 , ，得2 21 22 22 2 21 24 4( ) ( )2 24 4( ) ( )2 2a a bc a a bca C Ca a bc a a bca bc C C+ - - -= + - - - = +解得11 224nCa a bc+=+ - 12 224nCa a bc+-=-
11、 -所以2 1 2 11 2( 4 ) ( 4 )2 4n nn na a bc a a bcDa bc+ + - - - -=-042 bca ， 2 42 422 bcaabcaa ，得 bca 42 ，通解为1 21( )( )2nnD C C n a= +由 bcaDaD 221 , ，得1 22 21 21( )( )21( 2 )( )2a C C aa bc C C a= +- = +解得 1,1 21 CC ,代入得(1 )( )2 nn aD n= + 042 bca ，（ ）计算n阶行列式nab cab a cD ab acab a= OM O解: 式一列b 一行得1 nn
12、n bcDbaD其通解为 1)( nnn AbabcBD ，由 abcbaDabD 221 , 得22 2 3( )( )ab B bc Abaa b abc B bc Aba= - +- = - +解得 )( bcaa cbcaA ， bca aB 代入其通解中，得( ) ( )n nna bc c ba a bcDa bc+ - - -=+以 行列式如 成如下形式，也可 差分方程的解得 111na ca cD aca= OM O 可得 1 nn bDaD ，其通解为 nnn AabBD )(由 aD 1 ， abaD 2 ，得2 2a Bb Aaa ab Bb Aa=- +- = +解得b
13、aA 1 ，)()1(babbaaB ，其代入通解得1(1 ) 1( 1)n n nna a bD b aa b a b- -= - + +(4) aabaabaabaDn式 一行得1 nnn bDaD ,nnn abDD 1 11 nnn abDD ba ，其通解为 1 nnn AaCbD ，由 aD 1 ， abaD 22 知3222AaCbabaAaCba 解得abaCbaA1代入通解中得babaaD nnn )(ba ，有 nnn aaDD 1 ，其通解表 式为 nn aAnaCD )( ，由aD 1 ， abaD 22 知22 )()(aAaCabaaAaCa解得01CaA代入通解表
14、 式中得nn naD 行列式中 1 ba ， 式可为1111111111111 nD一行得 11 nn DD ， 其通解表 式为 AnCDn ，由 2,1 21 DD 可知ACAC221解得 01CA nDn 3、差分方程在概率中的应用用差分方程解 概率 ， 要所解 的 差分方程， 后 的解，在概率 中 差分方程有种方 ，一种是 关系， 一种是用全概率公式，有 这种方 使用可使计算 程 .3.1全概率公式),2,1( niBi 为的一个 分， .,2,1,0)( niBP i 则任一 A有)()()(1inii BAPBPAP 3.2 实际应用3.2.1一阶差分方程的应用1 中有9只 和1只
15、， 中有10只 ， 中一 入 一中，这 ， 在中的概率.解 iA表示 i 后 在中 ，则 iA表示 i 后 在 中 ， .4,3,2,1i用 关系，可得到以下差分方程1.08.0)1(1.09.0 111 iiii PPPP （8）则（8）式的通解为 5.0)8.0( Ii CP （9） 9.01 P 代入（9）式得 C=0.5因此（1）式的解为 5.08.05.0 iP82.02 P , 7536.03 P , 7048.04 P .2 在n 试验中， 成功 发生的概率为P,证 nA 为n 试验中成功 偶数 的 ， )( nAP .解 n 试验中 成功 偶数 ，等价于一 试验 失败 ，后 1
16、n 中偶数 成功 ，或者一 试验 成功 ，后 1n 中奇数 成功 ，其概率可以表示为)(1)()( 11 nnn APPAqPAP PAPqAP nn )()21()( 1 (10)其中 1,1)( 0 qpAP（10）式中的通解为 21)12()( nn qCAP由 1)( 0 AP 得 21A )(12121)12(21)( nnn pqqAP （11）而如 概率中通常的计算方 ，则其表 式为 44422200)( nnnnnnn qpCqpCqpCAP (12)（11）式可以看 （12）式 的currency1，因此，差分方程在计算概率 是可以 .3 r个人互传 ， 。 在 传 程中传
17、者等可能的传 其余 1r 个人， n 由传的概率。解 nA n 由传 ，记 ,2,1),( nAPP nn 2,11 nP .由 意可得，)|()()|()( 1111 nnnnnnn AAPAPAAPAPP 0)|( 1 nn AAP ， 11)|( 1 rAAP nn ，所以111111)(1(11 rPrrAPP nnn（13）（1）式得 11111 rPrP nn . 111 1 1 rPrP nn 。其解为11)11(21 rCrCPnn由 0,1 21 PP 知.1,)1( 221 rrCrrC 代入 式得.)1( 111 2 nn rrP3.2.2二阶差分方程的应用4 投掷均匀硬
18、币直至一 接连个正 为止， 这 投掷n 的概率？解 nA = 投掷n 接连个正 ，记 ( )n nP P A= ； 1 =B 一 反 ， 2 =B 一 正 ，二 反 。 1 2 =IB B ，但1 2InA B B ，有全概率公式得:1 1 2 2( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )= = +n n n nP P A P B P A B P B P A B .11( )2=P B , 21( )4=P B由 的独 性可知 1 1 1 1( | ) ( )- - -= =n n nP A B P A P ， 2 1 2 2( | ) ( )- - -= =n n nP A B P A
19、P 。所以1 21 12 4- -= +n n nP P P 。 其中 1 2 10, 4= =P P .式的特征方程为2 1 1 02 4l l- - = 。特征值为1 21 5 1 5,4 4l l+ -= = 。由引 2得1 21 5 1 54 4骣 骣+ -= +琪 琪琪 琪桫 桫n nnP C C .因为 1 2 10, 4= =P P 。所以可得方程组1 22 21 21 5 1 5 04 41 5 1 5 14 4 4+ -+ =骣 骣+ -+ =琪 琪琪 琪桫 桫C CC C。解方程得1 25 5 5 5,10 10- += =C C 。所以5 5 1 5 5 5 1 510 4 10 4骣 骣- + + -= +琪 琪琪 琪桫 桫n nnP 。1朱晓峰,姜玉英.差分方程在概率中的应用J.北京应印刷学院学报,20062陈旭东. 差分方程解一行列式J.科技信息200fl.fi. 耿悦敏.差分方程解概率中的应用应用J.广东职业技术学院学报200 . 孙福杰. 差分方程解概率计算中的应用J锡教育学院学报200 .10
