1、1 台州学院 2017 学年第 1 学期 2017 级 数学与应用数学 专业 高等代数 I 期中 试卷 (A)(闭卷 ) 班级 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 分值 20 15 20 10 15 10 10 100 得分 一 计算题（ 第 1,2,3,4 每小题 3 分，第 5,6 每小题 4 分，共 20 分 ） 1. 设 1 1 3112 1 1a=0，求 a. 2. 5234 =？ 3. 27 8 8 19 4 4 13 2 2 11 1 1 1 =？ 4. 求箭形行列式12121nn的值 . 5. 计算行列式121212555nnna a aa a aa a a.
2、6 设3 0 4 02 2 2 20 7 7 05 3 2 2D , 2 1 2 2 2 3 2 41 0 6 4 4 ?A A A A 二 叙述题（每小题 5 分，共 15 分） 1. 请叙述 Cramer 法 则 . 2.请叙述数域的定义 . 3. 什么叫 齐次线性方程组 的 基础解 系 ？ 三 判别下列命题的对错，并把错误的命题改正（每小题 2 分，共 20 分） 1 一个向量 线性相关的充要条件是 =0. 2 设向量组 12, ,., s 线性无关， 12, ,., s ， 线性相关，则 1 可由 向量组 2,., s ， 线性表出 . 3 任一个排列都可以经过奇数次对换变为奇排列 .
3、 4 设线性无关的向量组 12, ,., r 可由向量组 12, ,., s 线性表出，则 rs. 5.设向量组 1 2 3, 线性无关，则向量组 12,线性无关 . 6.设 n m 矩阵 A 是一个齐次线性方程组的系数矩阵， 若 mn ，则 该方程组有非零解 . 7. 设 12= ( , , ., ) , 1 , 2 , .,i i i ina a a i s , 1 2 1 5= ( , , . . . , , , . . . , ) , 1 , 2 , . . . ,i i i in i ia a a b b i s ,如果向量组2 12, ,., s 线性无关，则向量组 12, ,.,
4、 s 也线性无关 . 8. n 维向量空间的任意 n+3个向量必线性相关 . 9. 6 元齐次线性方程组 654321 xxxxxx 的自由未知量有 2 个 . 10. 5 | , P a b a b Q 是 一个数域，其中 Q 是有理数域 . 四 填空题（每题 2 分，共 10 分） 1 设 6 级矩阵 A 的秩为 5 ，则 A 有一个 ，且 A 的所有 均为 0. 2 请写出一个 6元排列 ，其反序数是 10. 3 (523416789)+987614325） = . 4 非齐次线性方程组有解的充要条件是 . 5 当 j= ， k= 时， 12 3 51 6 23 45jka a a a
5、a a为 6 阶行列式中带负号的项 . 五 . （ 15 分） 解下列线性方程组，用其特解和导出组的基础解系表示出全部解： 1 2 3 4 51 2 3 4 52 3 4 51 2 3 4 513 2 3 42 2 6 15 4 3 3 2 3x x x x xx x x x xx x x xx x x x x . 六 (10 分 ) 求向量组 1， 2， 3， 4, 5的 一个 极大无关组 , 并把不属于极大无关组的向量用 求得的极大无关组线性表出 , 其中： 1=(1, 3, 0, 5)， 2=(1, 2, 1, 4)， 3=(1, 1, 2, 3)， 4=(1, 3, 6, 2), 5=
6、(1, 4, 1, 3). 七 证明题 （ 每小题 5 分，共 10 分 ） ： 1. 设 ,AB都是 sn 矩阵，证明 ( ) ( ) ( )R A B R A R B . 2. 设 1 2 3= (1 , 2 1 ) , (1 , 1 , 2 ) , ( 2 , 1 , 1 ) ； 2 3= ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) ，证明向量组 1 2 3, 与 1 2 3, 等价 . 3 答案 ： 一计算题 1. 15a . 2. 120. 3. 120. 4. 2 n. 5. 11(5 )5n nii a . 6. 0. 二 叙述题
7、(15 分 ) 三 是非题（是打 ，非打，每小题 2 分，共 20 分） 1一个向量 线性相关的充要条件是 =0. 2设向量组 12, ,., s 线性无关， 12, ,., s ， 线性相关，则 1 可由向量组 2,., s ， 线性表出 . 3 任一个排列都可以经过奇数次对换变为奇排列 . 4设线性无关的向量组 12, ,., r 可由向量组 12, ,., s 线性表出，则 rs. 5 设向量组 1 2 3, 线性无关，则向量组 12,线性无关 . 6.设 n m 矩阵 A 是一个齐次线性方程组的系数矩阵，若 mn ，则该方程组有非零解 . 7. 设 12= ( , , ., ) , 1
8、 , 2 , .,i i i ina a a i s , 1 2 1 5= ( , , . . . , , , . . . , ) , 1 , 2 , . . . ,i i i in i ia a a b b i s ,如果向量组12, ,., s 线性无关，则向量组 12, ,., s 也线性无关 . 8. n 维向量空间的任意 n+3个向量必线性相关 . 9. 6 元齐次线性方程组 654321 xxxxxx 的自由未知量有 2 个 . 10. 5 | , P a b a b Q 是一个数域，其中 Q 是有理数域 . 四 填空题（每题 2 分，共 10 分） 1 设 6 级矩阵 A 的秩为
9、 5 ，则 A 有一个 5 阶子式非零 ，且 A 的所有 6 阶子式 均为 0. 2 请写出一个 6元排列 543216 ，其反序数是 10. 3 (523416789)+987614325） = 36 . 4 非齐次线性方程组有解的充要条件是 系数矩阵与增广矩阵的秩相等 . 5 当 j= 6 ， k= 4 时， 12 3 51 6 23 45jka a a a a a为 6 阶行列式中带负号的项 . 五 . （ 15 分） 解下列线性方程组，用其特解和导出组的基础解系表示出全部解： 1 2 3 4 51 2 3 4 52 3 4 51 2 3 4 513 2 3 42 2 6 15 4 3
10、3 2 3x x x x xx x x x xx x x xx x x x x . 4 解：1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 5 23 2 1 1 3 4 0 1 2 2 6 1 0 1 2 2 6 10 1 2 2 6 1 0 1 2 2 6 1 0 0 0 0 3 35 4 3 3 2 3 0 1 2 2 3 2 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 30 1 2 2 0 50 0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 . 方程组的 特解为 0 =( 3, 5, 0, 0, 1) ，导出组的基础解系 为： 1 =(1, 2,1,0,0) ， 2 =(1,
11、 2,0,1,0) . 方程组的全部解为 0 1 1 2 2= kk ， 12kk， 为任意数 . 或1 1 22 1 23 1 1 242535 2 21x k kx k kx k k kxkx ， ，为任意数 . 六 (10 分 ) 解 ：得 极大无关组为 1 2 4, . 3 1 2 5 1 2 4= 2 , 3 5 . 七证明题（ 10 分）： 1. 证明： 设 A 的行向量为 (1): 12, ,., s ， B 的行向量为 (2): 12, ,., s ，则 AB 的行向量为 (3): 1 1 2 2, , ., ss ，再设 ( ) , ( )R A r R B t，向量组 (1
12、)的极大无关组为12, ,.,i i ir ，向量组 (2)的极大无关组为 12, ,.,j j jt ，于是向量组 (3)的每一个向量都可由向量组 (4): 12, ,.,i i ir , 12, ,.,j j jt 线性表出，所以 1 2 1 2( ) = ( ( 3 ) ) ( , , . . . , , , , . . . , ) = ( ) ( )i i i r j j j tR A B R R r t R A R B . 命题得证 . 2. 设 1 2 3= (1 , 2 1 ) , (1 , 1 , 2 ) , ( 2 , 1 , 1 ) ； 2 3= ( 1 , 0 , 0 )
13、 , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) ，证明向量组 1 2 3, 与 1 2 3, 等价 . 证明：只需证明两个向量组可以彼此线性表出 . 一方面， 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 32 , 2 , 2 . 5 另一方面，1 3 1 2 3 2 1 1 2 3 3 2 1 2 31 1 1= ( ) , ( ) , ( )4 4 4 . 6 台州学院 2017 学年第 1 学期 2017 级 数学与应用数学 专业 高等代数 I 期中 答 卷 （ A） 班级 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 分值 20 15 20 10 15 10 10 100 得分 一 .计算题 （ 20 分）
