1、专题提升 (十五 ) 巧用旋转进行证明与计算 【经典母题】 已知等边三角形 ABC(如图 Z15 1) (1)以点 A为旋转中心 ， 将 ABC按逆时针方向旋转 30， 作出旋转后的图形； (2)经第 (1)题旋转所得的图形与 ABC 之间有没有互相垂直的边？证明你的判断 图 Z15 1 经 典母题答图 解： (1)如答图所示； (2)AD BC， DE AC， AB AE.证明略 【思想方法】 旋转前、后的图形全等 ， 所以借此可以在较复杂的图形中发现等量 (或全等 )关系 ， 或通过旋转 (割补 )图形 ， 把分散的已知量聚合起来 ， 便于打通解题思路 ， 找到解题突破口 【中考变形】 1
2、 如图 Z15 2， 已知 ABC和 DCE均是等边三角形 ， 点 B， C， E在同一条直线上 ， AE与 BD交于点 O， AE与 CD交于点 G， AC与 BD交于点 F， 连结 OC， FG， 则下列结论： AE BD； AG BF； FG BE； BOC EOC， 其中正确结论的个数是 ( D ) 图 Z15 2 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 如图 Z15 3， P 是等腰直角三角形 ABC 外一点 ， 把 BP 绕点 B顺时针旋转90 到 BP， 已知 APB 135， P A P C 1 3， 则 PA PB ( B ) A 1 2 B 1 2 C. 3 2
3、 D 1 3 图 Z15 3 中考变形 2 答图 【解析】 如答图 ， 连结 AP， PP ， BP 绕点 B顺时针旋转 90 到 BP， BP BP， ABP ABP 90 . ABC 是等腰直角三角形 ， AB BC， CBP ABP 90 ， ABP CBP.在 ABP 和 CBP中 ，BP BP， ABP CBP，AB CB， ABP CBP (SAS)， AP PC. PA PC 1 3， AP 3PA. PBP是等腰直角三角形 ， BP P 45 ， PP 2PB. AP B 135 ， AP P 135 45 90 ， APP 是直角三角形设 PA x， 则 AP 3x， 根据勾
4、股定理 ， 得 PP AP2 PA2 （ 3x） 2 x2 2 2x， P B PB 2x， P A PB x 2x 1 2. 3 2017徐州 如图 Z15 4， 已知 AC BC， 垂足为 C， AC 4， BC 3 3， 将线段 AC绕点 A按逆时针方向旋转 60， 得到线段 AD， 连结 DC， DB. (1)线段 DC _4_； (2)求线段 DB的长度 图 Z15 4 中考变形 3 答 图 解： (1) AC AD， CAD 60 ， ACD是等边三角形 ， DC AC 4； (2)如答图 ， 作 DE BC 于点 E. ACD是等边三角形 ， ACD 60 ， 又 AC BC，
5、DCE ACB ACD 90 60 30 ， 在 Rt CDE 中 ， DE 12DC 2， CE DCcos30 4 32 2 3， BE BC CE 3 3 2 3 3. 在 Rt BDE 中 ， BD DE2 BE2 22（ 3） 2 7. 4 如图 Z15 5 ， 在 ABC中 ， AE BC 于点 E， AE BE， D是 AE上的一点 ，且 DE CE， 连结 BD， CD. (1)判断 BD与 AC的位置关系和数量关系 ， 并给出证明； (2)如图 ， 若将 DCE 绕点 E 旋转一定的角度后 ， BD 与 AC 的位置关系和数量关系是否发生变化？为什么？ (3)如图 ， 将 (
6、2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形 ， 其他条件不变 ， 求BD与 AC夹角的度数 图 Z15 5 解： (1)BD 与 AC 的位置关系是 BD AC， 数量关系是BD AC.证明： 如答图 ， 延长 BD交 AC于点 F. AE BC 于点 E， BED AEC 90 . AE BE， DE CE， DBE CAE(SAS)， BD AC， DBE CAE， BDE ACE. BDE ADF， ADF ACE. 中考变形 4 答图 ACE CAE 90， ADF CAE 90， BD AC； (2)否证明：如答图 ， AC与 BD 交于点 F， AEB DEC 90， AEB AED
7、DEC AED， 即 BED AEC. AE BE， DE CE， BED AEC(SAS)， BD AC， BDE ACE， DBE CAE. BFC ACD CDE BDE ACD CDE ACE 90， BD AC； (3)如答图 ， AC与 BD 交于点 F. ABE 和 DEC 是等边三角形， AE BE， DE EC， EDC DCE 60， BEA DEC 60， BEA AED DEC AED， BED AEC， 在 BED和 AEC中， BE AE， BED AEC，DE CE， BED AEC(SAS)， BDE ACE， DFC 180 ( BDE EDC DCF) 60
8、， BD 与 AC的夹角度数为 60或 120. 5 阅读下面的材料： 小伟遇到这样一个问题：如图 Z15 6 ， 在正三角形 ABC 内有一点 P， 且PA 3， PB 4， PC 5， 求 APB 的度数小伟是这样思 考的：如图 ， 利用旋转和全等的知识构造 APC， 连结 PP， 得到两个特殊的三角形 ， 从而将问题解决 (1)请你回答：图 中 APB _150 _； 参考小伟同学思考问题的方法 ， 解决下列问题： 中考变形 4 答图 中考变形 4 答图 (2)如图 ， 在正方形 ABCD 内有一点 P， 且 PA 2 2， PB 1， PD 17，求 APB的度数和正方形的边长 图 Z
9、15 6 解： (1)如答图 ， 把 APB绕点 A 逆时针旋转 60 得 APC， 由旋转的性质 ， 得 PA PA 3， P C PB 4， PAP 60 ， APP 是等边三角形 ， PP PA 3， AP P 60 ， PP 2 PC2 32 42 25， PC2 52 25， PP 2 PC2 PC2， PP C 90 ， AP C APP PPC 60 90 150 ， APB APC 150 ； (2)如答图 ， 把 APB绕点 A 逆时针旋转 90 得到 APD， 由旋转的性质，得 PA PA 2 2， PD PB 1， PAP 90， APP是等腰直角三角形， PP 2PA
10、22 2 4， APP 45， PP2 PD2 42 12 17， PD2 ( 17)2 17， PP 2 PD2 PD2， PP D 90， AP D APP PPD 45 90 135， APB APD 135 . APB APP 135 45 180， 中考变形 5答图 中考变形 5 答图 P， P， B三点共线 过点 A作 AE PP于点 E， 则 AE PE 12PP 2， BE PE PB 2 1 3， 在 Rt ABE中 ， AB AE2 BE2 22 32 13. 【中考预测】 (1)如图 Z15 7 ， 在正方形 ABCD中 ， AEF的顶点 E， F分别在 BC， CD边上
11、 ， 高 线 AG与正方形的边长相等 ， 求 EAF的度数； (2)如图 ， 在 Rt ABD中 ， BAD 90， AB AD， M， N是 BD边上的任意两点 ， 且 MAN 45， 将 ABM绕点 A逆时针旋转 90 至 ADH位置 ，连结 NH， 试判断 MN2， ND2， DH2 之间的数量关系 ， 并说明理由； (3)在图 中 ， 若 EG 4， GF 6， 求正方形 ABCD的边长 图 Z15 7 解： (1)在正方形 ABCD中 ， B D 90 ， AG EF， ABE 和 AGE 是直角三角形 在 Rt ABE 和 Rt AGE 中 ， AB AG，AE AE， ABE A
12、GE(HL)， BAE GAE. 同理 ， GAF DAF. EAF EAG FAG 12 BAD 45； (2)MN2 ND2 DH2. 由旋转可知 ， BAM DAH， BAM DAN 45 ， HAN DAH DAN 45 . HAN MAN. 在 AMN 与 AHN 中 ，AM AH， MAN HAN，AN AN， AMN AHN(SAS)， MN HN. BAD 90 ， AB AD， B ADB 45 ， HDN HDA ADB 90 ， NH2 ND2 DH2， MN2 ND2 DH2； (3)由 (1)知 ， BE EG 4， DF FG 6. 设正方形 ABCD的边长为 x， 则 CE x 4， CF x 6. CE2 CF2 EF2， (x 4)2 (x 6)2 102， 解得 x1 12， x2 2(不合题意 ， 舍去 ) 正方形 ABCD的边长为 12.
