1、 成人高考高等数学 (二 )模拟试题和答案解析（ 一 ） 一、选择题： 1 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内 1当 x0 时， x2是 x-1n(1+x)的（ ） A较高阶的无穷小量 B等价无穷小量 C同阶但不等价的无穷小量 D较低阶的无穷小量 2设函数 (sinx)=sin2 x，则 (x)等于（ ） A 2cos x B -2sin xcosx C D 2x 3以下结论正确的是（ ） A函数 (x)的导数不存在的点，一定不是 (x)的极值点 B若 x0为函数 (x)的驻点，则 x0必为 (x)的极
2、值点 C若函数 (x)在点 x0处有极值，且 (x0)存在，则必有 (x0)=0 D若函数 (x)在点 x0处连续，则 (x0)一定存在 4 A B C exdx D exIn xdx 5函数 y=ex-x 在区间 (-1， 1)内（ ） A单调减少 B单调增加 C不增不减 D有增有减 6 A F(x) B -F(x) C 0 D 2F(x) 7设 y=(x)二阶可导，且 (1)=0, (1)0，则必有（ ） A (1)=0 B (1)是极小值 C (1)是极大值 D点 (1,(1)是拐点 8 A (3)- (1) B (9)- (3) C 1f(3)-f(1) D 1/3(9)- (3) 9
3、 A 2x+1 B 2xy+1 C x2+1 D x2 10设事件 A， B 的 P(B)=0 5， P(AB)=0 4，则在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的条件 概率 P(A | B)=（ ） A O 1 B 0 2 C 0 8 D 0 9 二、填空题： 11 20小题，每小题 4 分，共 40 分把答案填在题中横线上 11 12当 x0 时， 1-cos 戈与 xk是同阶无穷小量，则 k= _ 13设 y=in(x+cosx)，则 y _ 14 15 16设 (x)的导函数是 sin 2x，则 (x)的全体原函数是 _ 17 18曲线 y=xlnx-x 在 x=e 处的法线方程为
4、_ 19 20 三、解答题： 21 28小题，共 70 分解答应写出推理、演算 步骤 21 22 23 24 25 (本题满分 8 分 )一枚 5 分硬币，连续抛掷 3 次，求 “ 至少有 1次国徽向上 ” 的概率 26 (本题满分 10分 )在抛物线 y2=4x与 x=2所围成的平面区域内作一矩形，其一边在 x=2 上，另外两个顶点在抛物线上，求此矩形面积最大时的长和宽，最大面积是多少 ? 27 (本题满分 10 分 )设 z=z(x， y)由方程 ez-x2+y2+x+z=0 确定，求出 28 (本题满分 10 分 )求由曲线 y=x， y=lnx 及 y=0， y=1 围成的平面图形的面
5、积 S，并求 此平面图形绕 y 轴旋转一周所得 旋转体的体积 Vy 参考答案及解析 一、选择题 1【答案】应选 C 【解析】 本题考查两个无穷小量阶的比较 比较两个无穷小量阶的方法就是求其比的极限，从而确定正确的选项本题即为计算： 由于其比的极限为常数 2，所以选项 C 正确 请考生注意：由于分母为 x-ln(1+x)，所以本题不能用等价无穷小量代换 ln(1+x)-x，否则将导致错误的结论 与本题类似的另一类考题 (可以为选择题也可为填空题 )为：确定一个无穷小量的 “ 阶 ” 例如：当 x0 时， x-In(1+x)是 x 的 A 1/2 阶的无穷小量 B等价 无穷小量 C 2 阶的无穷小
6、量 D 3 阶的无穷小量 要使上式的极限存在，则必须有 k-2=0，即 k=2 所以，当 x0 时， x-in(1 坝 )为 x 的 2 阶无穷小量，选 C 2【答案】应选 D 【解析】本题主要考查函数概念及复合函数的导数计算 本题的解法有两种： 解法 1 先用换元法求出 (x)的表达式，再求导 设 sinx=u，则 (x)=u2，所以 (u)=2u，即 (x)=2x，选 D 解法 2 将 (sinx)作为 (x)， u=sinx 的复合函数直接求导，再用换元法写成 (x)的形式 等式两边对 x 求导 得 (sinx)COSx=2sin xCOSx ， (sin x)=2sinx 用 x 换
7、sin x，得 (x)=2x，所以选 D 请考生注意：这类题是基本题型之一，也是历年考试中经常出现的熟练地掌握基本概念及解题的基本方法，必能较大幅度地提高考生的成绩为便于考生对有关的题型有一个较全面的了解和掌握，特将历年试卷的部分试题中的相关部分摘录如下： (2004 年 )设函数 (cosx)=1+cos3x，求 (x) (答案为 3x2) 3【答案】应选 C 【解析】本题考查的主要知识点是函数在一 点处连续、可导的概念，驻点与极值点等概念 的相互关系，熟练地掌握这些概念是非常重要的要否定一个命题的最佳方法是举一个反例， 例如： y=|x|在 x=0 处有极小值且连续，但在 x=0 处不可导
8、，排除 A 和 D y=x3， x=0 是它的驻点，但 x=0 不是它的极值点，排除 B，所以命题 C 是正确的 4【答案】应选 A 【解析】 本题可用 dy=y dx 求得选项为 A，也可以直接求微分得到 dy 5【答案】应选 D 【解析】本题需先求出函数的驻点，再用 y 来判定是极大值点还是极小值点，若是极值点，则在极值点两侧的 y 必异号 ，从而进一步确定选项 因为 y =ex-1，令 y =0，得 x=0 又 y =ex0， x( -1， 1)，且 y |x=0=10，所以 x=0 为极小值点，故在 x=0 的左、右两侧的函 数必为由减到增，则当 x( -1， 1)时，函数有增有减，所
9、以应选 D 6【答案】应选 B 【解析】用换元法将 F(-x)与 F(x)联系起来 ，再确定选项 7【答案】应选 B 【提示】 根据极值的第二充分条件确定选项 8【答案】应选 D 【解析】 本题考查的知识点是定积分的换元法本题可以直接换元或用凑微分法 9【答案】应选 B 【解析】 用二元函数求偏导公式计算即可 10【答案】应选 C 【解析】 利用条件概率公式计算即可 二、填空题 11【答案】应填 e-2. 【解析】 利用重要极限 和极限存在的充要条件，可知 k=e-2 12【答案】应填 2 【解析】 根据同阶无穷小量的概念，并利用洛必达法则确定 k 值 13 【解析】 用复合函数求导公式计算
10、14【答案】应填 6 15 【解析】 利用隐函数求导公式或直接对 x 求导 将等式两边对 x 求导 (此时 y=y(x)，得 16 【解析】 本 题主要考查的知识点是导函数和原函数的概念 17 18【答案】应填 x+y-e=0 【解析】 先求切线斜率，再由切线与法线互相垂直求出法线斜率，从而得到法线方程 19【答案】 应填 2 【提示】 利用奇、偶函数在对称区间上积分的性质 20 【提示】 将函数 z 写成 z=ex2e y，则很容易求得结果 三、解答题 21 本题考查的是 型不定式极限的概念及相关性质 【解析】含变上限的 型不定式极限直接用洛必达法则求解 22本题考查的知识点是复合函数的求导
11、计算 【解 析】 利用复合函数的求导公式计算 23本题考查的知识点是不定积分的公式法和凑微分积分法 【解析】 本题被积函数的分子为二项之差，一般情况下要考虑将它分成二项之差的积分 另外由于被积函数中含有根式，所以也应考虑用三角代换去根式的方法进行积分 解法 1 解法 2 三角代换去根号 24本题考查的知识点是反常积分的计算 【解析】 配方后用积分公式计算 25本题考查的知识点是古典概型的概率计算 26本题考查的知识点是利用导数研究函数特性的方法 【解析】 本题的关键是 正确列出函数的关系式，再求其最大值 解如图 2-7-1 所示，设 A 点坐标为 (x0， y0)，则 AD=2-x0，矩形面积
12、 27本题考查的知识点是二元隐函数全微分的求法 利用公式法求导的关键是需构造辅助函数 F(x， y， z)=ez-x2+y2+x+z， 然后将等式两边分别对 x， y， z 求导考生一定要注意：对 x 求导时， y， z 均视为常数，而对 y 或 z 求 导时，另外两个变量同样也视为常数也即用公式法时，辅助函数 F(x， y，z)中的三个变量均视为 自变量 解法 1 直接求导法 等式两边对 x 求导得 解法 2 公式法 解法 3 微分法 对等式两边求微分得 三种解法各有优劣，但公式法更容易理解和掌握建议考生根据自己的熟悉程度，牢记一种方法 28本题考查的知识点是曲边梯形面积的求法及旋转体体积的求法 【解析】 首先应根据题目中所给的曲线方程画出封闭的平面图形，然后根据此图形的特点选择对 x 积分还是对 )，积分选择的原则是：使得积分计算尽可能简单或容易算出本题如果选 择对 x 积分，则有 这显然要比对 y 积分麻烦 在求旋转体的体积时一定要注意是绕 x 轴还是绕 y 轴旋转历年的试题均是绕 x 轴旋转，而本题是求绕 y 轴旋转的旋转体的体积 旋转体的体积计算中最容易出现的错误 (在历年的试卷均是如此 )是： 解 画出平面图形，如图 2-7-2 所示的阴影部分，则有阴影部分的面积
