1、 1 2003年全国硕士入学统考数学 (二 )试题及答案 一、 填空题 （本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 把答案填在题中横线上） （ 1） 若 0x 时， 1)1( 412 ax 与 xxsin 是等价无穷小，则 a= -4 . 【 分析 】 根据等价无穷小量的定义，相当于已知 1sin )1(lim 4120 xxaxx，反过来求 a. 注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简 . 【 详解 】 当 0x 时， 2412 411)1( axax ， 2sin xxx . 于是，根据题设有 14141lims in )1(lim2204120 axaxxx
2、 ax xx ，故 a=-4. （ 2） 设函数 y=f(x)由方程 4ln2 yxxy 所确定，则曲线 y=f(x)在点 (1,1)处的切线方程是 x-y=0 . 【 分析 】 先求出在点 (1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可 . 【 详解 】 等式 4ln2 yxxy 两边直接对 x 求导，得 yyxyxy 342 ， 将 x=1,y=1 代入上式，有 .1)1( y 故过点 (1,1)处的切线方程为 )1(11 xy ，即 .0yx （ 3） xy 2 的麦克劳林公式中 nx 项的系数是 !)2(lnnn . 【 分析 】 本题相当于先求 y=f(x)在点 x=0 处的 n
3、 阶导数值 )0()(nf ，则麦克劳林公式中 nx 项的系数是 .! )0()(nf n 【 详解 】 因为 2ln2xy ， 2)2(ln2xy ， nxxy )2(ln2, )( ，于是有 nny )2(ln)0()( ，故麦克劳林公式中 nx 项的系数是 .!)2(ln! )0()( nny nn （ 4） 设曲线的极坐标方程为 )0( aea ，则该曲线上相应于 从 0 变到 2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 )1(41 4 aea . 2 【 分析 】 利用极坐标下的面积计算公式 dS )(21 2即可 . 【 详解 】 所求面积为 dedS a 20 220 2 21)(2
4、1= 20241 aea )1(41 4 aea . （ 5） 设 为 3 维列向量， T 是 的转置 . 若111111111T ，则 T = 3 . 【 分析 】 本题的关键是矩阵 T 的秩为 1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成 . 【 详解 】 由111111111T = 111111 ，知111 ，于是 .3111111 T （ 6） 设三阶方阵 A,B 满足 EBABA 2 ，其中 E 为三阶单位矩阵，若102020101A ，则 B 21 . 【 分析 】 先化简分解出矩阵 B，再取行列式即可 . 【 详解
5、 】 由 EBABA 2 知， EABEA )( 2 ，即 EABEAEA )( ， 易知矩阵 A+E 可逆，于是有 .)( EBEA 再两边取行列式，得 1 BEA ， 因为 2002010100 EA , 所以 B 21 . 3 二、选择题 （本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （ 1） 设 , nnn cba 均为非负数列，且 0lim nn a, 1lim nn b, nn clim,则必有 (A) nn ba 对任意 n 成立 . (B) nn cb 对任意 n 成立 . (C) 极限
6、nnn calim不存在 . (D) 极限nnn cblim不存在 . D 【 分析 】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除 (A),(B)； 而极限nnn calim是 0 型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限nnn cblim属 1 型，必为无穷大量，即不存在 . 【 详解 】 用举反例法，取 nan 2， 1nb ， ),2,1(21 nncn，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为 (D). （ 2） 设 dxxxa nnn nn 123 10 1, 则极限nn nalim等于 (A) 1)1( 23 e . (B) 1)1( 2
7、31 e . (C) 1)1( 231 e . (D) 1)1( 23 e . B 【 分析 】 先用换元法计算积分，再求极限 . 【 详解 】 因为 dxxxa nnn nn 123 10 1= )1(123 10 nnn n xdxn = 1)1(11)1(1 231023 nnnnn nnxn， 可见 nn nalim= .1)1(1)1(1lim 23123 enn nn（ 3） 已知 xxy ln 是微分方程 )(yxxyy 的 解，则 )(yx的表达式为 （ A） .22xy (B) .22xy (C) .22yx(D) .22yx A 4 【 分析 】 将 xxy ln 代入微分
8、方程，再令 的中间变量为 u，求出 )(u 的表达式，进而可计算出 )(yx. 【 详解 】将 xxy ln 代入微分方程 )(yxxyy ，得 )(lnln1ln 1ln2 xxxx ，即 xx2ln 1)(ln . 令 lnx=u，有 21)( uu ，故 )(yx= .22xy 应选 (A). （ 4） 设函数 f(x)在 ),( 内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点 . (B) 两个极小值点和一个极大值点 . (C) 两个极小值点和两个极大值点 . (D) 三个极小值点和一个极大值点 . C y O x 【 分析 】 答案与极值点个数有关，
9、而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共 4 个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定 . 【 详解 】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有 3 个，而 x=0 则是导数不存在的点 . 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在 x=0 左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见 x=0 为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和 两个极大值点，应选 (C). （ 5） 设 401tan dxx xI , dxxxI 402 tan , 则 (A) .121 II (B) .1 21 II (C) .112 II (
10、D) .1 12 II B 【 分析 】 直接 计算 21,II 是困难的，可应用不等式 tanxx, x0. 【 详解 】 因为当 x0 时，有 tanxx，于是 1tan xx ， 1tan xx ，从而有 5 4tan401 dxx xI ， 4tan402 dxxxI ， 可见有 21 II 且 42 I，可排除 (A),(C),(D)，故应选 (B). （ 6） 设向量组 I： r , 21 可由向量组 II： s , 21 线性表示，则 (A) 当 sr 时，向量组 II 必线性相关 . (B) 当 sr 时，向量组 II 必线性相关 . (C) 当 sr 时，向量组 I 必线性相
11、关 . (D) 当 sr 时，向量组 I 必线性相关 . D 【 分析 】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组 I：r , 21 可由向量组 II： s , 21 线性表示，则当 sr 时，向量组 I 必线性相关 . 或其逆否命题：若向量组 I： r , 21 可由向量组 II： s , 21 线性表示，且向量组 I 线性无关，则必有 sr . 可见正确选项为 (D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案 . 【 详解 】 用排除法：如 10,01,00 211 ，则 211 00 ，但 21 , 线性无关，排除 (A)； 01,01,00 121 ，则 21, 可由 1
12、线性表示，但 1 线性无关，排除 (B)； 10,01,01 211 ， 1 可由 21, 线性表示，但 1 线性无关，排除 (C). 故正确选项为 (D). 三 、（本题满分 10 分） 设函数 ,0,0,0,4s in1,6,a r c s in)1ln ()(23xxxxxaxxexxaxxfax问 a 为何值时， f(x)在 x=0 处连续； a 为何值时， x=0 是 f(x)的可去间断点？ 【 分析 】 分段函数在分段点 x=0 连续，要求既是左连续又是右连续，即 ).00()0()00( fff 【 详解 】 xx axxx axxffxxx a r c s i nlima r
13、c s i n)1l n (lim)(lim)00( 30300 =113lim1113lim220220 xaxxaxxx6 = .6213lim 220 axaxx 4s in1lim)(lim)00( 200 xxaxxexff axxx = .422 2lim41lim4 20220 axaxaex axxe axxaxx令 )00()00( ff ，有 426 2 aa ，得 1a 或 2a . 当 a=-1 时， )0(6)(lim0 fxfx ，即 f(x)在 x=0 处连续 . 当 a=-2 时， )0(12)(lim0 fxfx ，因而 x=0 是 f(x)的可去间断点 .
14、四 、（本题满分 9 分） 设函数 y=y(x)由参数方程 )1(,21 ln2112 tduueytxt u 所确定，求 .922 xdxyd 【 分析 】 本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可 . 注意当x=9 时，可相应地确定参数 t 的取值 . 【 详解 】由 tetttedtdy t ln21 22ln21 ln21 ， tdtdx 4 ， 得 ,)ln21(24ln212tettetdtdxdtdydxdy 所以 dtdxdxdydtddx yd 1)(22 =ttte 412)ln21( 12 2 = .)ln21(4 22 tt e当 x=9 时，由 22
15、1 tx 及 t1 得 t=2, 故 .)2ln21(16)ln21(4 2222922 ett edx yd tx7 五 、（本题满分 9 分） 计算不定积分 .)1( 232arctan dxxxe x【 分析 】 被积函数含有根号 21 x ，典型地应作代换： x=tant, 或被积函数含有反三角函数 arctanx，同样可考虑作变换： arctanx=t，即 x=tant. 【 详解 】 设 tx tan ，则 dxxxe x 232arctan)1( = tdttte t 2232 s e c)ta n1( ta n = .sintdtet 又 tdetd te tt c o ss
16、in = )c o sc o s( td tete tt = td tetete ttt s ins inc o s ， 故 .)c o s( s in21s in Cttetd te tt 因此 dxxxe x 232arctan)1(= Cxxxe x )1 11(21 22ar c t an= .12 )1( 2arct an Cxexx 六 、（本题满分 12 分） 设函数 y=y(x)在 ),( 内 具有二阶导数，且 )(,0 yxxy 是 y=y(x)的反函数 . (1) 试将 x=x(y)所满足的微分方程 0)(s in( 322 dydxxydy xd变换为 y=y(x)满足的
17、微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件 23)0(,0)0( yy 的解 . 【 分析 】 将dydx转化为 dxdy 比较简单，dydx=ydxdy 11 ，关键是应注意： )(22 dydxdyddyxd = dydxydxd )1( =32 )(1 yyyy y . 8 然后再代入原方程化简即可 . 【 详解 】 (1) 由反函数的求导公式知 ydydx 1，于是有 )(22 dydxdyddyxd = dydxydxd )1( = 32 )(1 yyyy y . 代入原微分方程得 .sin xyy ( * ) (2) 方程 ( * )所对应的齐次方程 0 yy 的通解为 .
18、21 xx eCeCY 设方程 ( * )的特解为 xBxAy s inc o s* ， 代入方程 ( * )，求得 21,0 BA ，故 xy sin21* ，从而 xyy sin 的通解是 .s in2121* xeCeCyYy xx 由 23)0(,0)0( yy ，得 1,1 21 CC . 故所求初值问题的解为 .s in21 xeey xx 七 、（本题满分 12 分） 讨论曲线 kxy ln4 与 xxy 4ln4 的交点个数 . 【 分析 】 问题等价于讨论方程 04ln4ln 4 kxxx 有几个不同的实根 . 本题相当于一函数作图题，通过单调性、极值的讨论即可确定实根的个数
19、（与 x 轴交点的个数） . 【 详解 】 设 )(x kxxx 4ln4ln 4 ， y 则有 .)1(ln4)( 3 x xxx 4-k 不难看出， x=1 是 )(x 的驻点 . O 1 x 当 10 x 时， 0)( x ，即 )(x 单调减少；当 x1 时， 0)( x ，即 )(x 单调增加，故 k4)1( 为函数 )(x 的最小值 . 当 k0 时， 0)( x 无实根，即两条曲线无交点； 9 当 k=4，即 4-k=0 时， 0)( x 有唯一实根，即两条曲线只有一个交点； 当 k4，即 4-k0 时，由于 4)4( ln lnlim)(lim 300 kxxxx xx ； 4
20、)4( ln lnlim)(lim 3 kxxxx xx ， 故 0)( x 有两个实根，分别位于 (0,1)与 ),1( 内，即两条曲线有两个交点 . 八 、（本题满分 12 分） 设位于第一象限的曲线 y=f(x)过点 )21,22( ，其上任一点 P(x,y)处的法线与 y 轴的交点为 Q，且线 段 PQ 被 x 轴平分 . (1) 求曲线 y=f(x)的方程； (2) 已知曲线 y=sinx 在 ,0 上的弧长为 l ，试用 l 表示曲线 y=f(x)的弧长 s. 【 分析 】 (1) 先求出法线方程与交点坐标 Q，再由题设线段 PQ 被 x 轴平分，可转化为微分方程，求解此微分方程即
21、可得曲线 y=f(x)的方程 . (2) 将曲线 y=f(x) 化为参数方程，再利用弧长公式 dtyxs ba 22进行计算即 可 . 【 详解 】 (1) 曲线 y=f(x)在点 P(x,y)处的法线方程为 )(1 xXyyY ， 其中 (X,Y)为法线上任意一点的坐标 . 令 X=0，则 yxyY ， 故 Q 点的坐标为 ).,0(yxy 由题设知 0)(21 yxyy ，即 .02 xdxydy 积分得 Cyx 22 2 (C 为任意常数 ). 由2122 xy知 C=1，故曲线 y=f(x)的方程为 .12 22 yx (2) 曲线 y=sinx 在 0， 上的弧长为 10 .c o
22、s12c o s1 20 20 2 dxxdxxl 曲线 y=f(x)的参数方程为 ,sin22 ,cos ty tx .20 t 故 dttdttts 20 220 22 s i n121c o s21s i n ， 令 ut 2 ，则 duuduus 20 202 2 c o s121)(c o s121 = .4222 ll 九 、（本题满分 10 分） 有一平底容器，其内侧壁是由曲线 )0)( yyx 绕 y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为 2 m. 根据设计要求，当以 min/3 3m 的速率向容器内注入液体时， 液面的面积将以 min/2m 的速率均匀扩大（假设
23、注入液体前， 容器内无液体） . (1) 根据 t 时刻液面的面积，写出 t 与 )(y 之间的关系式； (2) 求曲线 )(yx 的方程 . (注： m 表示长度单位米， min 表示时间单位分 .) 【 分析 】 液面的面积将以 min/2m 的速率均匀扩大，因此 t 时刻液面面积应为：t 22 ，而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出 t 与 )(y 之间的关系式；又液体的体积可根据旋 转体的体积公式用定积分计算，已知 t 时刻的液体体积为 3t，它们之间也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可 . 【 详解 】 (1) 设在 t 时刻，液面的高度为 y，则由题设知此时液面的面积为ty 4)(2 , 从而 .4)(2 yt (2) 液面的高度为 y 时，液体的体积为 .12)(33)(0 22 ytduuy 上式两边对 y 求导，得
