1、云南大学发民研究院,1,第二部分 时间序列分析,向量自回归（VAR）模型,云南大学发民研究院,2,内容安排,一、向量自回归模型定义二、VAR的稳定性三、VAR模型滞后期k的选择 四、VAR模型的脉冲响应函数和方差分解 五、格兰杰非因果性检验 六、VAR与协整七、实例,云南大学发民研究院,3,19531997年我国gp,cp,ip,云南大学发民研究院,4,19531997年我国rgp,rcp,rip,云南大学发民研究院,5,19531997年我国Lngp,Lncp,Lnip,云南大学发民研究院,6,一、向量自回归模型定义,1980年Sims提出向量自回归模型（vector autoregress
2、ive model）。 VAR模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归模型。,云南大学发民研究院,7,产生的问题是什么?无法捕捉两个变量之间的关系解决办法:建立两个变量之间的关系,云南大学发民研究院,8,上述方程可以用OLS估计吗?,云南大学发民研究院,9,VAR模型的特点：,（1）不以严格的经济理论为依据。共有哪些变量是相互有关系的，把有关系的变量包括在VAR模型中；确定滞后期k。使模型能反映出变量间相互影响的绝大部分。（2）VAR模型对参数不施加零约束。（3）VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量，所有与联立方程模型有关的问题在VAR模型中都不存在。（4）有相当多的参数需要估计。当样
3、本容量较小时，多数参数的估计量误差较大。（5）无约束VAR模型的应用之一是预测。（6）用VAR模型做样本外近期预测非常准确。做样本外长期预测时，则只能预测出变动的趋势，而对短期波动预测不理想。,云南大学发民研究院,10,估计VAR的EVIEW操作,打开工作文件，点击Quick键, 选Estimate VAR功能。作相应选项后，即可得到VAR的表格式输出方式。在VAR模型估计结果窗口点击View 选 representation功能可得到VAR的代数式输出结果。VAR模型静态预测的EViews操作：点击Procs选Make Model功能。点击Solve。在出现的对话框的Solution opt
4、ion（求解选择）中选择Static solution（静态解）。VAR模型动态预测的EViews操作：点击Procs选Make Model功能（工作文件中如果已经有Model，则直接双击Model）。点击Solve。在出现的对话框的Solution option（求解选择）中选择Dynamic solution（动态解）。,云南大学发民研究院,11,二、VAR的稳定性,VAR模型稳定的充分与必要条件是1 的所有特征值都要在单位圆以内（在以横轴为实数轴，纵轴为虚数轴的坐标体系中，以原点为圆心，半径为1的圆称为单位圆），或特征值的模都要小于1。,1、单方程情形,云南大学发民研究院,12,2、VA
5、R 模型,Yt=+1Yt-1+ut为例改写为：（I- 1L）Yt=+utVAR模型稳定的条件是特征方程|1-I|=0的单位圆以内，特征方程|1-I|=0的根就是1的特征值。,云南大学发民研究院,13,例：N=1，k=1时的VAR模型,= +,| I - 1L |,云南大学发民研究院,14,3、VAR模型稳定性的另一判别法,特征方程 的根都在单位圆以内。特征方程的根就是1的特征值。上述例子则有：1 = 0.9786, 2 = 0.2714,| 1L -L |=0,云南大学发民研究院,15,注意的问题,（1）因为L1=1/0.978 =1/1, L2 =1/0.27=1/2，所以特征方程与相反的特
6、征方程的根互为倒数，L = 1/ 。（2）在单方程模型中，通常用相反的特征方程 (L) = 0的根描述模型的稳定性，即单变量过程稳定的条件是（相反的）特征方程(L) = 0的根都要在单位圆以外；而在VAR模型中通常用特征方程 |1-I|=0的根描述模型的稳定性。VAR模型稳定的条件是，特征方程|1-I|=0的根都要在单位圆以内，或相反的特征方程|IL1|=0的根都要在单位圆以外。,云南大学发民研究院,16,4、K1的VAR模型稳定性,对于k1的k阶VAR模型可以通过友矩阵变换（companion form），改写成1阶分块矩阵的VAR模型形式。然后利用其特征方程的根判别稳定性。 给出K阶VAR
7、模型：Yt=c+1Yt-1+2Yt-2+kYt-k+ut 配上如下等式：Yt-1=Yt-1 Yt-2=Yt-2 Yt-k+1=Yt- k+1将以上K个等式写成分块矩阵形式,云南大学发民研究院,17,云南大学发民研究院,18,VAR模型的稳定性要求A的全部特征值，即特征方程|A-I|=0的全部根必须在单位圆以内或者相反的特征方程|I-LA|=0的全部根必须在单位圆以外。注意：特征方程中的A是NkNk阶的。特征方程中的I也是NkNk阶的,例：2阶VAR的友矩阵变换为例,云南大学发民研究院,19,5、VAR稳定性的EVIEW操作,求VAR模型特征根的EViews操作：在VAR模型估计结果窗口点击Vi
8、ew 选 Lag Structrure, AR Roots Table 功能，即可得到VAR模型的全部特征根。若选Lag Structrure, AR Roots Graph 功能，即可得到单位圆曲线以及VAR模型全部特征根的位置图。,云南大学发民研究院,20,6、VAR模型的稳定性特征,稳定性是指当把一个脉动冲击施加在VAR模型中某一个方程的新息（innovation）过程上时，随着时间的推移，这个冲击会逐渐地消失。如果是不消失，则系统是不稳定的。,云南大学发民研究院,21,假定模型是稳定的，将有如下3个结论,（1）假设t = 1时，对c 施加一个单位的冲击，那么到t期的影响是(2）假设在初
9、始值Y0上施加一个单位的冲击。到t期的影响是 1t。随着t ，1t 0，影响消失（因为对于平稳的VAR模型，1中的元素小于1，所以随着t ，取t次方后，1t 0）。,云南大学发民研究院,22,三、VAR模型滞后期k的选择,1、用LR统计量选择k值。LR（似然比）统计量定义为,云南大学发民研究院,23,2、用赤池（Akaike）信息准则 (AIC) 选择k值。,3用施瓦茨（Schwartz）准则 (SC) 选择k值。,云南大学发民研究院,24,例,k =1、2、3、4时的logL、Akaike AIC和Schwarz SC的值见下表。,云南大学发民研究院,25,VAR滞后期的EVIEW操作,在V
10、AR模型估计结果窗口点击View 选 Lag Structrure, Lag Lengyh Criteria 功能，即可得到5个评价统计量的值。,云南大学发民研究院,26,四、VAR模型的脉冲响应函数和方差分解,脉冲响应函数描述一个内生变量对误差冲击的反应。具体地说，它描述的是在随机误差项上施加一个标准差大小的冲击后对内生变量的当期值和未来值所带来的影响。对于任何一个VAR模型都可以表示成为一个无限阶的向量MA()过程。具体方法是对于任何一个VAR(k)模型都可以通过友矩阵变换改写成一个VAR(1)模型,1、脉冲响应函数,云南大学发民研究院,27,云南大学发民研究院,28,对上述脉冲响应函数的
11、解释存在的问题是什么?,实际中各方程对应的误差项从来都不是完全非相关的。当误差项相关时，它们有一个共同的组成部分，不能被任何特定的变量所识别。 即前述的协方差矩阵是非对角矩阵,意味着扰动项中的其他元素随着第j个元素的变化而变化,这与计算脉冲响应函数假定第j个元素的变化,而扰动项中的其他元素不变化相矛盾.怎样解决?,云南大学发民研究院,29,Cholesky分解,引入一个变换矩阵M与ut相乘vt=Mut(0,) 常用的方法就是Cholesky分解法,从而使误差项正交原误差项相关的部分归于VAR系统中的第一个变量的随机扰动项。Cholesky分解法存在的缺点:方程顺序的改变将会影响到脉冲响应函数,
12、云南大学发民研究院,30,VAR模型残差序列及其方差、协方差矩阵的EVIEW求法。,点击VAR窗口中的Procs键，选Make Residuals（生成残差）功能，工作文件中就会生成以resid01, resid02,为编号的残差序列（残差序列的顺序与VAR模型估计对话框中输入的变量顺序相一致），并打开残差序列数据组窗口。在这个残差序列数据组窗口中点击View键，选择Covariances功能，即可得到残差序列的方差、协方差矩阵。选择Correlation功能，即可得到残差序列的相关系数矩阵。,云南大学发民研究院,31,脉冲响应的EViews操作,点击VAR窗口中的Impulse键。在随后弹出
13、的对话框中做出各项选择后点击OK键,云南大学发民研究院,32,Display菜单提供下列选项,(1) 显示形式（Display Format） 选择以图或表来显示结果。如果选择Combined Graphs 则Response Standard Error选项是灰色，不显示标准误差。而且应注意：输出表的格式是按响应变量的顺序显示，而不是按脉冲变量的顺序。,(2) 显示信息（Display Information） 输入产生冲击的变量（Impulses）和希望观察其脉冲响应的变量（Responses）。可以输入内生变量的名称，也可以输入变量的对应的序数。,云南大学发民研究院,33,Impulse
14、 Definition菜单提供了转换脉冲的选项,(1) Residual-One Unit,(2) Residual-One Std.Dev(3) Cholesky分解 用残差协方差矩阵的Cholesky因子的逆来正交化脉冲。,(4) 广义脉冲（Gneralized Impluses）,(5) 结构分解（Structural Decomposition） 用结构因子分解矩阵估计的正交转换矩阵。,(6) 用户指定（User Specified）,云南大学发民研究院,34,2、方差分解,分析未来t+s期的yj,t+s的预测误差的方差由不同新息的冲击影响的比例。假设下式是由任一VAR(k) 模型转换
15、而得到的关于Yt的一阶向量自回归模型。,云南大学发民研究院,35,方差分解的EViews操作,从VAR的工具栏中选View/Variance decomposition项。注意，因为非正交的因子分解所产生的分解不具有较好的性质，所以所选的因子分解仅限于正交的因子分解。,云南大学发民研究院,36,五、格兰杰非因果性检验,VAR模型还可用来检验一个变量与另一个变量是否存在因果关系。经济计量学中格兰杰（Granger）非因果性定义如下：格兰杰非因果性：如果由yt和xt滞后值所决定的yt的条件分布与仅由yt滞后值所决定的条件分布相同，即(ytyt-1,xt-1,)=(ytyt-1,)则称xt-1对yt
16、存在格兰杰非因果性。 格兰杰非因果性的另一种表述是其它条件不变，若加上xt的滞后变量后对yt的预测精度不存在显着性改善，则称xt-1对yt存在格兰杰非因果性关系。,云南大学发民研究院,37,VAR 模型中以yt为被解释变量的方程表示如下：检验xt对yt存在格兰杰非因果性的零假设是H0:1=2=k=0 上述检验用F统计量来完成用样本计算的F值如果落在临界值以内，接受原假设，即xt 对yt不存在格兰杰因果关系。,云南大学发民研究院,38,Grange因果性检验EViews操作方法,打开数剧组窗口，点View键，选Granger Causility。在打开的对话窗口中填上滞后期，点击OK键。,云南大
17、学发民研究院,39,输出结果对于VAR模型中的每一个方程，将输出每一个其他内生变量的滞后项(不包括它本身的滞后项)联合显著的2(Wald)统计量，在表的最后一行(ALL)列出了检验所有滞后内生变量联合显著的2统计量。对例进行检验，其结果如下：,云南大学发民研究院,40,注意的问题：,（1）滞后期k的选取是任意的，实质上是一个判断性问题。一般来说要试检验若干个不同滞后期k的格兰杰因果关系检验，且结论相同时，才可以最终下结论。（2）当做xt是否为导致yt变化的格兰杰原因检验时，如果zt也是yt变化的格兰杰原因，且zt又与xt相关，这时在xt是否为导致yt变化的格兰杰因果关系检验式的右端应加入zt的
18、滞后项（实际上是3个变量VAR模型中的一个方程）。（3）不存在协整关系的非平稳变量之间不能进行格兰杰因果关系检验,云南大学发民研究院,41,六、VAR与协整,如果VAR模型Yt=1Yt-1+2Yt-1+kYt-k+ut,utIID (0, )的内生变量都含有单位根，那么可以用这些变量的一阶差分序列建立一个平稳的VAR模型。 Yt= 1*Yt-1+2*Yt-2+k*Yt-k+ut* 如果YtI(1)，且非平稳变量间存在协整关系。差分方程存在的问题是什么？丢失重要的非均衡误差信息,云南大学发民研究院,42,1、VEC的推导,对于k=1的VAR模型，Yt=1Yt-1+ut，两侧同减Yt-1，得Yt=
19、(1I)Yt-1+ut对于k=2的VAR模型，Yt= 1Yt-1+2Yt-2+ut，两侧同减Yt-1，在右侧加、减 2Yt-1，并整理得Yt=(1+2-I)Yt-1-2 Yt-1+ut对于k=3的VAR模型，Yt=1Yt-1+2Yt-2+3Yt-3+ut，两侧同减Yt-1，在右侧加、减2Yt-1和3 Yt-1并整理得Yt=(1+2+3-I)Yt-1-2Yt-1-3Yt-1+2Yt-2+3Yt-3+ut =(1+2+3-I)Yt-12 Yt-1-3Yt-1 +3 Yt-3+ut 在右侧加、减3Yt-2并整理得 Yt =(1+2+3-I)Yt-1(2+3)Yt-1-3Yt-2+ut,云南大学发民研
20、究院,43,对于k阶VAR模型，Yt=1Yt-1+2Yt-2+kYt-k+ut，利用k=1, 2, 3的VAR模型的推导规律，其向量误差修正模型（VEC）的表达式是Yt=(1+2+k-I)Yt-1-(2+3+k) Yt-1-(3+k)Yt-2-kYt-(k-1)+ut,云南大学发民研究院,44,由于I(1)过程经过差分变换将变成I(0)过程，即式中的ytytj(j=1，2，p) 都是I(0)变量构成的向量，那么只要 yt-1 是I(0)的向量，即y1t-1y2,t-1,ykt-1 之间具有协整关系，就能保证yt是平稳过程。变量y1,t-1，y2,t-1，yk,t-1 之间是否具有协整关系主要依
21、赖于矩阵 的秩。若Yt CI(1, 1) ，则 = 其中是协整矩阵， 是调整系数矩阵。 和 都是Nr阶矩阵。表示有r个协整向量，1, 2 , r，存在r个协整关系。因为YtI(1)，所以 Yt I(0)。,云南大学发民研究院,45,对于Yt-k有如下三种可能:,当Yt的分量不存在协整关系，的特征根为零，=0。(即r=0)若rank()=N（满秩），保证Yt-k平稳的唯一一种可能是Yt I(0)。(r=N)当YtI(1)，若保证Yt-k平稳，只有一种可能，即Yt的分量存在协整关系。(0rN) YtI(0),云南大学发民研究院,46,例 k=0的VEC模型,云南大学发民研究院,47,rank()=
22、0时，任意形式的 通过适当线性变换，可以得到 = 0。 Yt = ut 说明Yt中含有一个单位根。VAR模型中没有协整向量。,云南大学发民研究院,48,例：设三个变量的k = 1的VEC,云南大学发民研究院,49,2、VAR模型中协整向量的估计,给定VAR模型,云南大学发民研究院,50,将的分解表达式代入到上式有,上式要求 yt-1 为一个 I(0) 向量，其每一行都是 I(0) 组合变量，即 的每一行所表示的 y1,t-1，y2,t-1，yk,t-1 的线性组合都是一种协整形式，所以矩阵 决定了 y1,t-1，y2,t-1，yk,t-1 之间协整向量的个数与形式。因此称为协整向量矩阵，r 为
23、协整向量的个数。,云南大学发民研究院,51,3、Johnson检验的基本原理,将yt的协整检验变成对矩阵的分析问题矩阵 的秩等于它的非零特征根的个数设矩阵 的特征根为12k相应的检验统计量为,）特征根迹检验(trace检验)（本部分推导可参见张晓峒，计量经济分析，第八章）,云南大学发民研究院,52,检验方法,（1）当 0 不显著时(0Johansen分布临界值)，拒绝H00 ，则表明至少有一个协整向量，必须接着检验 1 的显著性。(2)当 1 不显著时，接受H10，表明只有1个协整向量，依次进行下去，直到接受 Hr0，说明存在 r 个协整向量。这 r 个协整向量就是对应于最大的 r 个特征根的
24、经过正规化的特征向量。,云南大学发民研究院,53,根据右边假设检验，大于临界值拒绝原假设。继续检验的过程可归纳为如下的序贯过程：1临界值，拒绝H10，表明至少有2个协整向量； r临界值，接受Hr0，表明只有 r 个协整向量。,云南大学发民研究院,54,2）最大特征值检验,对于Johansen协整检验，另外一个类似的检验方法是,检验统计量是基于最大特征值的，其形式为,(9.6.7),其中 r 称为最大特征根统计量，简记为-max统计量。,云南大学发民研究院,55,检验从下往上进行，首先检验0 ，如果 0临界值，拒绝H00 ，至少有1个协整向量。 接受H00 (r = 0)，表明最大特征根为0，无
25、协整向量，否则接受H01，至少有1个协整向量；如果 1 显著，拒绝H10，接受至少有2个协整向量的备择假设H11；依次进行下去，直到接受Hr0，共有 r 个协整向量。,云南大学发民研究院,56,4、协整方程的形式,(1) VAR模型 没有确定趋势，协整方程没有截距： (2) VAR模型没有确定趋势，协整方程有截距项 0：,云南大学发民研究院,57,(3) VAR模型有确定性线性趋势，但协整方程只有截距：,(4) VAR模型和协整方程都有线性趋势，协整方程的线性趋势表示为 1t ：,(5) VAR模型有二次趋势，协整方程仅有线性趋势：,云南大学发民研究院,58,5、协整检验的操作,从VAR对象或
26、Group(组)对象的工具栏中选择View/Cointegration Test 即可。协整检验仅对已知非平稳的序列有效，所以需要首先对VAR模型中每一个序列进行单位根检验。EViews软件中协整检验实现的理论基础是Johansen (1991, 1995a)协整理论。在Cointegration Test Specification的对话框中将提供关于检验的详细信息：,云南大学发民研究院,59,1） 协整检验的设定,云南大学发民研究院,60,2）协整检验结果的解释,协整关系的数量输出结果的第一部分给出了协整关系的数量，并以两种检验统计量的形式显示：第一种检验结果是所谓的迹统计量，列在第一个表
27、格中；第二种检验结果是最大特征值统计量，列在第二个表格中。第一列显示了在原假设成立条件下的协整关系数；第二列是 矩阵按由大到小排序的特征值；第三列是迹检验统计量或最大特征值统计量；第四列是在5%显著性水平下的临界值；最后一列是根据MacKinnon-Haug-Michelis (1999) 提出的临界值所得到的P值。,云南大学发民研究院,61,协整关系,输出的第二部分给出协整关系 和调整参数 的估计。如果不强加一些任意的正规化条件，协整向量 是不可识别的。在第一块中报告了基于正规化约束条件 S11 = I（其中S11在Johansen(1995a)中作出了定义）的 和 的估计结果。注意：在Un
28、restricted Cointegrating Coefficients下 的输出结果：第一行是第一个协整向量，第二行是第二个协整向量，以此类推。其余的部分是在每一个可能的协整关系数下(r = 0，1，k-1)正规化后的估计输出结果。一个可选择的正规化方法是：在系统中，前 r 个变量作为其余 k r 个变量的函数。近似的标准误差在可识别参数的圆括号内输出。,云南大学发民研究院,62,6、VEC模型在EViews软件,VEC模型的表达式仅仅适用于协整序列先运行Johansen协整检验确定协整关系数在VAR对象设定框中，从VAR Type中选择Vector Error Correction项。在
29、VAR Specification栏中，除了特殊情况外，应该提供与无约束的VAR模型相同的信息：,云南大学发民研究院,63, 常数或线性趋势项不应包括在Exogenous Series的编辑框中。对于VEC模型的常数和趋势说明应定义在Cointegration栏中。 在VEC模型中滞后间隔的说明指一阶差分的滞后。例如，滞后说明“1 1”将包括VEC模型右侧的变量的一阶差分项的滞后，即VEC模型是两阶滞后约束的VAR模型 。为了估计没有一阶差分项的VEC模型，指定滞后的形式为：“0 0”。,云南大学发民研究院,64, 对VEC模型常数和趋势的说明在Cointegration栏。必须从5个趋势假设
30、说明中选择一个，也必须在适当的编辑框中填入协整关系的个数，应该是一个小于VEC模型中内生变量个数的正数。,云南大学发民研究院,65,填完这个对话框，单击OK按纽即可估计VEC模型。VEC模型的估计分两步完成：第一步，从Johansen所用的协整检验估计协整关系；第二步，用所估计的协整关系构造误差修正项，并估计包括误差修正项作为回归量的一阶差分形式的VAR模型。,云南大学发民研究院,66,VEC模型估计的输出包括两部分。第一部分显示了第一步从Johansen过程所得到的结果。如果不强加约束，EViews将会用系统默认的能可以识别所有的协整关系的正规化方法。系统默认的正规化表述为：将VEC模型中前
31、 r 个变量作为剩余 k r 个变量的函数，其中 r 表示协整关系数，k 是VEC模型中内生变量的个数。第二部分输出是在第一步之后以误差修正项作为回归量的一阶差分的VAR模型。误差修正项以CointEq1，CointEq2，表示形式输出。输出形式与无约束的VAR输出形式相同，将不再赘述。,云南大学发民研究院,67,七、实例,中国GDP、宏观消费与基本建设投资的VEC模型分析 1建立VAR模型对任何一组有关系的经济变量都可以直接建立VAR模型。最大滞后期k的选择可以依据LR检验、赤池准则、Schwartz准则。建立VAR模型的EViews步骤是（1）点击Quick键，选Estimate VAR功
32、能，得如下对话框：,云南大学发民研究院,68,云南大学发民研究院,69,云南大学发民研究院,70,2检验变量间是否存在协整关系。,从工作文件中选中变量，打开数据组窗口，点击View键，选Cointegration Test功能，得如下对话框：,云南大学发民研究院,71,云南大学发民研究院,72,3、建立VEC模型,EViews命令是点击Quick键，选Estimate VAR功能，得如下对话框：在VAR设定（VAR Specification）对话框中点击VEC估计（Vector Error Correction），如下图，,云南大学发民研究院,73,云南大学发民研究院,74,点击OK，得如下对话框：其中协整式（Cointegration equation）中的选择应该与前述协整检验中的选择保持一致。点击OK，,云南大学发民研究院,75,云南大学发民研究院,76,问题：（1）若对协整式（Cointegration equation）中的选择前后不一致可以否？要慎重。（2）写VEC表达式。（3）解释经济意义。,云南大学发民研究院,77,参考文献,高铁梅，计量经济分析方法与建模：Eviews应用及实例，清华大学出版社张晓峒，计量经济分析，经济科学出版社汉密尔顿，时间序列，社会科学文献出版社,
