1、第6章 无限长单位冲激响应(IIR) 数字滤波器的设计方法,6.1 引言 6.2 IIR滤波器设计的特点 6.3 常用模拟低通滤波器的设计方法,6.1 引 言,6.1.1 选频滤波器的分类 数字滤波器是数字信号处理的重要基础。在对信号的过滤、检测与参数的估计等处理中, 数字滤波器是使用最广泛的线性系统。 数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性移不变系统。它将输入的数字序列通过特定运算转变为输出的数字序列。因此, 数字滤波器本质上是一台完成特定运算的数字计算机。,由第1章1.3节已经知道,一个输入序列x(n),通过一个单位冲激响应为h(n)的线性时不变系统后,其输出响应y(n)为,将上式两边经过傅
2、里叶变换,可得,式中,Y(ej)、X(ej)分别为输出序列和输入序列的频谱函数, H(ej)是系统的频率响应函数。,可以看出,输入序列的频谱X(ej)经过滤波后,变为X(ej)H(ej)。如果|H(ej)|的值在某些频率上是比较小的,则输入信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。因此,只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的,适当选择H(ej),使得滤波后的X(ej)H(ej)符合人们的要求,这就是数字滤波器的滤波原理。和模拟滤波器一样,线性数字滤波器按照频率响应的通带特性可划分为低通、高通、带通和带阻几种形式。它们的理想模式如图6-1所示。(系统的频率响应H(ej)是以2为周期的。),
3、图 6-1 数字滤波器的理想幅频特性,满足奈奎斯特采样定理时,信号的频率特性只能限带于|的范围。由图6-1可知,理想低通滤波器选择出输入信号中的低频分量,而把输入信号频率在cN时,H(z)可看成是一个N阶IIR子系统与一个(M-N)阶的FIR子系统的级联。 以下讨论都假定MN。,IIR滤波器的系统函数的设计就是确定各系数ak, bk或零极点ck,dk和A,以使滤波器满足给定的性能要求。通常有以下两种方法: 1)利用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器 首先,设计一个合适的模拟滤波器;然后,变换成满足预定指标的数字滤波器。这种方法很方便,因为模拟滤波器已经具有很多简单而又现成的设计公式,并且设计参数
4、已经表格化了,设计起来既方便又准确。,2) 最优化设计法 最优化设计法一般分两步来进行: 第一步要选择一种最优准则。例如,选择最小均方误差准则。它是指在一组离散的频率i(i=1, 2, , M)上,所设计出的实际频率响应幅度|H(ej)|与所要求的理想频率响应幅度|Hd(ej)|的均方误差最小。,此外还可以有其他许多种误差最小的准则,如最大误差最小准则等。,第二步,求在此最佳准则下滤波器系统函数的系数ak, bk。一般是通过不断改变滤波器系数ak、bk,分别计算; 最后,找到使为最小时的一组系数ak, bk,从而完成设计。这种设计需要进行大量的迭代运算,故离不开计算机。所以最优化方法又称为计算
5、机辅助设计法。,6.3 常用模拟低通滤波器的设计方法,常用的模拟原型滤波器有巴特沃思(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Ellipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等。这些滤波器都有严格的设计公式,现成的曲线和图表供设计人员使用。这些典型的滤波器各有特点:巴特沃思滤波器具有单调下降的幅频特性;切比雪夫滤波器的幅频特性在通带或者在阻带有波动,可以提高选择性;贝塞尔滤波器通带内有较好的线性相位特性;椭圆滤波器的选择性相对前三种是最好的, 但在通带和阻带内均为等波纹幅频特性。这样根据具体要求可以选用不同类型的滤波器。,图 6-3 各种理想模拟滤波器的
6、幅频特性,6.3.1 由幅度平方函数来确定系统函数 模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数|Ha(j)|2来表示,即,由于滤波器冲激响应ha(t)是实函数,因而Ha(j)满足,所以,(6-7),式中,Ha(s)是模拟滤波器的系统函数,它是s的有理函数; Ha(j)是滤波器的频率响应特性; |Ha(j)|是滤波器的幅度特性。,6.3.2 巴特沃思低通逼近 巴特沃思逼近又称最平幅度逼近。巴特沃思低通滤波器幅度平方函数定义为,(6-70),式中,N为正整数,代表滤波器的阶数。当=0时,|Ha(j0)|=1; 当=c时,|Ha(jc)|=1/ =0.707,20lg|Ha(j0)/Ha(jc)|=3 dB
7、, c为3 dB截止频率。当=c时,不管N为多少,所有的特性曲线都通过3 dB点,或者说衰减为 3 dB。,巴特沃思低通滤波器在通带内有最大平坦的幅度特性,即N阶巴特沃思低通滤波器在0处幅度平方函数|Ha(j)|2的前(2N-1)阶导数为零,因而巴特沃思滤波器又称为最平幅度特性滤波器。随着由0增大,|Ha(j)|2单调减小,N越大,通带内特性越平坦, 过渡带越窄。当st,即频率为阻带截止频率时,衰减为2=-20lg|Ha(js)|, 2为阻带最小衰减。对确定的2, N越大,s距c越近,即过渡带越窄。 巴特沃思低通滤波器的幅度特性如图6-17所示。,6-17具巴特沃思低通滤波器的幅度特性,在幅度
8、平方函数式(6-8)中,代入=s/j, 可得,所以,巴特沃思滤波器的零点全部在s=处,在有限S平面内只有极点,因而属于所谓“全极点型”滤波器。Ha(s)Ha(-s)的极点为,k=1, 2, , 2N,由此看出,Ha(s)Ha(-s)的2N个极点等间隔分布在半径为c的圆(称巴特沃思圆)上,极点间的角度间隔为/N rad。,为形成稳定的滤波器,Ha(s)Ha(-s)的2N个极点中只取S左半平面的N个极点为Ha(s)的极点,而右半平面的N个极点构成Ha(-s)的极点。Ha(s)的表示式为,(6-73),例 6-1 导出三阶巴特沃思模拟低通滤波器的系统函数, 设c2 rad/s。 解 幅度平方函数是,
9、令2=-s2即=-js,则有,各极点满足式(6-72),k=1, 2, , 6,前面三个sk(k=1, 2, 3)就是Ha(s)的极点。 所给出的六个sk为:,由s1, s2, s3三个极点构成的系统函数为,此题用查表方法设计,查N=3的巴特沃思滤波器分母多项式系数A1=2,a2=2频率归一化后的系统函数为:,频率反归一化,即以变量s用s/c代替后,就得到所需滤波器的系统函数Ha(s),6.3.3 切比雪夫低通逼近 巴特沃思滤波器的频率特性无论在通带与阻带都随频率变换而单调变化,因而如果在通带边缘满足指标,则在通带内肯定会有富裕量,也就会超过指标的要求,因而并不经济。所以,更有效的办法是将指标
10、的精度要求均匀地分布在通带内, 或均匀地分布在阻带内,或同时均匀地分布在通带与阻带内。这样,在同样通带、 阻带性能要求下,就可设计出阶数较低的滤波器。这种精度均匀分布的办法可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来实现。,切比雪夫滤波器的幅度特性就是在一个频带中(通带或阻带)具有这种等波纹特性。幅度特性在通带中是等波纹的,在阻带中是单调的,称为切比雪夫型。幅度特性在通带内是单调下降的,在阻带内是等波纹的,称为切比雪夫型。由应用的要求来确定采用哪种形式的切比雪夫滤波器。图6-19、图6-20分别画出了N为奇数与N为偶数的切比雪夫,型低通滤波器的幅度特性。,图 6-19 切比雪夫型低通滤波器的幅度特性,
11、图 6-8 切比雪夫型低通滤波器的幅度特性,椭圆滤波器在通带和阻带都具有等波纹幅频特性。 我们以切比雪夫型低通滤波器为例来讨论这种逼近。 切比雪夫型低通滤波器的幅度平方函数为,(6-80),式中,为小于1的正数,它是表示通带波纹大小的一个参数, 越大,波纹也越大。c为通带截止频率,也是滤波器的某一衰减分贝处的通带宽度(这一分贝数不一定是3dB。也就是说, 在切比雪夫滤波器中,c不一定是 3 dB的带宽)。CN(x)是N阶切比雪夫多项式,定义为,|x|1(通带),|x|1(阻带),当N1 时,切比雪夫多项式的递推公式为,CN+1(x)=2xCN(x)-CN-1(x),(6-81),(6-82),
12、切比雪夫多项式的零值点(或根)在|x|1 间隔内。当|x|1 时, CN(x)是余弦函数,故,|CN(x)|1,(1)当0,N为偶数时, ;当N为奇数时,Ha (j0)=1。 ,(2)=c时,即所有幅度函数曲线都通过 点,所以把c定义为切比雪夫滤波器的通带截止频率。在这个截止频率下,幅度函数不一定下降 3 dB,可以是下降其他分贝值, 例如 1 dB等,这是与巴特沃思滤波器不同之处。,(3)在通带内,即当|c时,随着的增大, 迅速满足2CN2 (/c)1使|Ha(j)|迅速单调地趋近于零。,由幅度平方函数式(6-80)看出,切比雪夫滤波器有三个参数:,c和N。c是通带宽度,一般是预先给定的;
13、是与通带波纹有关的一个参数。通带波纹Ap表示成,(6-83),这里,|Ha(j)|max=1 表示通带幅度响应的最大值。 , 表示通带幅度响应的最小值,故,因而,(6-84),(6-86),可以看出,给定通带波纹值1(dB)后,就能求得2,这里应注意通带波纹值不一定是3 dB,也可以是其他值,例如0.1 dB等。 滤波器阶数N等于通带内最大值和最小值的总数。前面已经说过,N为奇数时,在=0 处, |Ha(j)|为最大值1;N为偶数时, 在0处, |a(j)|为最小值 (见图6-7)。N的数值可由阻带衰减来确定。设阻带起始点频率为s,此时阻带幅度平方函数值满足,式中,A是常数。如果用误差的分贝数2表示,则有,所以,(6-86),设st为阻带截止频率,即当st时,将上面的|Ha(j)|2的表达式代入式(6-80),可得,由此得出,由于s/c1,所以,由式(6-21)的第二式有,由此,并考虑式(6-26),可得,(6-88),